Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. cu-Веерные формации конечных групп и их применение к вопросам дополняемости корадикалов в группах 31
1.1. Определение и основные свойства w-веерных формаций 31
1.2. Свойства / -центральных и / -эксцентральных главных факторов конечных групп 53
1.3. Применение uj-локальных формаций к исследованию дополняемости корадикалов в конечных группах 61
1.4. -нормализаторы групп и их применение к исследованию дополняемости -корадикалов в конечных группах 70
1.5. Известные результаты, используемые в Главе 1 80
ГЛАВА 2. Применение cu-веерных формаций конечных групп к исследованию классических -подгрупп в группах 84
2.1. бо -примитивно замкнутые классы и -примитивные группы 84
2.2. -проекторы конечных групп 89
2.3. - покрывающие подгруппы конечных групп 94
2.4. -предельные и -критические подгруппы конечных групп 108
2.5. -нормализаторы конечных групп 112
2.6. Связь -нормализаторов с -покрывающими подгруппами 122
2.7. Известные результаты, используемые в Главе 2 132
ГЛАВА 3. Формационные применения си-веерных формаций конечных групп 134
3.1. Критические n-кратно ы-веерные формации 134
3.2. Описание критических ы-веерных формаций 143
3.3. Свойства т-замкнутых w-веерных формаций 154
3.4. Критические т-замкнутые w-веерные формации 161
3.5. Известные результаты, используемые в Главе 3 167
ГЛАВА 4. - Расслоенные формации конечных групп и их формационные применения 169
4.1. Определение и основные свойства -расслоенных формаций 169
4.2. Максимальные подформации -расслоенных формаций 184
4.3. Свойства т-замкнутых -расслоенных формаций 189
4.4. Критические т-замкнутые -расслоенные формации 194
4.5. Известные результаты, используемые в Главе 4 200
Заключение 203
Перечень условных обозначений и определений 204
Список литературы
- Применение uj-локальных формаций к исследованию дополняемости корадикалов в конечных группах
- покрывающие подгруппы конечных групп
- Описание критических ы-веерных формаций
- Свойства т-замкнутых -расслоенных формаций
Применение uj-локальных формаций к исследованию дополняемости корадикалов в конечных группах
Данная глава посвящена построению теории х -веерных формаций конечных групп и ее применению к изучению вопросов дополняемости корадикалов в группах. Глава состоит из пяти параграфов. В параграфе 1.1 разработаны основные положения теории бо -веерных формаций (решение Задачи (D1)). В параграфе 1.2 введены в рассмотрение понятия / -центрального и / -эксцентрального главных факторов групп, свойства которых в параграфах 1.3 и 1.4 применяются к исследованию вопросов дополняемости -корадикала в конечной группе. В параграфе 1.3 ш-локальные формации применяются к доказательству существования -дополнений и дополнений к -корадикалу G в группе G. В параграфе 1.4 получено решение Проблемы (А) - проблемы Виландта [81] о дополняемости в конечной группе её -корадикала без условия абелевости его силовских подгрупп для локальной формации Фиттинга $. В параграфе 1.5 содержатся известные результаты, используемые в Главе 1. Основные результаты данной главы опубликованы в работах [84], [95] и получены в неразделимом соавторстве с В.А. Ведерниковым.
В дальнейшем ш всегда обозначает непустое подмножество множества P всех простых чисел; и/ - дополнение к подмножеству UJ во множестве P; {ш } - одноэлементное множество, состоящее из одного элемента и/; (Вш - класс всех w-групп, т.е. таких групп G, что тг(С) С ш; Ош(С) = С ш - -радикал группы G, т.е. наибольшая нормальная -подгруппа группы G. Определение 1.1.1. Функцию / : си U {cuf} — { формации групп }, где f(uj ) - непустая формация, назовем ш-формационной функцией простого натурального аргумента или, коротко, UJF-функцией. Функцию д : P — { формации групп } назовем формационной функцией простого натурального аргумента или, коротко, PF-функцией. Функцию 5 : P —{ непустые формации Фиттинга } назовем формационно-радикалъной функцией простого натурального аргумента, или коротко, PFR-функцией. Лемма 1.1.1. Пусть f - UJF -функция, 5 - PFR-функция и $ = ( G Є G/OUJ(G) Є f{uj ) и G/GS(p) Є /(р) для всех р Є и П 7г(С?) ). Тогда $ является непустой формацией. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку /(и/) - непустая формация, то 1 Є /(о/) и ввиду того, что 7г(1) = 0, получаем 1 Є $. Следовательно, $ j 0.
