Введение к работе
Актуальность темы. Под условием конечности в теории групп понимается всякое такое свойство, присущее всем конечным группам, что существует хотя бы одна бесконечная группа, которая этим свойством не обладает.
В качестве основных условий конечности при изучении бесконечных групп в данной диссертации привлекаются условие слойной конечности и (в случае периодических почти локально разрешимых групп) условие примарной минимальности.
Словно конечные группы впервые появились (без названия) в одной из работ С.Н. Черникова 1945 г. и были полностью описаны в его работе, относящейся к 1948 г. Затем класс слойно конечных групп был незаслуженно забыт и довольно долгое время не находил применения, пока в 80-е годы учениками В.П. Шункова Е.й. Седо-вой(Чубаровой) и В.И. Сенашовым не были получены характерпза-ции слойно конечных групп и групп, обладающих слойно конечной периодической частью в достаточно широких классах групп (периодических бинарно разрешимых, сопряженно бипрнмнтпвно конечных и др.).
Что касается условия примарной минимальности, то оно было введено С.Н. Черниковым в одной из работ ЯЛ. Половнпкого, где группы с этим условием были полностью описаны последним в классе периодических локально разрешимых групп. Позднее И.К. Павлгоком была доказана почти локальная разрешимость локально конечных групп, удовлетворяющих этому условию, а А.К. Шлепкиным — локальная конечность периодических сопряженно бипримитивно конечных групп с условием примарной минимальности.
Отметим далее, что в большинстве работ, посвященных изучению групп с теми или ттттьтут условиями конечности, эти условия накладываются на все подгруппы, обладающие определенным свойством (локально конечные, локально разрешимые, абелевы и т.д.). Изучение групп при наложении условий конечности лишь на часть из этих подгрупп (например, инвариантных относительно некоторой конечной подгруппы) представляет собой более трудную задачу. Однако, и в этих случаях удается получать глубокие и содержательные результаты.
В частности, в конце 80-х гг. В.П. Шунковым была получена следующая
Теорема. Группа G, содержащая элемент а простого порядка р 2 тогда и только тогда обладает конечной периодической частью, когда выполняются следующие условия:
-
подгруппы вида гр(а,а3) конечны и почти все разрешимы;
-
а — точка группы G.
Согласно первоначальному определению, данному В.П. Шунковым, элемент g конечного порядка группы G называется точкой, если для любой нетривиальной конечной (у)-инвариантной конечной подгруппы К из G множество конечных подгрупп из Ng(K), содержащих элемент g конечно. Нетрудно проверить, что с учетом условия 1 теоремы, условие 2 равносильно следующему:
нормализатор любой нетривиальной (а)-инвариантной конечной подгруппы группы G обладает конечной периодической частью.
Отметим, что впоследствии именно это условие и было принято в качестве понятия точки группы.
В связи с указанным выше результатом В.П. Шунков поставил перед автором следующий вопрос: будет ли группа G, удовлетворяющая условию 1 сформулированной выше теоремы, обладать слойно конечной периодической частью, если нормализатор любой ее нетривиальной (а)-инвариантной конечной подгруппы обладает слойно конечной периодической частью?
Этот вопрос и послужил отправной точкой для тех исследований, результаты которых представлены в дайной диссертации.
Методика исследования. В работе применяются исключительно методы, конструкции и результаты теории групп.
Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие новые теоретические результаты:
по свойствам централизаторов элементов некоторой конечной элементарной абелевой подгруппы с точностью до конечных расширений получены характеризации слойно конечных групп и групп, удовчетво-ряющих условию прнмарной минимальности в классе периодических почти локально разрешимых групп;
в том же классе групп по свойствам нормализаторов подгрупп, инвариантных относительно некоторой конечной фиксированной подгруппы получена харахтернзация групп с условием приыарной минимальности;
по свойствам нормализаторов конечных подгрупп, инвариантных относительно некоторого элемента а нечетного простого порядка, получены характерпзашш групп, обладающих слойно конечной периодической частью в классе групп, удовлетворяющих (сильному) условию (о, а)-конечности;
по свойствам централизаторов инволюций четверной подгруппы Клейна получена одна харакгернзадня слойно конечных групп в классе 2-бипримитивно конечных групп.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа посит теоретический характер. Полученные результаты могут быть применены в теории бесконечных групп, а также быть использованы при чтении специальных курсов по алгебре.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на II н III Международных конференциях по алгебре (Барнаул, 1991 г., Красноярск 1993 г.), а также на семинарах "Алгебра и логика" и "Теориягрупп" Института математики СО РАН и Новосибирского государственного университета, на Красноярском городском алгебраическом семинаре, семинаре ВЦ СО РАН в г.Красноярске, алгебраическом семинаре ИММ УрО РАН и опубликованы в работах {1]-[6].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, разделенных на 5 параграфов и содержит 7 теорем. Первой главе предшествует раздел "Обозначения и известные результаты ". Общий объем диссертации составляет 72 страницы. Библиография содержит 55 наименований. Используется сквозная нумерация параграфов.