Содержание к диссертации
Введение
1. Группы с относительно болыпими централизаторами всех абелевых (всех неабелевых) подгрупп 10
1.1. Группы с относительно большими централизаторами всех абелевых подгрупп 10
1.2. Группы с относительно большими централизаторами всех неабелевых подгрупп 16
2. Группы с относительно болыпими централизаторами при марних (непримарных) подгрупп 32
2.1. Группы с относительно большими централизаторами всех примарних подгрупп 32
2.2. Группы с относительно болыпими централизаторами всех непримарных подгрупп 34
3. Группы с относительно большими централизаторами ин вариантных (неинвариантных) подгрупп 47
3.1. Группы с относительно большими централизаторами инвариантных подгрупп 47
3.2. 2-группы с относительно болыпими централизаторами неинвариантных подгрупп 50
3.3. Группы с относительно большими централизаторами неинвариантных подгрупп 61
Список литературы .78
- Группы с относительно большими централизаторами всех неабелевых подгрупп
- Группы с относительно болыпими централизаторами всех непримарных подгрупп
- 2-группы с относительно болыпими централизаторами неинвариантных подгрупп
- Группы с относительно большими централизаторами неинвариантных подгрупп
Введение к работе
Одной из основных задач теории групп является описание групп с теми или иными ограничениями, наложенными на выделенную систему подгрупп. В качестве такой системы можно рассматривать совокупность централизаторов подмножеств группы. При этом ограничения могут накладываться на отдельные централизаторы, на множество всех централизаторов подгрупп группы или на его достаточно большую часть.
Исследованию групп с ограничениями, наложенными на совокупность централизаторов, посвещено большое число работ. Обзор результатов относящихся к этой тематике можно найти в работах [2, 3, 23].
Мы ограничимся только ограничениями, связанными с величиной централизаторов. Здесь можно выделить несколько направлений.
Группы с большими централизаторами. Локально конечные грудпы G, в которых для любого нецентрального элемента х подгруппа С(х) максимальна в G описаны в [6].
Целый ряд работ посвящен изучению групп, в которых централизатор любого нецентрального элемента является максимальным централизатором. Такие группы назовем ІЗ-группами.
Если для каждой минимальной подгруппы Я группы G выполняется равенство N(H) = С(Я), то группа G разрешима и ее свойства находятся между нильпотентностью и 2-замкнутостью (группа G 2-замкнута, если силовская 2-подгруппа в ней инвариантна) [29].
В работе [26] исследуется ситуация, когда из равенства N(A) = С(А) для аб елевой подгруппы А определенного вида следует абелевость самой группы.
В работах [30, 31] исследуются конечные группы, в которых для любого простого делителя р порядка группы и каждой силовской р-подгруппы Р группы G справедливо равенство N{Z(P)) — C(Z{P)) (Л С-гругшы).
Любая JVC-группа не проста. В то же время, любая конечная группа изоморфно вкладывается в некоторую iVC-группу. Джилотти и Тиберио [30] построли примеры iVC-групп с нетривиальным центром произвольной фиттинговоп длины и iVC-групп без центра произвольной фиттивто-вой длины 4. Показали, что iVC-труппа фиттинговоп длины не более двух имеет нетривиальный центр и привели описание некоторых классов JVC-групп фиттинговой длины 3 с нетривиальным центром.
В общем случае наличие обобщенно самонормализуемых подгрупп в группах не несет информации, достаточной для описания этих групп. Так уже отмечалось, что любая конечная группа может быть вложена в iVC-rpynny.
В то же время, группы, в которых много обобщенно самонормализуемых подгрупп, допускают полное описание. Так в работах [4, 5] были описаны конечные группы, в которых обобщенно самонормализуемы все, все абелевы (все неабелевы), все примарные (непримарные) или все инвариантные (неннвариантные) подгруппы.
Диссертация состоит из трех глав.
Первая глава диссертации содержит два параграфа. В первом параграфе изучаются конечные группы, в которых неравенство ( ) выполняется для любой подгруппы (теорема 1.1) или для любой абелевой подгруппы (теорема 1.2). Во втором параграфе изучается строение групп в которых неравенство ( ) выполняется для любой неабелевой подгруппы (теорема 1.3 и следствие из нее в случае нильпотентных групп, а в случае ненильпотентных групп теорема 1.4).
Вторая глава диссертации состоит тоже из двух параграфов. В первом параграфе приводится описание конечных групп, в которых неравенство ( ) выполняется для всех примарных подгрупп (теорема 2.1). Во втором — для всех непримарных подгрупп группы G. Отдельно рассмотрены случаи разрешимой (теорема 2,2), простой (теорема 2.3) и неразрешимой не простой (теорема 2.4) группы G.
В третьей главе диссертации три параграфа. В первом параграфе исследуются конечные группы, в которых для любой инвариантной подгруппы А выполняется неравенство ( ). Конечно, описать все неразрешимые группы с таким свойством не представляется возможным. Поэтому приведено только строение фактор-группы GJE, где Е — слой группы G (теорема 3.1). Во втором параграфе изучаются конечные 2-группы (теоремы 3.2 — 3.5), в которых для любой неинвариантной подгруппы А выполняется неравенство ( ). В третьем исследуется строение непримарных групп G, в которых условие ( ) выполняется для любой неинвариантной подгруппы А. Группа G в этом случае разрешима. Это исследование разбито на части в зависимости от характера вложения силовской 2-подгруппы S и холловой 2 -подгруппы Р группы G: S G, Р G (теорема 3,6), S G, Р $ G (теорема 3.7), Р С?, S fc G (теорема 3.8), Р fiG, S j6G (теорема 3.9).
