Введение к работе
Актуальность темі. Характерной чертой современного этапа развития теории модулярных представлений групп Шевалле является активное привлечение гомологических методов. Одной из причин необходимости широкого использования гомологической алгебры является известная интерпретация низших групп когомологий как объектов , "отвечающих" за расширения модулей и групп. Традиционно важным направлением теории модулярных представлешій является изучение представлений групп Шевалле в собствен-ной характеристике.
Пусть G(q) (соотв., G) - универсальная гру.ла Шевалле, построенная с помощью поля lc=GP(q), q=pn (соотв., поля К=К)1К Основным объектом изучеїшя упомянутой теоріга являются рациопалыше конечномерные К-представления группы G (рассмотрошюй как алгебраическая группа) и конечномерные К-представления конечной подгруппы G(q)
res: Ext^(L.M)—Ext^(q) (L.M) (1)
инъективно для всех "интересных" модулей L и М. Тагаїм образом,
Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле. М., Мир, 1975
Cllne Е., Parshall В., Scott L., van der Kallen її. Rational
and generic cohoraology, Invent. Hath., 39(1977), p. 143-163.
1-когомологии конечной группы G(q) устроены не проще, чем (рациональные) 1-когомологии G.
К настоящему времени когомологическая теория рациональных представлений алгебраических групп является весьма развитой (см.,. напр., ^),4)). значительный вклад в нее внесли Андерсен, Донкин, Клайн, Паршалл, Скотт, Хамфри, Янтцон и другие известные математики. Что касается аналогичной теории для конечных групп Шевалле, то здесь получено меньше результатов, имеющих, к тому же, значительно менее общий характер. Часть из них, подобно, упомянутому результату Клайна, Паршалла, Скотта и ван дер Каллена, связывает когомологии G(q) и G (см. также ^)). Другая состоит из конкретных фактов о группах H1(G(q),M) для наиболее просто устроенных и часто встречающихся модулей Н, при этом 1 обычно равно 1 или 2. Если эти результаты получаются с использованием когомологии объемлющей алгебраической группы , то, как правило, возникают неприятные ограничения на характеристику, в которых фигурирует число Кокстера h (слабейшее из них: p>h).
Один из подходов, позволяющих получать результаты без существенных ограничений на характеристику, связан с переходом к удобной параболической подгруппе ? Parshall В. Cohomology of algebraic groups. Proc. Symp. In Pure Hath., V. 47, Part 1, 1988, p. 233-248. Andersen H. H.' Extensions of modules Tor algebraic groups, American \ Math., 1984, V.. 106, p. 489-504. Andersen H. H. Extensions of simple modules for finite Chevalley groups, J. Algebra, І987, V. 111, p. 388-403. ности Хохшильда-Серра, соответствующей расширению 1-»її-»Р-»Х-»1.На этом пути Са6 ^ и Белл7 ^ вычислили группы IIi(SLn(q),Ar(V)), 1=1,2 и ExtJb (q)(Ar(V),As(V)) (здесь V - естественный SL ^)-модуль). Используя близкий метод (с Р=Б - боре-левская подгруппа), Клайн, Паршалл, и Скотт ' нашли все группы И1 (G(q),L(X)'>t где L(X) - неприводимый KG(qj-модуль, старший вес \ которого является микровесом. Аврунин9' и Ландазури решили аналогичную задачу для второй группы когомологий. А Смит, Волклейн10'' и Кабанес нашли группы ExtJ (L(X),L(u.)), где х и ц. - микровеса. Отмени также важные (используемнч часто в качестве базы шідукции) результаты Карлсона11^ и Тезуки о когомологиях SL (q), Андерсена^' - о когомологиях SL3(p), а также. Сипа - о когомологиях групп БЬзСг11), SpA(2n),- G2(2n), G2(3n). .. В настоящей диссертации мы развиваем методы из V . ;и б^ Sail С..-Н. Cohomclogy ої split group extensions I,II, J. .Algebra, 29(1974), p. 255-302, 45(1977), p. 17-68. : . 7' Bell G. V?. On the cohomology of finite special, linear groups I, II, J. Algebra, V. 54 (1978), 216-238, 239-259. . ; Cllne E., Parshall В., Scott L. Cohomology of finite groups of Lie type I, Publ. Math.' I. II. E. S., V. 45 (1975), p. 169-191. 