Установим, что класс $ является гомоморфом. Пусть G Є $ и N G. Проверим, что G/N Є #. Пусть Ou{G/N) := Д/АГ. Так как {Ou{G)N)/N СЦС)/(6\,(С) П АГ) Є „, то {Ou{G)N)/N С Д/АГ. В силу того, что класс f(uj ) является гомоморфом, получаем (G/N)/OUJ(G/N) = G/R = (G/Ou(G))/(R/Ou(G)) Є ДсУ).
Пусть p Є ш П TT(G/N) И (G/N)s(p) .= T/N. Поскольку 5(p) - гомоморф, то (Gs{p)N)/N 9 Gs{p)/(Gs{p) П АО Є 8{p), и значит, (Gs{p)N)/N С T/7V. Так как G/GS(p) Є /(р) и /(р) гомоморф, имеем (G/N)/(G/N)s{p) = G/T (G/GS{P))/(T/GS{P)) є /(р).
Таким образом, {G/N)/Ош{С/N) є /(а/) и {G/N)/{G/N)6{p) є /(р) для всех рбшП TT(G/N). ЭТО означает, что G/W Є $. Тем самым установлено, что класс $ является гомоморфом.
Покажем, что класс $ замкнут относительно конечных подпрямых произведений. Пусть G/Ni Є $, і = 1, 2, и D := А П А . Установим, что G/D Є $. Так как фактор-группа G/D изоморфна подпрямому произведению групп G/N\ и G/N2, то существует группа М такая, что М = К\ х АГ2, Н - подпрямое произведение групп К\ и АГ2, причем АГ = G/Ni, і = 1, 2, и Н = G/D. Так как класс (Ew является формацией Фиттинга, то по лемме 8 [7]1 Ош(Н) = Н П С\,(М). Далее, С\,(М) = Ow(ATi) х Ош(К2) и Ош(М)Н является подпрямым произведением групп К\ и К . Тогда по лемме 2(1) [6] НОш{М)/Ош{М) является подпрямым произведением групп КІОШ(М)/ОШ(М) = КІ/ОШ(КІ), і = 1,2. Так как Кг/Ош{Кі) (С/Щ/Ош(С/Щ Є /(а/), і = 1,2, и класс /(а/) замкнут относительно конечных подпрямых произведений, то НОш(М)/Ош(М) = Н/Ош(Н) Є
1Все известные результаты, используемые в доказательствах утверждений, приводятся в заключительном параграфе главы. f(uj ) и, значит, (G/D)/Ош{Є/D) Є f(uj ). Поскольку для любого q Є P класс 5(q) является формацией Фиттинга, то, аналогично рассуждая, получим, что (G/D)/(G/D)s(p) Є f(p) для всех р Є UJ П ir(G/D). Следовательно, G/D Є #. Тем самым установлено, что гомоморф $ замкнут относительно конечных под-прямых произведений и поэтому $ является формацией. Лемма доказана.
Аналогично доказывается следующая лемма. Лемма 1.1.2. Пусть f - PF-функция, 5 - PFR-функция и $ = ( G Є S \ G/Gs(p) Є /(р) для всеж р Є 7г((7) ). Тогда $ является непустой формацией. Определение 1.1.2. Пусть /, g и 6 - некоторые wF-функция, PF-функция и Pі Л-функция соответственно. Формацию # = ( G Є Е G/Ou(G) Є /(о;7) и С7/С7ад Є /(р) для всех рЄшП тг(С7) ) назовем ио-веерной формацией к обозначим uiF(f, 5); функцию / будем называть иоF-спутником (или, коротко, UJ-спутником), а функцию 5 - направлением ио-веерной формации $ = uoF(f} 5). Формацию $ = ( G Є ( G/Gs(p) Є g(p) для всех р є 7г((7) ) назовем веерной формацией с направлением 5 и обозначим PF(g, 5), a g будем называть PF-спутником (или, коротко, спутником) веерной формации $ = PF(g, 5).