Группы с относительно большими централизаторами всех неабелевых подгрупп
Рассмотрим теперь группы, в которых неравенство ( ) выполняется для всех неабелевых подгрупп. Заметим, что это свойство переносится на подгруппы и фактор-группы. Лемма 1.1 Если в группе G неравенство ( ) выполняется для любой неабелевой подгруппы А и И — такая неабелева подгруппа группы G, что С(Н) тоже неабелев, то Я и С(Н) удовлетворяют заключению теоремы 1.1. Доказательство. Пусть К — Н-С(Н) и Г — произвольная подгруппа из С(Н), Тогда из неравенств выполняется для всех подгрупп Т С(Н). Так как Я С(С(Н)) то утверждение леммы верно и для группы Я. Лемма доказана. Теорема 1.3 Пусть G — неабелева р-группа, в которой неравенство ( ) выполняется для любой неабелевой подгруппы А. Тогда если р ф 2, то \GjZ{G)\ = р2, а если р = 2, то выполняется одно из следующих условий: 2) GjZ{G) — диэдралъная группа; 3) G = К Z(G), где К — центральное произведение двух групп Миллера-Морено с объединенным коммутантом; 4) G/Z(G) = ((а)А{Ь)) х (х), (а) А (В) — группа диэдра, \х\ = 2, и если Ь, х — представители смежных классов b их, то [6, х] — [а25 ] = 1," 5) G/Z(G) = {b,x}, [,#] Є (6 ,я2) [Ь2,#2] = 1, u каждая из факторгрупп G/{b2)Z(G) и G/{x2)Z(G) является либо диэдральной либо квази-диэдралъной группой; квазидиэдральиая группа; квазидиэдральиая группа; Доказательство. Предположим сначала, что р ф 2. Пусть А — максимальный абелев нормальный делитель из G. Если хА — элемент порядка р из Z(G/A) и В = {х,А) то В — нормальная в G подгруппа и В/Л = р. Так как В неабелева и С(В) В, то из \G : В\ 2 следует, что G = В, т.е. \GjA\ = р. Но тогда в группе G все собственные централизаторы абелевы, т.е. для любой неаб елевой подгруппы Н группы G выполняется равенство С(Н) = Z(G) и, следовательно, Если Н — подгруппа Миллера-Морено из G, то из Пусть теперь р = 2. В тех же обозначениях из \G : В\ 2 следует j(? : Л 4. Для удобства разобьем дальнейшее доказательство на части. Если [G : А\ = 2, то снова С(Н) = Z(G) для любой неабелевой подгруппы Н из G, Пусть Н — подгруппа Миллера-Морено из G. Если Н Z{G) G, то Предположим, что Н Z{G) $ G для любой подгруппы Миллера-Морено Я. Тогда Пусть Так как Я A = G, то можно считать, что 6, х, у Є Л. Если бы группа N была аб елевой, то в группе Г нашлась бы такая подгруппа Миллера-Морено К, что К Z(G) Т. Поэтому N неабелева. Но тогда и, как и выше, G/Z{G) — диэдральная группа. 2. Группа G обладает такой неабелевой подгруппой Я, что G(H) тоже неабелев.
Заменяя, если это необходимо, Я на С(С(Н)), мы можем считать, что С(С(Н)) = Я. Положим К = Н- С(Н). Тогда Из леммы 1.1 и теоремы 1.1 следует, что каждая из фактор-групп H/Z(K) и C(H)/Z(K) является либо четверной группой, либо диэдральной группой. Пусть — четверные группы. Если Я ф С(Н)\ то [а, Ь] ф [с, с?] и, следовательно, подгруппа Т = (ас, W) неабелева. Но адг) = яда г-яда и №(г):г.яда 2. Поэтому Н = С(Н) и А = Кц Z(K), где JLQ — центральное произведение двух групп Миллера-Морено с объединенным коммутантом. Пусть теперь и \а\ = 2" 2. Обозначим через со элемент порядка 2 из (с). Подгруппа г = {й2,с2,с0,ияда неабелева. Из следует, что Т К. Кроме того, Покажем теперь, что G = К. Заметим, что из строения группы К и теоремы 1 из [9] следует, что в группе К каждая подгруппа, содержащая центр, является централизатором. Это означает, в частности, что если Ні неабелева подгруппа из К и \H\jZ{K)\ = 4, то Если К ф G, то найдется подгруппа Т группы G со свойством \Т : К\ = 2. Тогда Г = К{х), х2 К. Пусть А — максимальный абелев нормальный делитель группы G. Тогда \G : А\ = 4. Предположим сначала, что G = А - Я. Тогда можно считать, что х Є А. Если Z(#) то можно считать, что а Є А. В этом случае ш G — А- Н следует, что С? = (6,-г) А, где z (Я). Но тогда абелев, что невозможно, так как С({6, г)) С{Н), Поэтому то Л содержит элемент ch\ для некоторого hi Є Я. Аналогично А содержит элемент d 2 hi Є Я. Поэтому можно считать, что fti = а и hi = Ь. Положим аі = ас и dj = bd. Для подгруппы Яі = (а і, Ь) будем иметь С (Hi) = {c7d{) Z(H). Из следует, что подгруппа R = (oi, di, b)Z(H) нормальна в группе Г. В то же время, Полученное противоречие показывает, что для любой неабелевой подгруппы Н из К с условием \HjZ{K)\ = 4 выполняется неравенство G А Н и, следовательно, Так как G = А К, то можно считать, что а,с х Є А. Положим т.е. один из элементов ad, 6, adb должен принадлежать А. Но тогда что противоречит тому, что \К : А О / = 4. Таким образом, G — К — является группой типа 3 из заключения теоремы.
