Эндоморфизмы и радикалы колец Мушруб, Владимир Александрович

Введение к работе

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. Понятие радикала иизет обцеалгсбрап-чэскиН характер, оио успешно праыеняется при изучении колец и алгебр, групп, полугрупп, «одулей и категории. 3 категории колец, в отличие, скаком, от категории ыодуле'Д, радикальное отображение не является подфункюроа тождественного Функтора (оа. [II ). Поэтоиу представляется важный выяснить, при каких условиях образ радикала данного ассоциативного кольца относительно некоторого кольцевого зндоі'оріизка содержится в эюм so радикале кольца. Идеал X кольца & называют -инвариантным (или инвариантный относительно эндоыоруиэиа

^:R—>R ), ее».^(1)si .

Рено [23 и Дин [3] поставили следующую проблему:

Проблема I. Является ли первичный радикал нстерова слева кольца инвариантный относительно всех инъективных эндоыорфиз-ігов этого кольца?

Более сбце.1 явлпотся

Проблема 2. (А.Б.Михалев) Пусть радикал в классе всех колец ( ф-алгебр). Найти условия на кольцо R н его эндоморфизм -[ , достаточные для инваризнтности радикала 5 CR) относительно 4. .

1. Андрунакиевпч В.А., Рябухин Ю.И. Радикалы алгебр и структурная теория. - М.:Наука. - 1979.

2. Renault С. Anneaux de polynoneo de Oro our deo nnneaux Artiniena// Cocaun. Als. - 1979. - V. 7,N 7. - P. 753-761.

3. Dean С. Mdnosorphisns and radicals of Uoetherian ringe// J. A1_S. - 1986. - V. 99, II 2. - P. 573-576.

Яіегаоїікпр [>j для арткиовых колец, Рено [23 для полу-примарных колец и Дин 3^ для кетеровых справа колец с условием максимальности для правых аннулягоров доказали инварчаніносїь верхнего нильрадикала относительно инъектквкнх эндоморфизмов. Уилккнсои [5] для весьма узкого круга колец к эндоморфизмов доказал инвариантность радикала Дяекобсона.

Ответим, что если идеал S(R) инвариантен относительно эндоморфизма J/ . ю аддитивная группа 50^^²³^ S(R)^

or Сі ^іуу будет идеалом кольца косых многочленов KL^-if * % ^чї позволяет

свести изучение кольца RQx, 1~\ к изучению кольца косых многочленов над S -пслупростым кольцом f?/S(R).

Кольцо A(R F) называемое в диссертации расыирением Коиа-Іордана, является обобцением кольцаJ\(к.^.) , определенного Иорданом [6] и исследованного Ушшинсоном С?3 Это расширенно описано в более общей случае для универсальных алгебр в 7.3 монографии Кона [8] . В работах_> [73 и [6] отмечается, что изучение свойств кольцаA(R.,i) позволяет переносить результа-

4. Jatogaonkar A.V, Skew polynomial rings over orders In Arti-nlan rings // J. Alg, - 1972. - V. 21,N 1. -P. 51-53.

5. Wilkineon J.C. Injoctivo endonorphisaa and паяіиаі loft ideale of left Artinian rings // Glasgow Math. J. - 1998. -V. 30. N 2 - P. 195-201.

6. Jordan D. A'. Biective extension of injectivo ring endoaoi— phisms // J. London Kath. Soc., Ser. 2. - 1982. - V. 25,

И 3. - ?. 435-443.

7. Wilkinson J. C. Quotient rings, chain conditions and infective ring endomorphieine // Glasgow Math. J. - 1989. - V.31, » 2, - P. 173-181.

8. Кон П. Универсальная алгебра. - M.: Наука. - 1968.

ты, полученные для кольца косых многочленовRС^хрг 1 в *^ои случае, когда -± — автоиорфиза, на тог случай, когда — кнъективниМ эндоморфизм. Возникает

Проблема 3. Найти свойстза кольца R , которие наследовались бы кольцом ACR Р)

Обозначим чорез ^ гПИЪ радикал Джекобсона и перэичсый
радикал сооїветствснпо. Классическая теорека Аыицура [9] ут-
верздаст, чю ^(R[Xl) = ІС^О , гдеХ — некоторый ниль-
идеол кольца R . Kpoue їого,"^(|^СхЗ)=(ЗДй))[X}
В большинстве работ, где изучаются классические радикалы колец
косых многочленов ?Х » з частности, в рабо-

тах СЮ - IV] исследование ограничивается ллпь тец случаен, когда $. - автоморфизм. Если отказаться or этого ограниченна,

10. 3edl S.S., Кая J, Jacobson radical of ekew polynomial ring3 and skew group rings // Iar. J. Hath. - 1900. -V. 35. N.4. - P. 327-337.

11. Jordan C.R.,Jordan D.A. A note on aeaiprimitivity of Ore exten3lona//Connun.Alg. - 1976. - V.4.N 7. -'P. 647-656.

12. Puczylowski 3.X. Behaviour of radical properties of rings uder cone algebraic constructions // "Radical Theory". Eger (Hungary),. 1S82. - Colloc.lIath.Soc. Janoe Boliai. -

. V. 33. - P. 449-4S0.

