Коммутативные операды, конструируемые с помощью полугрупп и групп, и их приложения Гайнуллина Алина Рашидовна

Введение к работе

Актуальность темы. Область исследования диссертации относится к теории операд. Понятие операды впервые в явном виде было введено Петером Меем в 1972 году. В настоящее время теория операд является активно развивающимся направлением математики, имеющим серьезные приложения к физике, к компьютерным наукам. Операдные подходы находят широкое применение в различных областях математики (в топологии, алгебре, комбинаторике). Теории операд и ее приложениям посвящены монографии В.А. Смирнова, Б. Фрессе, И. Криза и Дж.П. Мея, М. Маркла, С. Шнайдера и Дж. Сташеффа, М. Мен-деза. В этих работах описаны многочисленные примеры операд, возникающих в гомологической алгебре, теории категорий, топологии и в физике. В последнее время стала актуальной задача исследования алгебраических аспектов теории операд. Роль операд в общей алгебре показана в монографиях Дж.-Л. Лодэя и Б. Валлетта, М.Р. Бремнера и В. Доценко, а также в работе Г.В. Зинбиеля и в трудах конференций^,.

Отметим, что алгебраическая теория операд располагается на стыке универсальной алгебры и теории категорий. В работе С.Н. Тронина было показано, что любое многообразие универсальных алгебр рационально эквивалентно по А.И. Мальцеву многообразию алгебр над некоторой операдой (в общем случае операдой над вербальной категорией).

¹May J. P. The geometry of iterated loop spaces // Lect. Notes Math., Vol. 271, Berlin, Springer-Verlag, 1972.

²Смирнов В.А. Операдные и симплициальные методы в алгебраической топологии. – М.: Факториал Пресс, 2002.

³Fresse B. Modules over Operads and Functors // Lect. Notes Math., Vol. 1967, Berlin, Springer-Verlag, 2009.

⁴Kriz I., May J.P. Operads, Algebras, Modules and Motives // Asterisque, № 233, Paris, SMF, 1995.

⁵Markl M, Shnider S., Stasheff J. Operads in Algebra, Topology and Physics // Math. Surveys and Monographs, Vol. 96, Providence, RI, AMS, 2002.

⁶Mendez M. Set Operads in Combinatorics and Computer Science // Cham, Springer, 2015.

⁷Loday J.-L., Vallette B. Algebraic Operads // Grundl. Math. Wiss., Vol. 346, Berlin, Springer-Verlag, 2012.

⁸Bremner M.R., Dotsenko V. Algebraic Operads. An Algorithmic Companion // Boca Raton, CRC Press, 2016.

⁹Zinbiel G. W. Encyclopedia of types of algebras 2010 // Proc. Int. Conf., Nankai Series in Pure, Appl. Math. and Theor. Phys. – 2012. – Vol. 9. – P. 217-298.

¹⁰Operads and Universal Algebra. Proc. of the Int. Conf. on Operads and Universal Algebra / ed. C. Bai, L. Guo, J.-L. Loday // Nankai Ser. in Pure, Appl. Math. and Theor. Phys., Vol. 9, Singapore, World Scientific, 2012.

¹¹Operads: Proceedings of Renaissance Conferences / ed. J.-L. Loday, J.D. Stasheff, A.A. Voronov // Contemporary Math., Vol. 202, Providence, RI, AMS, 1997.

¹²Тронин С.Н. Вербальные категории и тождества универсальных алгебр // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. – 2012. – Т. 154, кн. 2. – С. 125-141.

¹³Мальцев А.И. Структурная характеристика некоторых классов алгебр // Докл. АН СССР. – 1958. – Т. 120, № 1. – С. 29-32.

Для многих алгебраических структур можно естественным образом ввести понятие коммутативности. Понятие коммутативной операды было введено С. Н. Трониным в 2006 году. Оказалось, что с помощью этого понятия можно объединить линейную и нелинейную общую алгебру: и то, и другое можно считать частными случаями теории мультиоператорных алгебр, определенных над коммутативными операдами. В статье 2011 года было показано, что коммутативные операды можно естественным образом построить по любой операде или мультикатегории, и что известные коммутативные алгебраические теории есть частный случай коммутативных операд (над вербальными категориями). Способ определения коммутативной операды из этой работы является одной из возможных реализаций идеи о центре алгебраического объекта, приведенной в работе М. Барра. Понятие коммутативности в алгебре обобщалась многими способами и в разных направлениях. Отметим, например, работы Ф. Баадера и О. К. Гарция, В. Тейлора. Коммутативные операды можно представлять как многомерные обобщения коммутативных полугрупп с единицей.

Таким образом, изучение коммутативных операд является важной и актуальной задачей.

В нашей работе изучается главным образом один специальный класс коммутативных операд, представители которого изоморфны подоперадам вида G*, где G — коммутативная полугруппа с единицей. Точное определение G* дается ниже. Обозначение заимствовано из работы К. Эрмиды.

Цели настоящей работы:

1. изучение некоторых важных классов коммутативных операд вида G* и их подоперад, а также многообразий алгебр над ними;

2. исследование возможностей применения коммутативных операд в геометрии и криптографии с открытым ключом.