В дальнейшем будем предполагать, что \G/Z(G)\ 8, централизатор любой неаб елевой подгруппы абелев и индекс максимального абелева нормального делителя равен 4. Пусть А — максимальный абелев нормальный делитель группы G и R — такая подгруппа из С?, что А R G. Тогда G = R(x), хг Є R. Так как R обладает абелевои подгруппой индекса 2, то в силу пункта 1 доказательства теоремы фактор-группа RjZ(R) является либо абелевои группой порядка не больше 8, либо диэдральнои группой. 3. R/Z(R) не абелева. Пусть R/Z(R) = {а) А(6) — диэдральная группа. Подгруппа (а) нормальна в С = G/Z(R). Поэтому G/C (a) является циклической группой, т.е. либо Т2 = 6, либо можно считать, что х Є C (a). Если х2 = 6, то G/Z(R) = (а)Х{х). Но тогда, как несложно видеть, (а)А(х2) не может быть диэдральнои группой. Поэтому [а, х] Є Z(R), Пусть Ь — bo . Предположим, что число а нечетно. Тогда можно считать, что а — 1. Так как RjZ{R) является диэдральнои группой, то из следует, что х2 = а и GfZ{R) = {x)\(fi) — диэдральная или квазиди-эдральная группа. Так как в группе G нет абе левых подгрупп индекса 2, то подгруппа Я = {x)Z(R) не абе лева. Но тогда либо абелева, либо является диэдральной группой. Предположим, сначала, что H/Z(H) не абелева. Так как Z(R) \ G, то Если Ь2 Є Z(G), то, как и выше, взяв такой элемент z Є Z(R)\Z(G), что z2 Є Z(G) и [z,x] Є Z{G), из условия ( ) получим, что \GjZ{G)\ = 16. Если же Ь2 . Z(G), то G — группа типа 5). Итак, осталось рассмотреть случай \GjZ{G)\ = 16. Так как G не содержит аб елевых подгрупп индекса 2 и факторгруппа по центру не может быть центральным произведением ( и Z то из описания групп порядка 16 (см., например, [43], стр. 99) следует, что в этом случае либо либо Если в первом случае то подгруппа Я не может быть абелевои. А так как Я G, то получим противоречие с условием ( ). Во втором случае из этих же соображений следует, что подгруппа (а2, Ь2) должна быть абелевои т.е. G снова группа типа 7).
Группы с относительно болыпими централизаторами всех непримарных подгрупп
Перейдем теперь к рассмотрению групп, в которых условие ( ) выполняется для любой нецримарной подгруппы Н. Несложно заметить, что это свойство переносится на подгруппы и фактор-группы. Лемма 2.1 Если в группе G для любой пепримарной подгруппы А выполняется условие ( ) и Н такая подгруппа из G, что С{Н) неприма-рен, то б Н условие ( ) выполняется для любой подгруппы А. Доказательство. Если В — Н-С(Н) ж А — подгруппа из Н, то подгруппа А С(Н) непримарна. Поэтому Так как Лемма доказана. Теорема 2.2 Пусть G — конечная разрешимая группа, в которой условие ( ) справедливо для любой пепримарной подгруппы А. Тогда выполняется один из следующих случаев: 1) G — примарная группа; 2) G —абелева непримарная группа; 3) G = К х Hf К — неединичная абелева группа, Н — силовская 2-подгруппа из G и H/Z(H) является либо четверной, либо диэдралъной группой. 4) G = К\Н, группа К — абелева, силовская 2-подгруппа Н имеет строение указанное в теореме 1.1, \Н : Сц{К)\ 2; 5) G = F\{x), F являетсяр-группой, \x\ — простое нечетное число Я Ф Р С{х) абелев, совпадает со своим нормализатором и для любой х-допустимой подгруппы Н из F выполняется равенство 6) G = F\(x), F является р-группой ступени нильпотентности не выше двух, \х\ = 2 фр и CF{X) Z{F); 7) G = F\(x), F является р-группой, p ф 2, \x\ = 4 и FA(x2) — группа из пункта 6); 8) G = F\({x)\{y)); F — абелева силовскаяр-подгруппа из G, \х\ = q ф р, у2 = 1, FX{a) группа типа 5) или 6) для любого неединичного элемента а Є {х)Х{у), и если q ф 2, то ху ф ух; 9) G = F\(x), F — неабелева силовская 2-подгруппа, \х\ — простое число, и для любой х-допустимой подгруппы Н из F выполняется условие причем хотя бы для одной подгруппы Я этот индекс равен 2; 10) G = (F\{x)) (т), \х\ = р — простое число, г2 Є F, F (г) — силовская 2-подгруппа группы G, хТ = х-1, F\(x) группа типа 5) или 9), и если Н — ({х)Х{г))-допустимая подгруппа из F, то Доказательство. Предположим сначала, что группа G нильпотентная не примарная группа, G = П -П — разложение ее в произведение силовских подгрупп. »=1 Пусть j Є {l,2,...,n}. Если А — произвольная неединичная подгруппа из Я = П Р» то из непримарности группы PjA следует, что т.е. в Я условие ( ) выполняется для любой подгруппы.
