Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. Задачи о строении многочленных матриц возникали еще в прошлой веко в работах Кэли, Сильвестра, Фробениуса при изучении проствйиих матричных уравнений. От-крытко К.Войергатрассоы элементарных делителей многочленных катрйц стало ваяным етапом дальнейшего исследования их строения, а такко приведения к более простым формам при помощи преобразований различных типов. С возникновением ряда прик -ладных задач (оптимальное управление, прогнозирование, колебательные системы, квантовая физика), требующих изучения структуры многочленных матриц, в 60-х годах появляется мнс-пество публикаций зарубежных и отечественных авторов - работы М.Крейна, Х.Лангора, Р.Ве'бера, П.Ланкастера, Л.Родмана, А.С.Маркуса, ИЛЗЛ!эрзуш, А.Н.Малышева и др., посвященных этому вопросу.
В 1965 году в работе П.С.Казимирского "Про розклад полі-нозЯальиоІ матриці на миозншш" (Доп. АН 7РСР, 1965, 7, С. 847-349) введено понятно значення многочленной матрицы на оистеме корней многочлена. Это понятие стало фундаментальный в разработанной П.С.Казкшфским и его учениками теории разложения ыногрчлэиных матриц яа ыноэштоли. Другим фундаментальный по -нятиеи этой теории стало введенное в 1976 году П.С.Казимирс-клм п В.НЛетричковичем понятие полускалярной эквивалентности многочленных матриц. Задача о полускалярной эквивалентности многочленных матриц непосредственно связана с известной проблемой подобия конечных наборов числовых матриц - одной из самых давних и сложных матричных проблем. Поэтому установленная относительно полускалярно эквивалентных преобразований специальная треугольная форма стала основой поиска канонической формы полускалярно эквивалентных матриц, например,' в исследованиях Б.З.Шаваровского.
В 1988 году П.С.Казимнрский предложил применять понятие значения многочленной матрицы на системе корней многочлена для изучения вопроса полускалярной эквивалентности многочленных матриц. Такой подход позволяет заменить задачу.о полуска -
лярцой эквивалентности многочленных матриц задачей о так на -зиваемой ( Д , С. )- еквивалэнтиости определенных числових матриц. П.С.Казіааірским и О.Ы.Мелышком кссяедован вопрос ио-лускадярной оквивалаитности многочленных матриц о попарно различными характеристическими корнями о помощью (4 , С )-преобразований накоторых чдсловнх матриц.
В настоящей робото продолжено лзучонне полускалярной ек-внвалентности многочленных матриц, а татао вопросов их подо -бия и приведешш преобразованиями подобия к более простим видам.
ЦВЛЬ РАБОТЫ: I. Изучи- свойства (Л , С )- преобразований числовых.матриц, построенных для многочленных матриц о попарно вваимно простыни влешитаршаш двлитолтш. 2.-Исследовать полускалярпую эквивалентность многочленных'матриц с одним элементарным делителем, используя (А , С )- про -образования соответствующих числових матриц.
3. Найти необходимые и достаточные условия полускалярпой шгви-
валентности многочленных матриц с канонической диагональной
формой diay (/,. . /,,)}г, , f, 6t...H). где fa, 6/) - /
При LtJ
4. Определить возможные типы вквЕваленткых многочленных ыат -
риц. Найти необходимые и достаточные условия полускалярной ек-
вивалентности многочленных матриц в терминах их зордановых це
почек.
ЫЕТОДЖА ИССЛЕДОВАНИЙ. В работе используются методы ли -нейиой алгебры, в частности, методы исследования строения матричных многочленов, разработанных П.СКазимирскЕц и В.Ы.Пет-ричковичем и основанные на понятии значения многочленной матрицы на системе корней многочлена п полускалярной эквивалент -ности многочленных матриц.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В диссертации развит и применен новый . подход к изучении полускалярной еквивалептности некоторых классов многочленных матриц, заключающийся в исследовании так называемой (Л , С )- еквивалептности определенных числовых матриц. Найдена нормальная форма (Л , С )- оквивалентных числовых матриц, соответствующих многочлошшм матрицам с одним
элементарным делителем. Полученные результаты применяются к : изучению вопроса подобия некоторых классов унитальных матриц.
Все изложенные в диссертации результаты является новыми.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит тёо-
ретнчвекий характер. Результате исследований Находят непо"- V
оредственное применение в прикладных вопросах линейной алге
бры, в теории матричных многочленов к полиномиальных опера' -;
торных пучков.' ~ ь
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные положения и результаты работы докладывались на семинарах отдела алгебры и конференциях молодых ученых ИШОД АН Украины, на семинаре по общей алгебре н ' математической логики Института математики о ВЦ АН Молдовы и Кишиневского университета, на 19-ой (Львов, 1987 г.) Всесовз-ной алгебраической конференции, на Международной конференции, по алгебре (Новосибирск, 1989 г.), на 6-ом симпозиуме по творил колец, алгебр п модулей (Львов, 1990 г.) и на Иэждународ-ной конференции по алгебре (Новосибирск, 1991 г.). "
ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано 10 работ , список которых приведен в конце автореферата.
ОБТЕМ И СТРУКТУРА РАБОТЫ. Диссертационная работа состоит па введения, четырех разделов, списка литературы и изложена на 140 страницах машинописного текста.-Список литературы содерхит 68 наименований литературных источников,'