Замечание 1.1.1. Пусть 6 - произвольная Pі Д-функция и / - uoF-функция (PF-функция) такая, что f{uo ) = (В и f(p) = ( для любого р Є со ( f(p) = для любого р Є P ). Тогда uF(f, 5) = ( PF(/, J) = Є ). Таким образом, класс ( всех конечных групп является ы-веерной (веерной) формацией с любым направлением 5.
Лемма 1.1.3. Пусть $ - формация, 7г(#) Пш = 0. Тогда $ = uF(f,6), где f - UJF-функция такая, что /(а/) = #, /(р) = 0 для всеж р Є со, и 5 -произвольная PFR-функция. В частности, единичная формация (1) является ио-веерной для любого непустого множества простых чисел со.
покрывающие подгруппы конечных групп
Пусть / - внутренний бо -спутник формации $. Ввиду леммы 1.1.4 можем считать, что /(о/) = #. Поскольку N/D Є # и D 7V П СЦС?) = СЦАГ), то N/Ou(N) Є = /(о;7). Пусть р Є TT(N/D) П W. Так как N/D Є #, то по определению си-локальной формации $ получим (N/D)/Fp(N/D) Є f(p). По лемме 1.3.1(2) Fp(N/D) = Fp(N)/D. Следовательно, N/Fp(N) Є f(p). Отсюда получаем, что каждый главный р і-фактор группы N fp-централен в N, а выше D каж-дый главный бо і-фактор группы N / -централен в N. Пусть q Є TT(D) \ тт (N/D). Так как группа N/D g-разложима, то по лемме 1.3.1(3) группа N д-разложима. Пусть N = L х Dq, где L - (/-группа. Тогда каждый главный g-фактор группы N централен в N и, значит, / -централен. Следовательно, каждый главный uod-фактор группы N / -централен в N и N/OUJ(N) Є f{co ). Тогда по лемме 1.2.1
2) Так как N П Ф(С?) является w-группой, то N П Ф(С?) СЦС?) и N П Ф(С7)П6\,(С7) = NГ}Ф{G). Следовательно, ЛГ/ЛГПФ( 3)ПСЦ 3) Є и по пункту 1) W Є #.
3) Пусть N/Ф Є #, где Ф := NГ\Ф(G). Тогда по лемме 1.3.1(3) 7V = Р х Q, где Р = NK - нормальная -подгруппа группы N, Q = N - нормальная S -подгруппа группы N. Заметим, что N = .РФ, РПФ = Ф7ГиФ = Ф7Гх Фп/ = Ф х Фш,. Тогда N/Ф Р/Фэт Є#иФ = РПФ = РП(7УП Ф(С7)) = Р П Ф(С7), Р G и Ф„ = Л х В, А = Фш, В = Р П Фш/.
Как и при доказательстве пункта 1), нетрудно проверить, что каждый главный бо і-фактор группы Р / -централен в Р. Тогда и каждый главный бо і-фактор группы F/B является / -центральным в F/B. Так как F/Ф = (Р/Я)/(Ф /Я) Є = /(о;7) и Ф /Я 0„(F/B), то по лемме 1.2.1 Р/Б Є #. Лемма доказана.
В следующей теореме для о;-локальной формации $ установим, при каком условии всякое добавление к -корадикалу G группы G в любом расширении Г группы G является его х -дополнением. Теорема 1.3.1. Пусть $ -си-локальная формация, G - группа с абелевым $-корадикалом G$, Г - расширение группы G. Если Н - добавление к G в Т, mo Н является со-дополнением к G$ в Г. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть 7г(#) :=ТГ, Н - добавление к G$ в Г. Согласно лемме 11.1 [47] Г = HGS и Я П Gs С Ф(Я).