Из произвольности числа j и теоремы 1.1, следует, что каждый из множителей Pi является либо абелевой группой, либо такой 2-гругшой, что PijZ{Pi) — четверная или диэдральная группа, т.е. из нильпотентности группы G следует, что G — группа одного из типов 1) —3) из заключения теоремы. Предположим теперь, что G — разрешимая ненильпотентная группа и F — подгруппа Фиттинга группы G. Тогда, как известно, C(F) F и, следовательно, в случае непримарности F получим \G : F\ — 2. Но тогда G = ііГАЯ, где Я — силовская 2-подгруппа группы 7. Так как F — непримарная нильпотентная группа, то по уже доказанному подгруппа К абелева. Пусть Т — произвольная неединичная подгруппа из Я, А = КХТ. Тогда \N(A) : А С(А) 2. Так как то, учитывая, что (Я, / ") = 1, т.е. в Я условие { ) выполняется для любой подгруппы А. Но тогда группа Я либо абелева, либо H/Z(H) — четверная или диэдральная группа, т.е. мы имеем группу типа 4). Предположим теперь, что группа F примарна, \F\ — ph. Пусть A/F — минимальный нормальный делитель группы G/F. Тогда (Л/,Р,р) = 1. Так как А G и А не примарна, то \G : А\ 2. Пусть A = FXR, где R — элементарная абелева группа, иг — элемент простого порядка из R. Тогда из условия ( ) следует, что \А : F(r)\ 2. Это означает, что либо A/F — группа простого порядка, либо A/F — четверная группа. Рассмотрим сначала случай р ф 2. Предположим, что \A/F\ — q — простое число. Тогда в группе А для любой непримарной подгруппы Т выполняется равенство N(T) = Т С(Т). В силу теоремы 2 из [4] и замечания после нее A = F{x), СА(%) абелев, совпадает со своим нормализатором в Л, и для любой аг-допустимой подгруппы Я из F выполняется равенство Из -допустимости подгруппы Я следует, что Nf(H) тоже X-допустим. Поэтому Так как F удовлетворяет нормализаторному условию, то, повторяя этот процесс достаточное число раз, получим равенство Поэтому, если A = Gnq 2, то G — группа типа 5). Отметим еще, что при Я = \F,x] выполняется равенство Но тогда и F = Я О (а) = Я Z(G). Предположим теперь, что G = Awq — 2. Покажем, что в этом случае G является группой типа 6). Заметим сначала, что если CF(x) F, то Ср(х) Z(F). В самом деле, так как х действует на фактор-группе F/CF(x) регулярно, то эта фактор-группа абелева и дх g lz для любого д Є F и подходящего z Є CF(x). Если h — произвольный элемент из CF(x), то Но тогда Є C(fo). В силу произвольности д ж h, CF(x) Z(F). Это означает, в частности, что из CV(x) JP следует, что группа F нильпотентна ступени не выше двух. Покажем, что верно и обратное утверждение. Пусть F — двуступенно нильпотентная группа наименьшего возможного порядка со свойством Cf(x) fi F. Если то из получим CF{x) F. Поэтому F C\CF(x) = 1. Так как F/F — абелева группа, то в силу утверждения 0.4 и из доказанного выше получим что противоречит неинвариантности CF(x). Теперь индукцией по числу \F\ покажем, что F нильпотентна ступени не выше двух. Пусть F — минимальный контрпример и Н = [F, х\. Из равенства F = Н- Z(G) следует, что Н не может иметь ступень нильпотентности меньше трех. Так как Н является подгруппой Фитинга для группы Н (х), то в силу минимальности F получаем Н = F. Но тогда из получаем Ср{х) F , Если д F, то дх = g lh для подходящего h Є F , т.е. подгруппа К = {g)F( является х-допустимой.
