Введение к работе
Актуальность темы: Началом алгебраической К-теории послужило доказательство А. Гротендика обобщенной теоремы Римана-Роха в 1957 году, в котором была определена группа КСХ) C=KQCX53 классов векторных расслоений на схеме X.
Немного позднее X.Басе, основываясь на работах Дж. X. С. Уайтхеда, определил группу К^СЮ, связянную с обратимыми матрицами над кольцом R. В своей книге'Rice исследовал связи между функторами К0 и Кг
Следующий шаг сделал Дж. Милнор"' определив іруппу КрС Ю, описывающую соотношения между элементарными матрицами над кольцом R. Оказалось, что группа Милнора связана с символами и законами взаимности.
Определение остальных К-функторов Кп при п>2 было дано Д. Квилленом ' . Алгебраическая К-теория является очень тонким инвариантом. В частности, она связана с группами Чжоу и со значениями в целых точках С-функций многообразий. Предпологается, что гипотетические мотивныэ когомологии также тесно связаны с К-теорией.
Цель работы, изучение эквивариантных аналогов алгебраической К-теории колец и схем, на которых заданы действия алгебр Хопфа и групповых схем, соответственно. Под эквивариантной К-теорией понимается К-теория категорий эквивариантных модулей, т.е. модулей на которых заданы действия алгебры Хопфа или групповой схемы, согласованные с действием на кольце или схеме.
В работе используются теория алгебр Хопфа, общие методы теории категорий, алгебраическая К-теория, результаты из гомологической алгебры и алгебраической геометрик.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являотся новыми.
D найдены достаточные условия эквивалентности категории эквивариантных модулей и категории G-градуированных модулей, для некоторой группы G,
^Басс X. Алгебраическая К-теория. М. , Ь(ир, 1973.
^Милнор Дк. Введение в алгебраическую К-теорив. М. , Мир, 1974.
"VQuillen D. Higher algebraic K-functors. Lecture Noties in Math. , 1973, v 341, 85-147.
Hf 9 О
і.
2) для конечной группы G вычислена К-теория категории
G-градуированных модулей,
3D вычислена К-теория категории* зквнвариантных модулей, если
заданное действие алгебры Хопфа нильпотентно,
4) для действия дискретной группы G на регулярной схеме X описаны
зквивариантная группа Пикара и когомологии G-модуля PicCX).
Приложение. Результаты диссертации носят теоретический характер. Они могут найти применение в алгебраической К-теории.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по алгебра под руководством А. И. Кострикина, на семинаре по теории колец под руководством А.В.Михалева и В.А.Артамонова в МГУ, на. семинарах по алгебре в КГУ и ЛОМИ и на международной конференции памяти А. И. Мальцева в Новосибирске.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах автора, список которых приведен в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения - гл. О и пяти глав, связанных общим содержанием, но раз дичащихся направлением и способами исследования. Работа снабжена библиографией из 26 названий и оглавлением.