Введение к работе
Актуальность темы. В теории бесконечных групп значительное место занимают исследования бесконечных групп с различными условиями конечности, т.е. групп, которые по своему определению наделяются теми или иными свойствами конечных групп. Результаты исследований, представленные в данной работе, связаны с условием насыщенности группы заданным множеством групп.
Группа G насыщена группами из множества групп % если любая конечная подгруппа К из G содержится в подгруппе группы G, изоморфной некоторой группе из 9.
Понятие насыщенности впервые появилось и оформилось в работах А.К. Шлёпкина [21-29] и было обусловлено следующим обстоятельством.
При изучении групп с различными условиями минимальности (для всех подгрупп, абелевых подгрупп, примарных подгрупп и т.п.), как правило, необходимо было установить строение некоторой периодической группы с заданной системой конечных простых неабелевых подгрупп. Анализ этой системы подгрупп приводил в большинстве случаев к тому, что такая группа оказывалась локально конечной. Поэтому естественно было рассмотреть произвольную группу, содержащую данное множество конечных простых неабелевых подгрупп, в качестве самостоятельного условия конечности.
Как оказалось, "насыщенность" является естественным обобщением понятия покрытия группы. Понятие покрытия появилось в начале 60-х годов в работах П.Г. Конторовича [5, 6]. В конце 60-х годов П.Г. Конторович, А.С. Пекелис и А.И. Старостин стали рассматривать покрытия в классах бесконечных групп [8]. Некоторый обзор результатов, полученных в данном направлении, можно найти в [8]. В начале 80-х годов В.В. Беляев [2] и независимо А.В. Боровик [3], С. Томас [36], Б. Хартли и Г. Шют [33] доказали следующую теорему:
Если локально конечная группа G обладает локальным покрытием, состоящим из множества подгрупп лиева типа, ранги которых ограничены в совокупности, то и сама G является группой лиева типа конечного ранга.
Напомним понятие локального покрытия. Множество 9Я подгрупп группы G называется локальным покрытием, если G = |J X и для любых
хеш X, Y є Ш найдется такой элемент Z є 9Я, что X С Z и Y С Z. Если группа обладает локальным покрытием, состоящим из некоторого множества
конечных групп, то она, очевидно, локально конечна, а для групп, насыщенных тем же множеством групп, это не всегда справедливо. Конструкция периодических произведений СИ. Адяна [1] позволяет строить периодические группы, насыщенные конечными множествами групп, содержащими любые конечные наборы групп нечётного порядка. Подобными свойствами обладают и примеры групп А.Ю. Ольшанского (см. [16-18]). И.Г. Лысёнок [11] и СВ. Иванов [31] показали, что группы В(т,п) при достаточно больших чётных п насыщены прямыми произведениями групп диэдра. Бесконечная локально конечная группа не может быть насыщена группами из конечного множества. То же самое справедливо и для групп Щункова с бесконечным числом элементов конечного порядка, так как они обладают бесконечными локально конечными подгруппами [22].
В связи с приведенной выше теоремой о локально конечных группах возник следующий вопрос, поставленный А.К. Шлёпкиным и вошедший в Коуровскую тетрадь [12] под номером 14.101:
Верно ли, что периодическая группа, насыщенная конечными простыми группами лиева типа, ранги которых ограничены в совокупности, сама является простой группой лиева типа конечного ранга?
Решением вопросов, связанных с понятием "насыщенности", посвящены работы Б. Амберга, Л.С. Казарина, А.А. Кузнецова, Д.В. Лыткиной, В.Д. Мазурова, Д.Н. Панюшкина, А.Г. Рубашкина, А.И. Созутова, Л.Р. Тухватулли-ной, А.К. Шлёпкина (см. обзор [39]). При этом в качестве групп насыщающего множества рассматривались не только простые группы. К направлению "насыщенности" относится и настоящая диссертационная работа.
Цель диссертации. Настоящая диссертация посвящена изучению периодических групп и групп Щункова, насыщенных различными множествами конечных групп, а также изучению групп периода 5.
Методы исследования. В работе используются методы локального анализа конечных групп, адаптированные к исследованию периодических групп. Кроме того, используются компьютерные вычисления для установления строения некоторых групп.
Научная новизна и практическая ценность. Все основные результаты диссертации являются новыми. Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут быть использованы как в дальнейших исследованиях групп, насыщенных тем или иным множеством групп, так и в других вопросах теории групп. Они могут быть включены в спецкурсы для студентов и аспирантов, специализирующихся в области алгебры.
Апробация диссертации. Результаты диссертации в период с 2005 по
2011 год были представлены на международных конференциях в Екатеринбурге, Красноярске, Нальчике, Новосибирске. В частности, на международной конференции по алгебре и геометрии, посвященной 80-летию со дня рождения А.И. Старостина (Екатеринбург, 2011), автором был сделан пленарный доклад по теме диссертации. Результаты работы неоднократно докладывались на семинарах КрасГАУ "Математические системы", СФУ "Городской алгебраический семинар" и семинаре отдела алгебры и топологии ИММ УрО РАН. Основные результаты опубликованы с полными доказательствами в работах [37,46-51] и принадлежат лично диссертанту.
Основные результаты диссертации состоят в следующем:
-
Доказано существование периодической части в группах Шункова, насыщенных группами вида Li2(q) (соответственно, SLi(2(Q) (соответственно, SL^iQ)) над подходящим локально конечным полем Q (теоремы 2.4.1, 2.5.1).
-
Доказано, что периодическая группа Шункова, насыщенная множеством простых трёхмерных унитарных групп Us(q) над конечными полями, изоморфна группе Us(Q) над подходящим локально конечным полем Q (теорема 3.6.1).
-
Доказано, что если периодическая группа G насыщена конечными простыми неабелевыми группами и в любой её конечной 2-подгруппе К все инволюции лежат в центре К, то G изоморфна одной из следующих групп: J1,L2(Q),Re(Q),Us(Q),Sz(Q) для подходящего локально конечного поля Q (теорема 3.7.1).
-
Установлено строение периодической группы Шункова G, насыщенной прямыми произведениями X х Y, где X принадлежит множеству групп вида Z*2(pn), Sz(22m+1), i?e(32s+1) и содержит элемент фиксированного простого порядка и нечетным порядком его централизатора, a Y принадлежит некоторому множеству конечных 2-групп. Доказано, что G = R х 02{G), где R изоморфна одной из групп L2(-F), Sz(P), Re(E) для подходящих локально конечных полей F, Р, Е (теорема 4.4.1).
-
Получено описание централизатора инволютивного автоморфизма <р универсальной конечной бернсайдовой группы периода 5 с двумя образующими: Во(2,5) = (х, у), переставляющего её образующие. Доказано, что его порядок равен 517; 3 — минимальное число порождающих, ступени нильпотентности и разрешимости равны 6 и 3 соответственно; получено коммутаторное представление и найдены соотношения для базисных коммутаторов (теорема 5.2.1).
6. Вычислен диаметр Кэли и получена функция роста для подгруппы Н = (ху,ух) группы Во(2, 5) = (х,у) (теорема 5.4.1).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [37-76], из них 16 работ опубликованы в изданиях из перечня ВАК.
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, 5 глав и списка литературы. Она изложена на 121 страницах текста, набраного в редакционно-издательской системе latex, библиография содержит 98 наименований.