В силу предположения индукции, А нильпотентна ступени не выше двух и, следовательно, CF(x) (/-допустим. В силу произвольности д Є -F, CF{x) F, что противоречит условию. Таким образом, если q = 2vs.G = A, TOG является группой типа 6). Отметим, что группа F не обязана быть абелевой. Примером может служить группа В случае же q ф 2 ступень нильпотентности группы F может быть любой. Соответствующим примером является подходящая группа Фробени-уса. Если же А G, то возможен один из следующих случаев: Если в последнем случае [х,у] = 1, то из следует, что х 6 C{FX[y)). Но тогда F х {х) нильпотентна, что противоречит выбору F. Положим z = х в случае б) и z = ух в случае в). По доказанному выше Так как ynz инвертируют каждый элемент из фактор-группы F/(CF(y) Cf (2)), то yz действует на этой фактор-группе тривиально. Но тогда группа абелева. Таким образом, если А G, то G — группа одного из типов 7), 8). Предположим теперь, что F является 2-гругшой. Тогда Пусть Я — произвольная х-допустимая подгруппа из F, К = Н{х). Если h Є NF(K), то (x}k = (x)hl для некоторого hi Є Я. Но тогда Как и выше, это равносильно тому, что В силу теоремы 2 из [4], если А не является группой типа 5), то для некоторой подгруппы Я должно выполняться равенство Так как в этом случае NF(H) CF(H), то группа F не абелева. Таким образом, если A = G, то G группа типа 9). Примером такой группы является сплетение 1 8 с циклической группой порядка 3. Предположим теперь, что А G. Тогда где г2 Є F, и FX{x) — группа типа 5) или 9). Если фактор группа G/F абелева, то F{r) G, что противоречит выбору F. Поэтому хт = x lf для некоторого / Є F. В то же время, из {х)т = (х) 1 , где f\ Є F, следует, что я1" 1 = я" для некоторого числа а. Но тогда т. е. се = —1. Заменив т на г/і, будем иметь хт = х-1. Пусть Я — ((я) А (г) допустимая подгруппа из F. Если Я = 1, то равенство из пункта 10) теоремы очевидно. Поэтому считаем, что Я ф 1, т.е. подгруппа ЯА{г) не примарна. Так как G/H не примарна, то Но тогда из и условия ( ) следует, что Отсюда легко получить, что т, е. G — группа типа 10). Таким образом, осталось рассмотреть случай, когда A/F — четверная группа. В силу минимальности A/F в этом случае А ф ?, т.е. G = FXP, где Р — силовская 2-подгруппа порядка 8. Если г — центральная инволюция из Р, то Но тогда что невозможно. Теорема доказана. Теорема 2.3 Пусть G — конечная простая группа, в которой условие ( ) выполняется для любой непримарной подгруппы. Тогда G изоморфна одной из следующих групп: 1) PSL(2,2n), (2П - 1) — простое число; 2) PSL(2,p), р и %у- — простые числа; 3) PSL(2,3n), п — 2 или yl — простое число; 4) 5г(8) «ли 5г(32). Доказательство. Пусть (? = ЛЯ — знакопеременная группа. Если п — Ъ или 6, то G = PSL(2,5) или PL(2,9), соответственно.
2-группы с относительно болыпими централизаторами неинвариантных подгрупп
Опишем сначала строение такой группы G в случаях, когда G дву-ступенно нилыютентна или имеет циклический коммутант. Отметим, что указанное ограничение переносится на подгруппы и фактор-группы. Кроме того, если \G \ 4, то в группе G условие ( ) выполняется для любой не инвариантной подгруппы А. Это следует из того, что в этом случае АпС 2 для любой неинвариантной подгруппы А группы G. Лемма 3.1 Пусть G — конечная двуступенно нилъпотентная группа, в которой условие \G : А С(А)\ 2 выполняется для любой неинвариантной подгруппы А. Если А — неинвариантная в G циклическая подгруппа, то \G : С(А) 4. Доказательство. Предположим противное. Тогда [A,G] 8. Пусть [A,G] = Н. Так как A j4 G, то Н А. Обозначим через В максимальную подгруппу группы Я, содержащую Н П А. Подгруппа К = А- В абелева и неинвариантна в G. В то же время что противоречит условию ( ). Лемма доказана. Теорема 3.2 Если G — конечная двуступенно нилъпотентная 2-группа, в которой условие ( ) выполняется для любой неинвариантной подгруппы А, то либо \G \ 4, либо G и GJZ{G) — элементарные абелееы группы порядка 8. Доказательство. Проведем индукцию по порядку группы G. Пусть G — минимальный контрпример. Предположим, сначала, что G содержит элемент а порядка 8. И пусть у — элемент из G наименьшего возможного порядка со свойством а = [х, у 1] для некоторого х Є G. В силу леммы 3.1 каждая из подгрупп (х) и (у) инвариантна в группе G. Поэтому (а) (х) П (у). Пусть Заменяя, если это необходимо, элемент а его подходящей степенью, можем считать, что х2" = В силу выбора элемента у выполняется неравенство а 0. А из а[ = 8 следует, что (3 3 и \у\ Если в группе G найдется такой элемент ж, что [x G] (а), то из нецикличности \x,G] следует, что подгруппа {х) неинвариантна в G, что противоречит утверждению леммы 3.1. Поэтому можно считать, что Таким образом, G — элементарная абелева группа. Пусть х Є G \ Z(G). Если {х} G, то \[х, G]\ = 2. Если (х) Gt то по лемме 3.1 [х, G] \ 4. Это означает, что для любого х Є G \ Z(G) выполнено неравенство В силу теоремы А из [40] либо \G \ 4, либо G и G(Z{G) — элементарные абелевы группы порядка 8. Теорема доказана. Лемма 3.2 Пусть G — группа, с циклическим коммутантом (а) порядка не меньше 8, в которой условие ( ) выполняется для любой не-инвариантной подгруппы. Пусть а = \х,у]. Если х С{а), то С(х) абелев. Доказательство.