Пусть N := Н П G. Тогда, применяя модулярное тождество, получим G = Г П G = HG% П G = (Я П G)GS = NG$. Таким образом, G = NG$ и, значит, G/G = NG /G = N/N П G Є $. Так как G - нормальная подгруппа группы Т и N = Н П G, то N нормальна в Я. Поскольку G характеристична в G, то
Пусть Фі :=Nr\G$. Тогда Фі = N П G$ = Я П G П 6 = ЯП G$ С Ф(Я) и N/Фі Є #. Пусть Ф := N П Ф(Я). Так как Ф: TV П Ф(Я) = Ф, то TV/Ф Є # и группа Я с нормальной подгруппой TV удовлетворяют условию леммы 1.3.2(3). Тогда по лемме 1.3.2(3) N = F х Q, где F - 7г-группа, Q - тг -группа, Q С TV П Ф(Я) = Ф, Fn# = Л хй, где А = Фш нормальная в TV w-подгруппа, В = F П Фш/ - нормальная в TV и/-подгруппа, причем N/BQ = F/В Є $.
Допустим, что р Є 7г(Фі) П со. Так как Фі нормальна в TV и ввиду Фі С Ф(Я) Фі нильпотентна, то силовская р-подгруппа группы Фі нормальна в TV и, значит, в TV существует минимальная нормальная р-подгруппа. Пусть Фі = С х D, где С - нормальная в Фі -подгруппа, D - нормальная в Фі и/-подгруппа, причем С А. Так как Ф\ N и С характеристична в Фі, то С N. Пусть L - минимальная нормальная р-подгруппа группы TV, содержащаяся в С. Поскольку L Ф\ G , то в силу абелевости G" имеем L G и, значит, L \G = NG . Отсюда получаем, что L - минимальная нормальная подгруппа группы G, причем L С А. Так как N/BQ Є $ и LBQ/BQ - минимальная нормальная подгруппа группы N/BQ, то по лемме 1.2.1 (N/BQ)/CN/BQ(LBQ/BQ) Є f(j ), где / - внутренний w-спутник формации $. Поскольку CN/BQ(LBQ/BQ) = CN(LBQ/BQ)/BQ, ТО ввиду TV-изоморфизма групп LBQ/BQ и L получаем, что CN(L) = CN(LBQ/BQ). Тогда (N/BQ)/(CN(L)/BQ) Є f{p) и N/CN{L) Є f{p). Так как G = NG$ и Gs CG(L), то G = NCG(L) и поэтому G/CG(L) N/NnCG(L) = N/CN(L) Є f(p). Это означает, что L/l - /-центральный главный р-фактор группы G ниже G . С другой стороны, по лемме 1.2.2 группа G не имеет / -центральных главных р і-факторов ниже G для р Є со. Получили противоречие.
Следовательно, Фі = Я П G" - и/-число и поэтому Я - -дополнение к G$ в Г. Теорема доказана.
Следствие 1.3.1. Пусть $ - си-локальная формация. Если -корадикал группы G абелев и является си-группой, то он дополняем в любом расширении группы G.
Следствие 1.3.2. (Шеметков [47], теорема 11.7). Пусть $ - локальная формация. Если -корадикал G$ группы G абелев, то для любого расширения Г группы G справедливо следующее утверждение: каждое добавление к G в Г является ж ($)-дополнением. Следствие 1.3.3. Пусть $ - локальная формация такая, что 7г(#) = P. Если -корадикал группы G абслсв, то он дополняем в любом расширении группы G.
В следующих теоремах проведем исследование вопроса существования ш-дополнений и дополнений к -корадикалу G" в любом расширении группы G в зависимости от существования в G" абелевых силовских подгрупп.
Теорема 1.3.2. Пусть $ - ш-локалъная формация, G - группа, ш\ - множество всех тех простых чисел р Є и, для которых G$ обладает абелевой си-ловской р-подгруппой. Тогда G$ обладает UJ\-дополнением, в любом, расширении группы G.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Г - расширение группы G. Покажем, что G обладает ио\-дополнением в Г. Доказательство проведем индукцией по порядку G . Пусть R - 91 -корадикал группы G . Тогда по теореме 5.11(1) [18] R = ((7 )ЭТш1 = Gm . По теореме 1 [8] $) := 9tWl# является и-локальной формацией и R = G . Возможны два случая.