9) Avrunln G. A. A vanishing theorem for second degree cohomology, J. Algebra, V. 53 (1978), p. 382-388. ^Volkleln H. On extensions between simple modules of a Cheval-ley group, Rend. Cirk. mat. Palermo, 5er. 2,' 39(1990), Suppl. N23, p. 337-346. 11^Carlson J. F. The cohomology of Irreducible modules over SL?(pn), Proc. London Math. Soc. (3), V. 47(1983), p. 480-492. получаем оценку на размерность груш H^GCq),!), 1=1,2, для неприводимого модуля L, использующую некоторые предположения о композиционных факторах ограничения L|X. Это дает возможность применить индукцию к некоторым модулям 1 с "хорошими" празилами ветвления 1|Х. В качестве применения данной оценки найдены 1-когомологии конечных групп Шевалле с коэффициентами в неприводимых модулях с одномерными весовыми пространствами (относительно подгруппы Кар-тана К группы G). Такие' модули были классифицированы А. Е. Залесским и И. Д. Супруненко12' и встречаются довольно часто. К их числу относятся, например, модули Ь(\), где х - микровес.в частности, ЗІіп(д)-модули Л*(У), а также модули срезанных полиномов над SLn(q). Поэтому полученные результаты могут быть рассмотрены как развитие упомішавшихся работ Са, Белла, Клайна, Паршалла и Скотта. Кроме того, найдены группы H^SL^p^S^OO), j=1,...,р-1, где S*4V) - 3-я симметрическая степень естественного SLn(p)-модуля V. Эти результаты оказались полезными при классификации А. Е. Залесским.и Дж. Диксоном конечных линейных групп простой степени В качестве другого приложения данной оценки получен ряд результатов о 1- и 2- когомологиях конечных груш Шевалле с коэффициентами в модулях с лерэдикальными старшими весами (причем, необязательно неприводимых). Отметим, что для объемлющей алгебраической группы G соответствующие группы когомологии Есегда тривиальны. Таким образам, наши результаты могут быть интерпретированы Залесский А. Е., Супруненко И. Д. Представления размерности (рп+1)/2 симплектической группы степени 2п над полем характеристики р, Весці АН БССР, сер. фіз-мат. навук, 1987, N6, 9-15. как результаты о сюръективности отображения (1). развивающие ^' , где приведены некоторые общие условия сюръективности (1), включа-вдке, кроме всего прочего, сильное ограничение на характеристику: р>3(1г-1). Цель работы - получение оценки размерности первой и второй групп когомологий конечной группы Шевалле с коэффициентами в неприводимом модуле, вычисление с ее помощью 1-когомологий конечных групп Шевалле с-коэффициентами в неприводимых модулях с одно-' мерными весовыми . пространствами, 1- и 2-когомологий конечных групп Шевалле с коэффициентами в некоторых модулях с нерадикаль--ными старшими весами, вычисление 2-когомологий bLn(p) с коэффициентами в J-x симметрических степенях естественного модуля над SI^Cp), J=1,...,р-1,-а также получение аналогичных результатов для некоторых факторов Леви конечных групп Шевалле, в частности для группы GLn(p). Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми. Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и метода могут быть использованы для дальнейшего изучения модулярных представлений групп Шевалле, вычисления жх\ .ологий групп Шевалле, в теории линейных групп. Апробация работы. Результаты работы докладывались на научно-исследовательском семинаре по алгебре в Институте математики АН Беларуси, на IV школе "Алгебра и анализ" в г. Омске, на мевдуна-родной конференции по алгебре в г. Барнауле, на VI конференции математиков Беларуси в г. Гродно, на алгебраическом семинаре в ЛОМИ. Публикации. Содержание диссертации опубликовано в шести ра- ботах, список которых приведен в конце автореферата. . Объем работы. Диссертация состоит из зведення и трех глав и изложена на 126 страницах. Библиография содерамт 57 наименований.