Введение к работе
Актуальность темы. Задача погружения полей - одна из центральных проблем теории Галуа. Будучи прямым обобщением обратной задачи теории Галуа, она в то же время является полезным инструментом при ее исследовании.
У истоков теории погружения стоят такие известные математики 30-х годов XX века, как А. Шольц, Р. Браузр, Е. Витт, X. Рейхардт. Отчетливая формулировка задачи погружения была дана в фундаментальной работе 1944 г. "Исследования по геометрии теории Галуа" (Б. Н. Делоне и Д. К. Фаддеев). Несколько позже проблема погружения была повторно сформулирована X. Хассе.
В послевоенные годы интерес к задаче погружения растет, и самые крупные результаты в этом направлении связаны с именами X. Хассе, Ж.-П. Серра, Д. К. Фаддеева, И. Р. Шафаревича и их учеников. Так, именно благодаря технике погружения удалось решить обратную задачу теории Галуа для числовых полей и разрешимых групп (И. Р. Шафаревич). В конце пятидесятых годов была решена задача погружения для локальных полей с некоммутативным ядром (С. П. Демушкин, И. Р. Шафаревич), а в шестидесятые годы найдены полные условия погружения в гомологических терминах в случае коммутативного ядра (А. В. Яковлев).
Определенным этапом в теории погружения стала книга, написанная Д. К. Фаддеевым в соавторстве с В. В. Ишхановым и Б. Б. Лурье "Задача погружения в теории Галуа" (1990 г., имеется английский перевод). В этой книге излагаются различные подходы к задаче погружения, и в нее включены практически все значимые результаты, полученные ко времени написания (к сожалению, в связи с общей обстановкой конца восьмидесятых годов выход книги сильно задержался, и сам Д. К. Фаддеев не дожил до ее появления).
Если результаты в теории погружения с коммутативным ядром носят, в основном, законченный характер, то задача погружения с некоммутативным ядром весьма залека от завершения. Причины, препятствующие созданию в этой проблематике сколько-нибудь стройной теории коренятся в отсутствии удовлетворительного описания групповых расширений с некоммутативным ядром, неразработанности аппарата некоммутативных гомо-
логий и его слабой применимости к теории погружения.
Основные результаты в проблеме погружения с некоммутативным ядром получены, главным образом, немецкими математиками (К. Хехсман, К. Матцат, Ю. Нейкирх и другие) и их коллегами из России — В. В. Ишхановым и автором.
В диссертации собраны результаты автора в проблеме погружения, полученные за последние десятилетия. Результаты, которые были получены в соавторстве с В. В. Ишхановым, где вклад автора невелик, в диссертацию не включены.
Цель работы. Основная цель диссертации - полное исследование условия согласности Фаддеева-Хассе, условия существования собственных решений задачи погружения для локальных полей, выяснение роли присоединенных задач погружения, исследование феномена универсальной погружаемости, нахождение достаточного признака неразрешимости в радикалах уравнения простой степени.
Методы исследования. Применяются методы теории Галуа, теории алгебр, теории когомологий.
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты.
-
Условие согласности Фаддеева-Хассе редуцировано к случаю р-групп.
-
В случае числовых полей условие согласности редуцировано к случаю абелева ядра.
-
Доказана редукционная теорема, позволяющая существенно упростить нахождение собственных решений задачи погружения для локальных полей. Найдены также простые достаточные условия такой разрешимости.
-
Выявлено существование универсально разрешимых, но не расщепляющихся расширений. Доказано, что такие расширения существуют для любой группы Галуа погружаемого поля, порядок которой больше двух.
-
Доказано, что задача, определенная над р-расширением, эквивалентна присоединенной задаче с р-группами, если силов-ская подгруппа ядра коммутативна.
-
Доказан аналог теоремы Кохендорфера-Фаддеева, когда ядро является группой диэдра. Решена задача с ядром, изоморфным знакопеременной группе шести элементов.
7. Доказано, что неприводимое уравнение простой степени р = 1( (mod 4)) неразрешимо в радикалах, если его дискриминант не является суммой двух квадратов в основном поле.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на алгебраическом семинаре им. Д. К. Фаддеева (Санкт-Петербург), на алгебраической школе в Омске, на различных алгебраических конференциях (междунаод-ная конференция памяти Д. К. Фаддеева, 1997 г., Международная конференция памяти 3. И. Боревича, 2002 г.).
Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в теории Галуа, теории алгебр, алгебраической теории чисел и других областях.
Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в монографии и девяти научных статьях, список которых приведен в конце автореферата.
В книге [5] диссертанту принадлежат результаты двух последних параграфов главы 2, глава 4 полностью и параграфы 1, 2 главы 5. В статье [3] соавтору принадлежат некоторые вычисления в конкретных задачах, позволившие диссертанту обобщить накопленный материал и написать данную статью.В работе [7] диссертантом получены все результаты, кроме некоторых вычислений в теореме 2. В работе [10] соавтору принадлежит наблюдение, что резольвента не имеет целых корней, если а не четно, а Ь сравнимо с 2 по модулю 4 (в корпус диссертации не вошло). В остальных указанных публикациях все результаты принадлежат диссертанту.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав и списка литературы, содержащего 85 названий. Общий объем диссертации составляет 117 страниц.
