Кольца формальных матриц и их изоморфизмы Тапкин Даниль Тагирзянович

Введение к работе

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена исследованию проблемы изоморфизма колец формальных матриц и исследованию смежной проблемы, нахождению общего вида автоморфизмов колец формальных матриц. В настоящей работе исследованы кольца формальных матриц со значением в кольце, кольца верхнетреугольных формальных матриц и близкие им кольца.

Одной из классических проблем современной алгебры является проблема гомологической классификации колец, а именно изучение связей между свойствами колец и категории модулей над ними. В связи с этим актуальной является проблема описания эквивалентности категорий модулей, которая была исследована и решена К. Морита в 1958 году в терминах существования контекста Мориты. Это упорядоченная шестерка {R,S,M,N,ip,ij)), где Д, S -кольца, М, N - бимодули, и они связаны между собой с помощью бимодульных гомоморфизмов Lp и ф.

( R М\

Имея контекст Мориты, можно задать кольцо матриц с

естественными операциями матричного сложения или умножения. Такие кольца называются кольцами контекста Мориты или кольцами формальных матриц порядка 2. Аналогично можно определить и кольца формальных матриц произвольного порядка п. Если какое-либо кольцо R содержит нетривиальный идемпотент е, то кольцо R можно рассматривать как

/ еДе еД(1 - е) \

кольцо формальных матриц . Так кольцо

\ (І-е)Де (1-е)Д(1-е) )

эндоморфизмов разложимого модуля является кольцом формальных матриц. Все это подтверждает целесообразность изучения колец формальных матриц. Особо широкое развитие изучение теоретико-кольцевых свойств колец

¹Morita, К. Duality for modules and its applications to the theory of rings with minimum condition // Sci. Rep. Tokyo Kyoiku Daigaku. - 1958. - V. 6. - P. 83—142.

формальных матриц и модулей над ними получило в последнее время ²

Важным классом колец формальных матриц являются кольца верхнетреугольных формальных матриц. Эти кольца часто используют для построения колец с асимметричными свойствами (к примеру, нетерово слева, но не справа кольцо). При изучении верхнетреугольных колец формальных матриц был поставлен вопрос восстановления диагональных колец по кольцу формальных матриц . В рамках этой проблемы в исходной работе ив был получен явный вид изоморфизма верхнетреугольных колец контекста Мориты сначала с условием, что диагональные кольца не содержат идемпотентов, а затем, когда диагональные кольца - полуцентральные приведенные. В статье был получен явный вид изоморфизма уже для колец контекста Мориты с нулевыми идеалами следа. В статье был получен критерий изоморфизма для колец верхнетреугольных матриц, но в итеративной форме: для цепочки колец существует цепочка изоморфизмов. Проблема описания общего вида изоморфизмов осталась открытой.

Естественным частным случаем колец формальных матриц являются кольца контекста Мориты со значением в кольце Д, т.е. кольца формальных

f R К\

матриц вида . Впервые такие кольца были введены и изучены

²Goodearl K.R. Ring Theory. - New York-Basel: Dekker, 1976.

³Ярдыков Е.Ю. Модули над кольцами обобщенных матриц: дис. канд. физ.-мат. наук:

01.01.06 // Томск. - 2009. - 80 с.

⁴Крылов П.А., Туганбаев А.А. Модули над кольцами формальных матриц // Фундамент. и прикл. матем. - 2009. - Т.15 - № 8. - С. 145—211.

⁸Крылов П.А., Туганбаев А.А. Формальные матрицы и их определители // Фундамент, и прикл. матем. - 2014. - Т.19 - № 1. - С. 65—119.

⁶Абызов А.Н., Туганбаев А.А. Формальные матрицы и кольца, близкие к регулярным // Фундамент, и прикл. матем. - 2016. - Т.21 - № 1. - С. 5—21.

⁷Khazal R., Dascalescu S., van Wyk L. Isomorphisms of generalized triangular matrix-rings and recovery of tiles // Internat. J. Math. Math. Sci. - 2003. - V. 2003. - № 9. - P. 533—538.

⁸Anh P.N., van Wyk L. Automorphism group of generalized triangular matrix rings// Linear Algebra and its Appl. - 2011. - V. 434. - P. 1018-1026.