Предположим противное. Пусть и, и Є С(х) и [и, v] 7 1. Если, например, [и,у] ф 1, то [и,у] = [хк,у] для некоторого числа к. Но тогда их к Є С(у). Поэтому мы можем считать, что {u,v) получим а Є {иу}. Но тогда подгруппа {х,уи) двуступенно нильпотентна и по теореме 3.2 \а\ Поэтому К $ Н. Но тогда подгруппа Н двуступенно нильпотентна и \а\ 4. Следовательно, [w, v] I \а\. В этом случае элементы х2 и v лежат в N(K)\C(K). Поэтому x2v l К-С(К).Тшкак то КС (К) С (и). Но тогда из x2v 1 Є К С {К) следует v Є С (и), что противоречит выбору элементов U R V. Лемма доказана. Теорема 3.3 Пусть G — группа, с циклическим коммутантом (а) порядка не меньше 8, в которой условие ( ) выполняется для любой неинвариантной подгруппы. Если найдется такой элемент х, что а = \х,у] и х Є С(а), то выполняется один из следующих случаев: Доказательство. Отметим, что из х Є С(а) следует т.е. С(я) ?и GjC(x) абелева группа. Предположим, сначала, что фактор-группа G/C(x) не является циклической группой, т.е. найдется такой элемент t G\ С(х), что Пусть ау — а№, [я, ] = аР и а = а7. Из равенств ж абелевости фактор-группы G/C(x) следует, что Если [t,y] = а , то из [і, у] = [я , у] следует, что tx k Є С(Ї/). Заменяя, если это необходимо, элемент t на txk} можно считать, что [t,y] — 1. Как известно, группу автоморфизмов циклической 2-группы можно представить в виде (и) х (г/), где и — возведение в пятую степень, а v — инвертирование элементов группы. Поэтому если (х) \ G, то можно считать, что Но тогда а — х 2 и ау = а-1, т.е. a=-li7 = l- 2/3. Так как [x,ty] = а1 & и одно из чисел (3 или (1 — /3) четно, то можно считать, что число /3 четно. Положим Если Я ?, то из [x,t] = а? Є Я как и при доказательстве леммы 3.2 получим, что Если же Я G, то из я2, у Л Я) и из условия ( ) следует, что один из элементов х2, у или х2у лежит в Я С{Н). Так как то в любом из этих случаев получим а2 2. Предположим теперь, что (х) $ G. Положим в этом случае Тогда Я -ft G, а элементы у2 и і принадлежат N(H). Из условия ( ) следует, что один из элементов у2, t или j/2t должен лежать в В силу выбора элемента t возможен только случай у2 Є С(х), т.е. а — — 1. Кроме того, из Є N(H) и условия ( ) следует, что 22 С(х), т.е. а2 = 1. Если в последнем случае и число 6 четно, то аналогично получим, что а25 = 1. Но тогда tit-1 Є С(х), т.е. и в этом случае Положим Я = (а2,Хі, у). Тогда Н -ft Gy а, элементы t и х2 лежат в N(H). Поэтому один из элементов t, х2 или t lx2 должен принадлежать подгруппе что невозможно. Поэтому и G - группа типа 1) или 2). Рассмотрим теперь случай циклической фактор-группы G/C(x). Тогда можно считать, что Пусть ау = аа. Из строения группы автоморфизмов циклической 2-группы следует, что если а ф — 1, то можно считать, что а = ±5 для некоторого числа к 1. Положим Н = {а11,у). Тогда Н f\ G и из х2 Є N(H) следует, что для некоторого числа т. Следовательно, a = 3(mod 4). Положим теперь Н — {[л:2)у2],у2). Если Если же if jd G, то снова получим, что один из элементов х2, у ИЛИ Г2?/ лежит в подгруппе откуда следует, что либо а2 а+1 = 1, либо а2(а _1) = 1. Поэтому аа+1 4. Остается заметить, что если аа+1 = к, то у2к G(x). Теорема доказана. Теорема 3.4 Пусть G — группа, с циклическим коммутантом {а) порядка не меньше 8, в которой условие ( ) выполняется для любой неинвариантной подгруппы. Если для любых х,у Є G из [х,у] = а следует, что [а,х] фі ф [и,у], то выполняется один из следующих случаев: Доказательство. Если фактор-группа G/C(a) циклическая, то можно считать, что х — ynt, где t Є С (а).
Но тогда что протшзоречит условию теоремы. Поэтому фактор-группа G(C{a) не циклическая. Так как где а" = а-1 и а = а5, то можно считать, что Положим Я = {aa,y}. Так как Н -ft С?, то из а Є N{H) и условия ( ) следует, что Но тогда а2 Є С(у) и [а, у2] = 1, т.е. G/C(a) — четверная группа. Покажем теперь, что С(а) абелев. Предположим противное. Пусть и и v такие элементы из С (а), Так как подгруппа {u,v) двуступенно нильпотентна, то по теореме 3.2 \а,Р\ 4, т.е. число /? четно. Равенство {[и, ж]) = (а) противоречит предположению теоремы. Поэтому Это означает, что найдется такое число к, что [и,х] = [акух]. Заменяя, если это необходимо, элемент и на иа к, можем считать, что и Є С(х). Аналогично можно считать, что и v Є С{х). Но тогда Если \а\ 8, то по лемме 3.2 Сн{у2) должен быть абелевым, что противоречит выбору элементов и и v. Если же \а\ = 8, то положим К = (а4, гс, и). Тогда подгруппа А" абелева, К $ Н и v, ул Є N(K). Поэтому один из элементов и, у4 или г?г/4 должен лежать в подгруппе К С (К) = С (К), что не выполняется. Таким образом, подгруппа С(а) абелева. Если С(а) П С(х) = Z(G), то G — группа типа 1) из заключения теоремы. А если то из следует, что [і, у] = а!" /2, т.е. G — группа типа 2). Теорема доказана. Таким образом, остается рассмотреть случай, когда ступень нильпотентности группы G больше двух и G не является циклической группой. Лемма 3.3 Пусть G — конечная 2-группа, в которой условие ( ) выполняется для любой неинвариантной подгруппы. Если среди неинвариантных максимальных абелевых подгрупп группы G есть четверная группа, то G является диэдральной или квазидиэдралъной группой. Доказательство. В силу предложения 1.16 из [16] G является группой максимального класса, и остается заметить, что 2-группы максимального класса исчерпываются диэдральными, квазидиэдралъными и кватернионными группами (теорема 1.17 из [16]). Лемма доказана. Лемма 3.4 Пусть G — конечная 2-группа, в которой условие ( ) выполняется для любой неинвариантной подгруппы. Если группа G обладает абелееой максимальной подгруппой А, то GJZ{G) — диэдралъная группа. Доказательство. Пусть G = А{х), х1 Є А. Тогда G(x) = (x)Z(G) — максимальная абелева подгруппа группы G. Так как ступень нильпотентности группы G больше двух, то С(х) $ G. В силу условия ( ) N(C(x))/Z(G) — четверная максимальная абелева подгруппа группы G/Z(G). Из леммы следует, что G/Z(G) диэдральная или квазидиэдральная группа. Но фактор-группа по центру не может быть квазщшэдральноп группой. Лемма доказана.