¹⁴Тронин С.Н. Операды и многообразия алгебр, определяемые полилинейными тождествами // Сиб. ма-тем. журн. - 2006. - Т. 47, № 3. - С. 670-694.

¹⁵Тронин С.Н. Естественные мультипреобразования мультифункторов // Изв. вузов. Математика. - 2011. - № 3. - С. 58-71.

¹⁶Borceux F. Handbook of Categorical Algebra 2. Categories and Structures // NY, Cambr. Univ. Press, 1994.

¹ Barr M. What is the center? // Reports of the Midwest Category Seminar III. Lect. Notes Math. - 1969. -Vol. 106. - P. 1-12.

¹⁸Baader F. Unification in Commutative Theories // J. Symbolic Computation. - 1989. - Vol. 8. - P. 479-497.

¹⁹Garcia O.C., Taylor W. Generalized Commutativity // Lect. Notes Math. - 1985. - Vol. 1149. - P. 101-122.

²⁰Hermida C. Representable Multicategories // Advances in Math. - 2000. - Vol. 151, № 2. - P. 164-225.

Для достижения поставленных целей в диссертации решаются следующие задачи:

3. построить и исследовать новый класс коммутативных операд С, основанный на решеточно упорядоченных коммутативных группах и включающий в себя операды С^тах и C^min;

4. описать многообразия универсальных алгебр, рационально эквивалентные многообразиям алгебр над операдами О^тах и С^тш, т.е. найти операции и тождества, задающие эти многообразия;

5. ввести структуру алгебры в М>₀ и М>₀ над операдами О^тах и С^тт соответственно;

6. описать подалгебры в М>₀ и К>₀, порожденные двумя элементами, над операдами С^тах и С^тш соответственно;

7. с помощью этих подалгебр построить новую метрику в первом квадранте действительной плоскости;

8. разработать аналоги известных криптографических протоколов (выработки общего секретного ключа, шифрования, аутентификации) с использованием техники коммутативных операд;

9. разработать метод маскировки алгебраической платформы для повышения криптостойкости протокола выработки общего секретного ключа;

10. исследовать криптостойкость протокола выработки общего секретного ключа.

Выносимые на защиту положения. На защиту выносятся следующие основные результаты диссертационного исследования:

11. Описаны многообразия алгебр над классом коммутативных операд, которые строятся по решеточно упорядоченным коммутативным группам. В частности, этот класс включает в себя операду полых кубов в евклидовых пространствах.

12. С помощью алгебр над операдой полых кубов построена новая метрика в неотрицательном квадранте евклидовой плоскости.

3. Построены четыре семейства криптографических протоколов, в которых используются коммутативные операды. Подробно исследован протокол выработки общего секретного ключа.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Методы исследования. В работе использовались методы теории опе-рад, универсальной алгебры, теории категорий и алгебраической криптографии с открытым ключом.

Теоретическая и практическая значимость. Первые три главы диссертационной работы носят теоретический характер. Четвертая глава, в которой построены принципиально новые криптографические протоколы, может иметь прикладное значение. Полученные в главах 1-3 результаты могут использоваться в дальнейших исследованиях по теории операд, а также при чтении спецкурсов по теории операд, универсальной алгебре. Результаты главы 4 после некоторых дополнительных исследований могут быть использованы для построения практически значимых криптосистем с открытым ключом.

Степень достоверности результатов, полученных в работе, обеспечивается обоснованными теоретическими выкладками и строгими математическими доказательствами.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и семинарах:

13. Международная научная конференция «Алгебра и математическая логика: теория и приложения», г. Казань, 2-6 июня 2014 г.

14. XIII Всероссийская молодежная научная школа-конференция «Лобачевские чтения - 2014», г. Казань, 24-29 октября 2014 г.

15. Итоговая научная конференция КФУ, г. Казань, 28 января 2015 г.

16. Международная конференция «Мальцевские чтения», г. Новосибирск, 3-7 мая 2015 г.

17. XIII Международная конференция «Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения», г. Тула, 25-30 мая 2015 г.

6. IV Симпозиум «Современные тенденции в криптографии» (CTCrypt’2015), г. Казань, 3-5 июня 2015 г.

7. Семинар кафедры теоретической кибернетики КФУ, г. Казань, 8 июня 2015 г.

8. XIV Всероссийская молодежная школа-конференция «Лобачевские чтения -2015», г. Казань, 22-27 октября 2015 г.

9. Международная конференция по алгебре, анализу и геометрии, г. Казань, 26 июня-2 июля 2016 г.

10. XV Всероссийская молодежная школа-конференция «Лобачевские чтения -2016», г. Казань, 24-29 ноября 2016 г.

11. Семинар кафедры алгебры и математической логики КФУ, г. Казань, 2 июня 2017 г.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 12 печатных изданиях [1-12], 4 из которых в журналах, рекомендованных ВАК [1-4], 8 — в тезисах и материалах конференций [5-12].

Личный вклад. Все основные результаты работы получены автором самостоятельно. В совместных с научным руководителем публикациях С. Н. Тро-нину принадлежат постановка задач и разработка некоторых методов решения, А. Р. Гайнуллиной — основные результаты и их доказательства.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. Полный объем диссертации составляет 109 страниц с 20 рисунками. Список литературы содержит 93 наименования.