⁹Boboc C, Dascalescu S., van Wyk L. Isomorphisms between Morita context rings // Linear and Multilinear Algebra. - 2012. - V. 60. - P. 545-563.

¹⁰Anh P.N., van Wyk L. Isomorphisms between strongly triangular matrix rings // Linear Algebra and its Appl. - 2013. - V. 438. - P. 4374-4381.

П.А. Крыловым в статье . Эти кольца получили обозначение K_S(R), где s - центральный элемент кольца Д, определяющий произведение в кольце формальных матриц. Для них была поставлена и решена проблема изоморфизма: при каких условиях на элементы s и ( кольца K_S(R) и K_t(R) изоморфны? При определенных ограничениях на кольцо R изоморфизм имеет место в том и только в том случае, когда элементы s и t с точностью до автоморфизма отличаются на обратимый элемент. Эта статья инициировала целый ряд исследований. Так в статье этот критерий изоморфизма был перенесен на более широкий класс колец і?, а в статье был введен уже новый класс колец формальных матриц порядка п, для которых также выполняется аналогичное условие. Для колец формальных матриц со значением в кольце было введено понятие определителя, характеристического многочлена, доказана теорема Гамильтона Кэли. Была рассмотрена проблема изоморфизма для еще более широкого класса колец матриц . Были изучены группы Гротендика и Уайтхеда. Всестороннее исследование колец формальных матриц можно найти в монографии .

Так как кольца формальных матриц естественным образом обобщают
обыкновенные матричные кольца, то на них стали переносить уже
рассмотренные ранее проблемы для матричных колец. Так широко

известным следствием из теоремы Сколема-Нетер является тот факт, что все автоморфизмы алгебры матриц над полем являются внутренними. При исследовании группы автоморфизмов матричных алгебр, стало ясно, что над коммутативным кольцом автоморфизмы не обязаны быть внутренними. В качестве меры того, насколько они не внутренние, была изучена группа внешних

^пКрылов. П.А. Об изоморфизме колец обобщенных матриц // Алгебра и логика. - 2008. - Т.47 - № 4. - С. 456-463.

¹²Tang G., Li С, Zhou Y. Study of Morita contexts // Comm. in Algebra. - 2014. - V. 42. -№ 4. - P. 1668—1681.

¹³Tang G., Zhou Y. A class of formal matrix rings // Linear Algebra and its Appl. - 2013. - V. 438. - № 12. - P. 4672—4688.

¹⁴Крылов П.А., Туганбаев А.А. Формальные матрицы и их определители // Фундамент, и прикл. матем. - 2014. - Т.19 - № 1. - С. 65—119.

¹⁵Крылов П.А., Туганбаев А.А, Кольца формальных матриц и модули над ними - Москва: МЦНМО, 2017. - 192 с.

автоморфизмов. В статье было показано, что любой автоморфизм алгебры матриц над коммутативным кольцом в некоторой фиксированной степени, зависящей от конкретной алгебры, обязан быть внутренним.

Если группа автоморфизмов матричных алгебр устроена достаточно сложно, то простым фактом является то, что изоморфизм матричных колец M<2(R) = M<2(S), над коммутативными кольцами R и S, равносилен изоморфизму колец R и S. Для некоммутативного случая это уже неверно. Этот вопрос изучался, в частности, в статьях , , где были приведены различные примеры достаточно хороших колец R и S. Следующим шагом было рассмотрение алгебр инцидентности, которые уже являют собой частный случай колец формальных матриц.

Алгебры инцидентности 1{Х, R) локально-конечного частично упорядоченного множества X над коммутативным кольцом R были введены Жан-Карло Рота в качестве естественного инструмента для решения комбинаторных проблем. Так в них была определена функция Мебиуса, доказаны формула обращения Мебиуса и принцип включения-исключения. Однако, вскоре стало ясно, что введенный объект интересен и сам по себе. К примеру, он включает в себя декартово произведений копий кольца R и кольцо верхнетреугольных матриц над R. Р. П. Стэнли поставил и решил проблему изоморфизма алгебр инцидентности над полем для частично упорядоченных множеств. Оказалось, что I(X, F) = /(У, F) влечет изоморфизм

¹⁶Isaacs I.M. Automorphisms of Matrix Algebras Over Commutative Rings // Linear Algebra and its Appl. - 1980. - V. 31. - P. 215-231.