I. Пусть R С G . Тогда по индукции R обладает -дополнением L в группе Г. Это означает, что Г = RL и \R П L\ - w -число. По модулярному тождеству G = R{G П L) и G$ = R{G$ П L). Тогда G/R = R{G П L)/R G П L/R П L и G%/R = R(G$ П L)/R = G% П L/R Г\ L - абелева с -группа. Так как T/R = RL/R = L/R П L, то группа L/R П L является расширением группы G П L/R П L и (G П L/R П Lf = G$ П L/R П L. Согласно следствию 1.3.1 группа G П L/R П L обладает дополнением H/R П L в L/R П L. Так как L/R П L = {G$ П L/Д П )(#/# П L), то L = {G$ П L)H и поэтому Г = RL = R(G$ П L)tf = G$H. Поскольку \{G$ П L/R П L) П (Я/Л П L) = 1, то 6 П L П Я/Л П L = R П L/Д П L. Поэтому Gs П Я = Л П L и, значит, G П Я - и -число. Тем самым установлено, что Я - -дополнение к G" в группе Г.
Описание критических ы-веерных формаций
Пусть А - тг -группа. Так как Н Є $, то Н является 7Г-группой. Тогда в силу теоремы 4.32 [18] имеем: К = Н[А], Н является -подгруппой группы К, причем любые две -подгруппы группы К сопряжены в К. Покажем, что Н является -покрывающей подгруппой группы К. Пусть Н U К и U/V Є $, где V - нормальная w-подгруппа в группе U. Тогда Н является S -подгруппой группы U, а по лемме 4.34(2) [18] HV/V является -подгруппой группы U/V. Так как U/V Є $, то U/V является 7Г-группой. Тогда HV/V = U/V и, значит, U = HV. По определению 2.3.1 Н является -покрывающей подгруппой в К. Так как К/А - -покрывающая подгруппа в G/A, то по лемме 2.3.2(4) Н является -покрывающей подгруппой в группе G.
Применяя лемму 2.1.2, из теоремы 2.3.4 при ш = ir(G) непосредственно получаем следующий результат.
Следствие 2.3.6. (Эриксон [61]). Пусть X - наследственный гомоморф, $ - непустой Р-гомоморф в X, G - Х-группа, обладающая тг($)-разрешимой $-корадикальной нормальной подгруппой. Подгруппа Н группы G является $-проектором в G тогда и только тогда, когда Н - $-покрывающая подгруппа eG.
Применяя теорему 1 [40] и лемму 2.1.3, из теоремы 2.3.4 при X = ( получаем следующее утверждение. Следствие 2.3.7. Пусть $ - и-локальная формация, G - группа, G$ -7г($)-разрешимая ш-группа. Подгруппа Н группы G является $ш-проектором в G тогда и только тогда, когда Н - $ш -покрывающая подгруппа в G. Ввиду следствия 1.1.2, получаем результат для локальной формации. Следствие 2.3.8. Пусть $ - локальная формация, G - группа с 7г(#)-разрешимым $-корадикалом. Подгруппа Н группы G является -проектором в G тогда и только тогда, когда Н - $-покрывающая подгруппа в G.
В следующей теореме для uj-локальной формации $ установлено существование и сопряженность -покрывающих подгрупп в группе С7г( )-разрешимым $-корадикалом, являющимся -группой.
Теорема 2.3.5. Пусть $ - непустая ш-локальная формация, -корадикал G$ группы G является 7г($)-разрешимой и-группой. Тогда группа G имеет, по крайней мере, одну $ш -покрывающую подгруппу (один $ш -проектор) и любые две 3й- -покрывающие подгруппы (два $ш-проектора) из G сопряжены в G.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как согласно теореме 1 [40] $ - -насыщенная формация, то по лемме 2.1.3 при X = ( получаем, что $ является иоР-гомоморфом. Тогда по теореме 2.2.1 в группе G существует -проектор. Согласно теореме 2.3.4 -проектор группы G является -покрывающей подгруппой в G. Таким образом, группа G имеет по крайней мере одну -покрывающую подгруппу.