Группы с относительно большими централизаторами неинвариантных подгрупп
Отметим, что любая подгруппа и фактор-группа группы G сама обла дает этим свойством. Если группа G не разрешима, то она содержит простую секцию К. Но тогда в группе К условие ( ) выполняется для любой подгруппы Н. Как отмечалось в утверждении 0.1, это влечет абе левость группы К. Таким образом, группа G разрешима. Если группа G нечетного порядка, то в группе G для любой неинвариантной подгруп- пы Я выполняется равенство N(H) = Н С(Н). Строение таких групп определяется утверждением 0.2. В дальнейшем предполагаем, что группа G четного порядка. Обозначим через 5 — силовскую 2-подгруппу, а через Р —холлову 2 -подгругшу группы G. Строение Р определено в утверждении 0.2, а конечные 2-группы с этим условием изучены в теоремах 3.2 — 3.5. Поэтому остается исследовать строения групп G в случае 1 S G. Исследование строения группы G, в этом случае проведем в зависи- мости от характера вложения подгрупп S и Р в G. Теорема 3.6 Если G = S х Р, то либо S — дедекиндова группа, а Р — группа из утверждения 0.2, либо группа Р абелева, a S — группа из теорем 3.2 — 3.5. Доказательство. и условия ( ) следует, что Если группа 5 не дедекиндова и В неинвариантная подгруппа из 5, то в группе Р условие выполняется для любой подгруппы А. Но тогда в силу утверждения 0.1 группа Р абелева. Теорема доказана. Теорема 3.7 Если S G, но P $G, то выполняется один из следующих случаев: 1) G — группа из пункта 3 или 4 утверждения 0.2; 3) 5 2, Р — группа из пункта 3 утверждения 0.2 w если Р = А{х)} хр Є Л, mo [S7A] = 1 к (S/S )\{x) — группа из пункта 3 утверждения 0.2; 4) Р — группа из пункта 4 утверждения 0.2, а = gn, g простое число, группа S дедекиндова, CP(S) = (#А а9"_1))(Р), (S/Sf)X(a) — группа из пункта 3 утверждения 0.2. Доказательство. Предположим сначала, что группа Р абелева. Пусть А — произвольная подгруппа из Р, не лежащая в Z(G). Тогда А $ G. Положим В = С${А) х А. Из равенств В частности, Cs(P) = Cs(A). По лемме 2.1 из [15] S = (Cs(A) Р/А — циклическая группа). Если А Z(G)} то по доказанному С${А) = Cs(P)- Поэтому найдется такая подгруппа А группы Р, что А Z(G) и Р/А — циклическая группа, т.е. для некоторого элемента а. Но тогда В дальнейшем для простоты будем считать, что G = А(а). Предположим, что С$(а) S. Тогда C(Cs{a)) G и из а Є C(Cs(a)) следует, что Поэтому, с учетом утверждения 0.4 Это означает в частности, что если какая либо из подгрупп С$(а) или [5,а] абелева, то она лежит в Z(S). Отметим еще, что если Н — а-допустимая подгруппа из 5 и Н/Сн(а) — циклическая группа, то Н = Ся(«). В самом деле, так как группа автоморфизмов циклической 2-грушгы является 2-грушгой, то [Н,а] Сн{а). Но тогда [іґ, а, а] — 1 и, следовательно, [Н,а] = 1.