13. Voskoglou Ц.О. Seniprlme ideals of akew polynonial ring8// Publ. Inat. ilath.(Beograd). - 1990. - V.47(61).-P. 33-38.

14. Han J. On the aer-iainplicity of akew polynooial ringa II .Math.Soo. - 1984. - V.90.N 3. - P. 347-351.

_ 4 -

то за достигнутую таким путш общность придется платить возникновением ряда проолегг.в число которых находятся проблемы I и 3.

Проблема 4. ПустьЬ!= ю(?)и — иаъокгивннй эндоморфизм кольца R . Найти условия на кольцоР , которые достаточна для выполнения одного еэ следующих равенств: (a) ^(R[^X ^3]~|\1[хГ)5

(e)^3(RC^_;f_;^])=NGx3 і <»)^(R[x,l)=NiXi .

Дли [33 доказал равенство (а) для нётерових справа колец с условием каксималыюстя для левых оинуляторов.

Хорстейн [153 , [163 высказал следуизую гипотезу. Гипотеза 5. Пусть $ - нётерово слева кольцо, [_, а 2~ ^ег0 левые идеалы и |_, - левый нильвдоал относительно 2 * Тогда левый идеал [__, нильпотентен относительно 2

Херстейи [163 л Мзйер [173 для артиновнх.слева колзц.Херетейн [153 для Рі-алгеСр и Стаффорд [183 для вполне ограниченных слеш колец, для простых колец и в том случае, когда2 — L* и модуль L/2 артинов.доказали гипотезу 5.

ЦЕДЬ РАБОТЫ, Иооледовазшо вопроса ой ннвариантнооти классических радикалов ассоциативных колец откоситолыю эндоморфизмов, прилоаенке полученных результатов к кольцам косых многочленов,

15. Herotein I.H, A thoorea on left Uoetherian riiyja // J.Math, Anal, Appl, - 1966. - V. 15, ЇМ. - P. 91-96.

16. Herotein I.N, A nil-nilpotent type of thsoran // Аерос^з of Uatheraatica end It о Applications. Bloevier Science Publisher D. V. - 1S86. - P. 397-400.

17. Meyer J.H, A nil-irapliee-nilpotent result in Artinien rings // Bull. Austral Math. Soo. - 1986. - V. 34. - P. 267-269.

'V.

18. Stafford J.T. A nil ішрііев nilpotent theorem for left
ideala // J. Algi - 1990. - V. 133, N 2. - P. 545-549.

изучение свойств расширения Хона-Іордана и колец косых миого-

членов со многими яоимуіирук'диии перокенсыки, полное решение

проблеми I", исследование проблей 2-Й доказательство гипотезы 5 в частном случае.

ИЗТОДЦ ИССЛЕДОВАНИЯ. В диссертации использованы методы теории ассоциативных колец, развита техника работы о ловима аннулп-юрааи. При изучении свойств колец косых многочленов со иіюгиші комму іируюкими переысшшыи в работе систематически используется конструкция расширения кольца о поиоцью множества его инъектив-ных эндоморфизмов (называемая з диссертации расширением Кона— Зордаяа). Кромо того, в работе использованы теореми Шока о нильпотентности нильподколец (см. [19] , [20] ) и методы их доказательства.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все основные результата диссертации являются яозыаи. Основными результатами диссертации являются еледуедко г

1. получено положительное реиение проблеми Рано (с:.:, проблему I), для широкого класса колец (включающего кольца Голди, кольца о размерностью Крулля) установлена инвариантность верхне-го нильрадикала относительно всех эндоморфизмов с нильядром, нойденн классы колоц и алгебр, радикал Дкекобсона которых инвариантен относительно эндоморфизмов с киази регулярным ядром или относитально икъектизных эндоморфизмов (теореми I.I.2, 1.2.2, 1.2.3, 1.2.4);

2. з чаотном случае доказана гипотеза Херстеііна (теореаа злл); '

19. Shock Н.С. UAl subrin^o in fir.itnesa conditions // А=зг. Kath. Ubnthiy. - 1979. - V. 73. - P. 741-743.

20. Shock K.C. Tho ring of endocorphions of a finite ііделзіо-nal module//Isr.J.Uath. - 1972. - Y.li,:r 3.-P. 303-314.

3. получено описание первичного радикала и радикала Дхекоб-сона колец косых многочленов со многими коммутирующими переменными над кольца;.:!: с некоторыми условиями конечности (см. теоремы 4.2.2 - 4.2.5).

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ К ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применения в теории-колец и гомологической алгебре.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на Международной конференции по алгебре, посвященной памяти А.К. Мальцева (Новосибирск, -1989г.), на УІ Симпозиуме по теории колец, алгебр и модулей (Львов, 1990г.), на 26 Всесоюзной научной студенческой конференции (Новосибирск, 1983г.), на семинаре по теории колец III! СО АН СССР (1988г.), на научно-исследоваюльскоы семинаре по обцой алгобрс и семинаре "Кольца и модули" МГУ (Москва, І987-І992ГГ.).

ПУБЛИКАЦИИ. Результаты диссертации опубликованы в 7 работах автора I/ - і/, список которых приведен в конце автореферата.

ОБЬКМ РАБОТЫ. Диссертация изложена на15"5 страницах и состоит из введения, нулевой главы, четырех глав и двух приложений. Библиография содержит 72 наименования.