Пусть Н\ и П - -покрывающие подгруппы группы G и 7Г := 7г($). Покажем, что Н\ и П сопряжены в G. Применим индукцию по порядку группы G. Если G Є $, то G = Н\ = П и, значит, утверждение верно. Пусть G $. Тогда G" т 1- Пусть L - минимальная нормальная подгруппа группы G, содержащаяся в
Согласно лемме 2.3.2(3) H\L/L и H2L/L - -покрывающие подгруппы в G/L. Проверим, что для G/L выполняются условия теоремы. Действительно, по лемме 1.2(1) [47] (G/Uf = G L/L и поэтому (G/Uf - 7г-разрешимая ш-группа. Тогда по индукции H\L/L и H2L/L сопряжены в G/L. Следовательно, найдется такой элемент х Є G, что H\L/L = ЩЬ/L и, значит, H\L = ЩЬ. Поскольку П - -покрывающая подгруппа группы G, то нетрудно проверить, что Н% является -покрывающей подгруппой в G. Тогда по лемме 2.3.2(2) Н\ и Щ - -покрывающие подгруппы в H\L. Так как H\L/L Є $, то (H\Uf С L и поэтому (Н\Ь) - 7Г-разрешимая w-группа. Если H\L G, то по индукции существует у Є H\L такой, что Н\ = (-f/f )У и? значит, Н\ и П сопряжены в G.
Пусть G = H\L = HrfL. Если Согес(Н\)С\Ош{Сг) ф 1, то L можно выбрать так, чтобы L С Н\. Тогда G = H\L = Н\ Є $ и, значит, G = И\ = Н . Аналогично, если Согес{Щ)Г\Ош(С) ф 1, то можем считать, что L С Щ. Тогда G = ЩЬ = Щ є $ и G = Щ = Ні. Следовательно, CoreG(Hi) П Ou(G) =
CoreG(H$)nOUG) = l.
Пусть L является 7Г-группой. Так как L - 7Г-разрешимая группа, то L является элементарной абелевой р-группой для некоторого р Є 7Г Пш. Тогда L П Ні = L П Щ = 1 и G = [L]Hi = [ЦЩ. Поскольку G/L = ЩЬ/Ь Є #, то G С L и поэтому L = G . Так как L - абелева минимальная нормальная подгруппа группы (7, то Н\ и Н% - максимальные подгруппы в (7, причем Н\ и Н% 3-абнормальны в G. Согласно теореме 1.1.7 $ - р-локальная формация. Кроме того, Corec(Hi) П G$ = Согес(Щ) П G , G$ - р-разрешимая группа, G : Hi I и I G : Щ \ - р-числа. Тогда по теореме 8.5 [47] подгруппы Hi и Щ являются сопряженными в G. Тем самым установлено, что Н\ и Н сопряжены BG.
Пусть L является тг -группой. Так как по определению ? НІ Є $, то Щ является 7Г-группой, і = 1,2. Тогда в силу теоремы 4.32 [18] имеем: G = [L\H\ = [LjH , Н{ является -подгруппой группы (7, причем любые две -подгруппы группы G сопряжены в G. Отсюда следует, что Н\ и Н сопряжены в G. Теорема, доказана.
Пример 2.3.1. Пусть $ = &ш х2І2, где 2 ш, &ш - класс всех разрешимых w-rpynn, 2І2 класс всех абелевых 2-групп и G - диэдральная группа порядка 8. Простая проверка показывает, что класс $ является ш-локальной формацией, $-корадикал К группы G совпадет с -корадикалом группы G. Следовательно, К - неединичная 2-группа и, значит, К не является -группой, причем К Ф(С). Отсюда следует, что группа G не обладает -проектором. Так как нормальной ш-подгруппой в группе G является лишь единичная подгруппа, то по определению 2.2.1 каждая -максимальная подгруппа в G является -проектором в G. Тогда любая абелева максимальная подгруппа группы G является -проектором в G. Следовательно, циклическая подгруппа порядка 4 и две элементарные абелевы подгруппы порядка 4 являются -проекторами в группе G. Поэтому условие "быть бо -подгруппой" $-корадикала в теореме 2.3.5 является существенным.