¹⁷Swan R.G. Projective modules over group rings and maximal orders // Ann. of Math. - 1962. - V. 76 - № 2. - P. 55 - 61.

¹⁸Smith S.P. An example of a ring Morita equivalent to the Weyl algebra Al // J. Algebra. -1981. - V. 73. - № 2. - P. 552-555.

¹⁹Chatters A.W. Nonisomorphic rings with isomorphic matrix rings // Proc. Edinburgh Math. Soc. - 1993. - V. 36. - № 2. - P. 339-348.

²⁰Spigel E., O'Donnell C.J. Incidence Algebras - New York: Marcel Dekker, Inc., 1997.

²¹Rota G.-C. On the foundations of combinatorial theory I: Theory of Mobius functions // Z. Wahrscheinlichiketstheorie. - 1964. - V. 2. P. 340—368.

²²Stanley R.P. Structure of incidence algebras and their automorphism groups // Bull. AMS. -1970. - V. 76 - P. 1936-1939.

²³Doubilet P, Rota G.-C, Stanley R.P. On the foundations of combinatorial theory IV: The idea of generating function // New York: Academic Press, 1975.

порядков X и Y. Р. В. Белдинг обобщил эту теорему на предпорядки, хотя бы один из которых конечен. Это привело к целому ряду работ . В последней работе можно также найти обзор полученных ранее результатов. Однако, далеко не всегда можно восстановить исходный порядок. Так в статье было построено кольцо R, которое изоморфно кольцам M^R), T^R), R(B R. Также изучалась проблема изоморфизма на языке группоидов , для алгебр инцидентности над полукольцами . В ряде работ был получен общий вид автоморфизма алгебр инцидентности .

В диссертационной работе продолжается исследование проблемы изоморфизма для колец формальных матриц со значением в кольце. При изучении материала исследования стало понятно, что имеет смысл изучить даже более широкий объект - кольца формальных матриц, где каждый бимодуль равен либо 0, либо фиксированному кольцу R. По аналогии с кольцами инцидентности, этот объект был назван кольцами инцидентности формальных матриц.

Цели и задачи диссертационного исследования. Целями

²⁴Belding W.R. Incidence rings of ore-ordered sets // Journal of Formal Logic. - 1973. - V. 14.

- P. 482—509.

²⁵Начев H.A., Кольца инцидентности // Вестн. МГУ. Сер. 1, Математика, механика. -1977. - Т. 32 - С. 29—34. ²⁶Voss E.R. On the isomorphism problem for incidence rings // Illinois J. Math. -1980. - V. 24

- P. 624—638.

²⁷Haack J.K. Isomorphisms of incidence rings // Illinois J. Math. -1984. - V. 28. - № 4. - P. 676-683.

²⁸Dascalescu S. , van Wyk L. Do Isomorphic Structural Matrix Rings have Isomorphic Graphs? // Proc. Amer. Math. Soc. - 1996. - V. 124. - № 5. - P. 1385—1391.

²⁹Abrams G., Haefner J., del Rio A. The isomorphism problem for incidence rings // Pacific Journal of Mathematics. - 2002. - V. 207. - P. 497—506.

³⁰Dascalescu S. , van Wyk L. Do Isomorphic Structural Matrix Rings have Isomorphic Graphs? // Proc. Amer. Math. Soc. - 1996. - V. 124. - № 5. - P. 1385—1391.

³¹Шматков В.Д. Изоморфизмы алгебр инцидентности // Дискрет, матем. - 1991. — т. 3. — № 1. - С. 133—144.

³²Шматков В.Д. Изоморфизмы и автоморфизмы матричных алгебр над полукольцами // Фундамент, и прикл. матем. - 2014. - т. 19. - № 6. - С. 251—260.

³³Baclawski К. Automorphisms and derivations of incidence algebras // Proc. AMS. - 1972. -V. 36. - 351-356.

³⁴Coelho S. P. The automorphism group of structural matrix algebra // Linear Algebra and its Appl. - 1993 - V. 95 - P. 35-58.

³⁵Spigel E., O'Donnell C.J. Incidence Algebras - New York: Marcel Dekker, Inc., 1997.

диссертационной работы являются:

1. исследование проблемы изоморфизма колец формальных матриц;

2. нахождение явного вида автоморфизмов колец формальных матриц.