Свойства т-замкнутых -расслоенных формаций
В данном параграфе представлены основные понятия и разработаны основные положения теории -расслоенных формаций конечных групп.
Пусть J - класс всех конечных простых групп; Q - непустой подкласс класса 3; Q - дополнение к Q в 3; { Q } - одноэлементное множество, состоящее из одного элемента Q . Группа G называется Q-группой, если K{G) С Г2, где K{G) - класс всех групп, изоморфных композиционным факторам группы G. Через (Q обозначается множество всех Г2-групп; OQ(G) = Ggn [7].
Определение 4.1.1. Функцию / : Q U { } — { формации групп }, где /( Т) - непустая формация, принимающую одинаковые значения на изоморфных группах из Г2, назовем Q-формационной функцией или, коротко, QF-функцией. Функцию д : 3 — { формации групп }, принимающую одинаковые значения на изоморфных группах из 3, назовем формационной функцией или, коротко, F -функцией. Функцию р : 3 — { непустые формации Фиттинга }, принимающую одинаковые значения на изоморфных группах из 3, назовем формационно-радикалъной функцией, или коротко, FR-функцией. Лемма 4.1.1. Пусть f - QF-функция, р - FR-функция и $ = ( G Є Е G/OQ{G) Є f{nf) и G/G A) Є f{A) для всех АєПП K{G) ). Тогда $ является непустой формацией. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку 1 є f(Q ) и К(1) = 0, то 1 є $ и поэтому # ф 0- Пусть G Є Ъ и N G. Так как 0 {G)N/N OQ(G)/(OQ(G) П N) Є Sn, то OQ(G)N/N С OQ(G/N) := R/N. Поэтому (G/N)/OQ(G/N) {G/OQ{G))/{R/OQ{G)) Є /(ft )- Поскольку для любого А Є П П K{G/N) справедливо Gv{A)N/N GV{A)I(GV{A) П TV) є р(А), то Gv{A)N/N С (G/N)v{A) := T/N и (G/N)/(G/N)V(A) = (G/GV(A))/(T/GV(A)) Є /(Л) для всех Л є П П K(G/N). Следовательно, по определению ? G/7V Є $.
Пусть G/Ni Є $, і = 1,2, и D := А ПА . Рассуждая как и при доказательстве леммы 1.1.1, получим, что (G/D)/On(G/D) Є /(fi ) и (G/D)/(G/D)(p{A) Є /(Л) для всех Л Є Г2 П K(G/D). Это, согласно определению 4.1.1, означает, что G/D Є $. Тем самым установлено, что $ является формацией. Лемма доказана. Аналогично доказывается следующая лемма. Лемма 4.1.2. Пусть f - F-функция, р - FR-функция и $ = ( G Є Е G/G A) є f{A) для всех А є K{G) ). Тогда $ является непустой формацией. Определение 4.1.2. Пусть /, g и р - некоторые F-функция, F-функция и і Л-функция соответственно. Формацию # = ( G є Є G/On(G) є /(У) и G/G ) є /(Л) для всех Л є П п ІЦС) ) назовем -расслоенной формацией и обозначим QF(f,ip); функцию / будем называть QF-спутником (или, коротко, Q-спутником), а функцию (/9 - направлением -расслоенной формации $ = QF(f, р).
Формацию $ = ( G Є ( І G/G A) Є fj{A) Для всех Є K{G) ) назовем расслоенной формацией с направлением ip и обозначим F(g, р)), а д будем называть F-спутником (или, коротко, спутником) расслоенной формации $ = F(g,(p).
Лемма 4.1.3. Пусть $ - формация, К($) П Q = 0. Тогда $ = lF(f\ if), где f - QF-функция такая, что f(Q ) = $, f(A) = 0 для всех А Є Q, и р -произвольная FR-функция. В частности, единичная формация (1) является Q-расслоенной для любого непустого класса Q С 3.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть із := QF(f, tp), где / и р - функции из заключения леммы. Если G Є #, то G/Oa{G) Є # = Д ) и из А є ft П ІЦС) = 0 следует, что G/G A) Є /( )- Поэтому G Є ІЗ и $ С $).
Допустим, что $ С ІЗ и Я - группа наименьшего порядка из із \ $ Тогда Я - монолитическая группа с монолитом Р = Н . Так как H/OQ(H) Є f(Q ) = $, то Р С Cfo(#). Пусть #(Р) = (В). Тогда В Є К(Н) П ft и из Я Є ІЗ имеем Н/Нф в) /( ) = 0- Получили противоречие. Следовательно, $ = ІЗ- Лемма доказана. В дальнейшем будем использовать следующие обозначения: (ВА = мъ А = {А)ч OA{G) = GzA, 0A {G) = GeAn OA AG) = G ZA, ZA, где А є X Определение 4.1.3. Формацию $ = ftF(/, (/?) назовем Q-свободной или, коротко, ftpУ-формацией (от англ. "free"), если /?(А) = (Е / для любого А Є 3, и будем обозначать $ = QFr(f), т.е. QFr(f) = = (Ge E\ G/On(G) є /(ft ) и G/OA/(G) Є /(Л) для всех Л є ft П K(G) ).
Направление ft-свободной формации обозначим через іро. Пусть / - Р-функция. Формацию % = Р(/, p o) = (Ge I G/OA (G) Є f(A) для всех А є K(G) ) назовем свободной формацией и обозначим $ = Fr(f). Теорема 4.1.1. Пусть $ - непустая неединичная формация wft = К($). Тогда $ является Q-свободной формацией. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть / - такая ftP-функция, что /(ft ) = #, f(A) = form( G/OA (G) I G Є $ ) для всех А Є ft, и #і = QFr(f). Покажем, что# = Зі 172 Если Я є 3, то Н/Оп(Н) є 3 = f(nr) и Н/ОАІ{Н) є ( G/OA,(G) G є ff ) С /(Л) для любого Л Є Г2 П К(Н). Это означает, что Я Є QFr(f) = Зі и поэтому
Допустим, что С i и Т - группа наименьшего порядка из Зі \ 3- Тогда Т - монолитическая группа с монолитом М = Т". Так как T/OQ(T) Є /(ST) = J, то Af С OQ(T). Пусть К(М) = (А). Тогда А Є Г2 и по определению формации #1 имеем Т/ОА (Т) Є /( 4) С 3- Отсюда следует, что М С 0 /(Т). Получили противоречие. Поэтому 3 = Зі Теорема доказана.
Замечание 4.1.1. Из теоремы 4.1.1 и леммы 4.1.3 следует, что каждая непустая формация является -свободной для некоторого непустого класса простых групп Q. Лемма 4.1.4. Пусть 3 = QF(f,(p), где if - произвольная FR-функция. Тогда справедливы следующие утверждения 1) 3 = MF(g, (р), где g(A) = f(A) П 3 для любого А Є Пи {П }; 2) 3 = QF(h, ip), где їі(П ) = 3 и h(A) = f(A) для любого А є П. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) Пусть Зі = QF(g, ср), где g - r F-функция из пункта 1) леммы. Так как д(А) С f(A) для любого А Є Q U { }, то по определению 4.1.2 Зі С 3- Пусть G Є 3- Тогда G/OQ{G) Є /(У) П 3 = д{ ) и G/G A) Є /( 4) П 3 = #( 4) Для любого Л Є Q П K{G). Следовательно, G Є Зі и 3 Зі- Таким образом, 3 = Зі 2) Пусть /г - Г2Я-функция из пункта 2) леммы и із = QF(h,tp). Если G Є 3, то G/OQ(G) Є 3 = /г( ) и для любого Л Є Г2 П K{G) справедливо G/G A) Є /( 4) = /і( 4). Следовательно, G Є $) и $ С $).
Допустим, что З С ІЗ и Я - группа наименьшего порядка из із \ 3- Тогда группа Н монолитична с монолитом Р = Н$. Из H/OQ(H) Є h(Q ) = 3 следует, что Р С 0Q{H) и H/OQ{H) = {H/P)/OQ{H/P) Є /(П )- Поскольку для любого А Є QP\K(H) выполняется Н/Н А) Є М ) = /( )) то Я Є 3, что невозможно. Следовательно, 3 = Э- Лемма доказана.