Можно выделить следующие основные задачи диссертационного исследования:

3. исследование зависимости между наличием изоморфизма колец формальных матриц и мультипликативными коэффициентами, в частности, выполняются ли условия аналогичные условиям в теореме Крылова;

4. нахождение явного вида изоморфизма колец верхнетреугольных формальных матриц и колец формальных матриц со значением в кольце;

5. классификация колец формальных матриц с точностью до изоморфизма;

6. исследование автоморфизмов колец формальных матриц, нахождение необходимых и достаточных условий для автоморфизмов являться внутренними, нахождение группы внешних автоморфизмов.

Выносимые на защиту положения. На защиту выносятся следующие основные результаты диссертационного исследования:

7. Решена проблема изоморфизма для колец формальных матриц вида Mpfi,...,o(R) и Мр,р,...,/з(И) Для специальных классов колец.

8. Получен явный вид изоморфизма колец верхнетреугольных формальных матриц и формальных матриц с нулевыми идеалами следа. Найдена зависимость между мультипликативными коэффициентами. В качестве следствия были описаны автоморфизмы ряда алгебр верхнетреугольных матриц над кольцом.

9. Введено и исследовано естественное обобщение алгебр инцидентности на кольца формальных матриц.

10. Решена проблема изоморфизма для колец инцидентности формальных матриц над коммутативным локальным кольцом. Получено обобщение теоремы Крылова на этот случай. Для матриц порядка 3 над

коммутативным локальным кольцом и для матриц порядка 4 над полем получены контрпримеры. 5. Получена классификация, с точностью до автоморфизма, обобщенных алгебр инцидентности порядка не более 4.

Научная новизна результатов исследования. Все основные результаты работы являются новыми и получены автором самостоятельно. В совместных с научным руководителем публикациях А.Н. Абызову принадлежат не включенные в диссертацию разделы, постановки задач и разработка методов исследования, в нераздельном сотрудничестве получены предложения 1.1.15 и 1.2.10, Д.Т. Тапкину принадлежат все остальные включенные в диссертацию результаты и их доказательства. В заключении диссертационной работы изложены итоги выполненного исследования, а также некоторые перспективы для дальнейшей разработки темы.

Методология и методы исследования. В диссертации использованы классические методы теории колец. Достоверность результатов, полученных в данной работе, определяется обоснованными теоретическими выкладками и строгими доказательствами, опирающимися на методы теории колец.

Степени достоверности результатов и их апробация. Все основные результаты диссертационного исследования опубликованы в 9 (девяти) работах [1-9], из которых 4 (четыре) работы [1-4] опубликованы в журналах, которые содержатся в "Перечне ВАК при Минобрнауки России рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук".

Теоретическая и практическая значимость диссертации. Результаты диссертационной работы носят теоретический характер. Полученные в работе результаты могут найти свое применение в дальнейших теоретических исследованиях в рамках теории колец и модулей. Кроме того, результаты диссертационной работы могут использоваться при написании учебных пособий и монографий, а также при чтении специальных курсов по теории колец и модулей в высших учебных заведениях Российской Федерации.

Апробация работы Основные результаты диссератционной работы

докладывались на следующих конференциях и семинарах:

11. XII Международная конференция "Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения", г. Тула, 25-30 мая 2015 г.

12. XIV Всероссийская молодежная школа-конференция "Лобачевские чтения-2015", г. Казань, 22-27 октября 2015 г.

13. Международная конференция по алгебре, анализу и геометрии, г. Казань, 26 июня-2 июля 2016 г.

14. Научный семинар кафедры алгебры механико-математического факультета Национального исследовательского Томского Государственного Университета, г. Томск, 17 ноября 2016 г.

15. Международная конференция "Мальцевские чтения" г. Новосибирск, 21-25 ноября 2016 г.

16. XVI Всероссийская молодежная школа-конференция "Лобачевские чтения-2017" г. Казань, 24-29 ноября 2017 г.

17. Научный семинар кафедры алгебры механико-математического факультета Московского Государственного Университета им. М.В. Ломоносова, г. Москва, 27 ноября 2017 г.

18. Научные семинары и итоговые конференции кафедры алгебры и математической логики Института математики и механики им. Н.И. Лобачевского Казанского (Приволжского) Федерального Университета, г. Казань, 2015—2018 гг.

Структура и объем диссертационной работы. Диссертация