Предположим еще, что S = Cs{a) х [S, а]. Пусть х Є [5, а] \ {1} к А — произвольная подгруппа из Cs(u). Из непдкличности S/Cs{u) следует, что то в группе Cs{a) условие ( ) выполняется для любой подгруппы А. В силу теоремы 1.1 либо С$(а) абелева, либо Cs(a)/Z(Cs(a)) четверная или диэдральная группа. В силу теоремы 3.2 S является либо циклической группой, либо элементарной абелевой группой порядка не больше 8. Предположим сначала, что S = (Ь) — циклическая группа. Так как Aut({6)) является 2-группой, то Группа S/(b) абелева. Поэтому то из [С, а, а] = 1 следует, что и [С, а] = 1. Это означает, что S = [5, а] Cs{a) и [5, а] П Cs{a) Предположим, что [5, а] — абелева группа. В силу замечания, сделанного после утверждения Если Н — произвольная подгруппа из Cs(a), то из а Є N([S,a] х Я) следует, что и, следовательно, Н С$(а). Поэтому Cs(a) — дедекиндова группа, т.е. Если [5, а] обладает неединичной собственной а-допустимой подгруппой А и а" Z(G), то и из условия ( ) следует, что либо (а") = (а), т.е. aZ( ?) — простое число, либо АА(а") G. Как показано выше, С(ап) = С(а) = С(Р). Это означает, в частности, что [,а] = [5,а]. Поэтому из следует, что [5, а] = [5, а"] А, что невозможно. Если же [S,a] не содержит истинных а-допустимых подгрупп и А-истинная а"-допустимая подгруппа из [5, а], то из А $ G и условия ( ) следует, что а" Є С А). Но тогда что невозможно. Таким образом, либо ар Z(G) для некоторого простого числа р, либо все степени элемента а, не лежащие в Z(G), действуют на [5, а] неприводимо и в этом случае [5, а] — элементарная абелева 2-группа. Итак, если [5, а] абелева, то G — группа типа 1) или 2) из условия теоремы. Предположим теперь, что группа [5, а] неабелева. Как показано выше, Поэтому и инвариантна в S, но не инвариантна в G, Из условия ( ) следует, что \S:Cs(x)\ 2. В силу произвольности элемента х должно выполнятся равенство то в силу условия ( ) должно выполняться ty Є Н С(Н) С(х). Но тогда из і 6 С(х) следует, что и у Є С(х), что противоречит выбору элемента у. Поэтому для любой подгруппы А Cs{a). Это означает, что группа Cs{a) абелева (см. утверждение 0.1) и, следовательно, С$(а) Z{G). Так как S/[S,a] абелева, то в этом случае G — группа типа 2) из условия теоремы. Рассмотрим теперь случай, когда S и S/Z(S) — элементарные абе-левы группы порядка 8. Пусть х Є S\ Z(S), тогда и из Cs(x) {x) Z(S) следует, что для H = {х) - Z(S) выполняется неравенство Поэтому Н G и, следовательно, [х,а] Z(S). В силу произвольности х получаем [S,a] Z(S). По лемме о трех коммутантах В силу замечания, сделанного после утверждения 0.4, 5 = [5, а] х Cs(a). Как ж выше отсюда следует, что в группе Cs(a) условие ( ) выполняется для любой подгруппы. Но тогда по теореме 1.1 Cs(a)/Z(Cs(o.)) должна быть четверной или диэдральной группой, что не возможно, так как Итак, осталось рассмотреть случай, когда S1 является четверной группой.
Предположим, сначала, что S нильпотентна ступени 3. Как показано при доказательстве теоремы 3.5, в этом случае Так как подгруппы S и (г) = S П Z(S) а-допустимы, то S С (а). В группе подгруппы (х) и {х) X (с) а-допустимы. Поэтому Из абелевости [5, а] и инвариантности Cs{a) снова следует, что Как и выше это приводит к тому, что S/Z(S) должна быть четверной или диэдральной группой. Но тогда 5 — циклическая группа, что не выполняется. Предположим теперь, что ступень 5 равна 2. Если [S,a\ Z(S), то снова получим, что S должен быть циклической группой. Поэтому Пусть А — абелева подгруппа индекса 2 из 5, S — А - (6), Ь2 Є А. Тогда Cs(b) = Ь) Z(S) и из \S : Cs(b)\ 2 следует, что Cs{b) G, т.е. [Ь,а] Є Z(S). Если с Є А \ Z(S), то аналогично [6с, а] Є Z(S) и, следовательно, [с, а] Є (5) и [S, а] Z(S), что невозможно. Это означает, что для любой максимальной абелевой подгруппы Л из 5 выполняется неравенство Если [5", а] = 1, то как и в случае циклического коммутанта несложно показать, что S/Z(S) должна быть четверной группой, что невозможно. Поэтому а действует на S регулярно и, следовательно, aZ(G) — 3. Так как условие "5 : Cs(x)\ 2 для всех х Є 5" влечет равенство jS j = 2, то для некоторого х Є 5. Если [х, a] . Z(S), то ж в силу условия ( ) \S : Cs{x)\ = 2. Поэтому [х, а] є Z(S) Пусть где [у,а] Є () для любого у Si ж [г, а] Z{S) для любого ж Є 5г \ Z(). По уже доказанному для всех х Є 2. Поэтому группа 5г либо абелева, либо имеет коммутант порядка 2. Так как 5г, а следовательно и 2, й-допустимы, и а действует на 5 регулярно, то 5г абелева. Поэтому Так как то, как и выше, S[ — циклическая группа. Из регулярности действия а на S следует, что Si абелева группа. Но тогда Из абелевости Si и 5г и неабелевости 5 = Si 2 следует, что найдутся такие элементы а; Є г \ - В частности, S : С$(у) \ — 4. Как показано выше, Но тогда и из Cs{{x,y)) — С${у) следует, что у є С(х), что невозможно. Предположим, теперь, что группа Р не абелева. Если А — инвариантная в Р максимальная абелева подгруппа, то из Np{A) Ср(А) следует, что А G и, следовательно, А C{S). Поэтому Р не может быть группой типа 2 из утверждения 0.2. Если Р — группа типа 3 из утверждения 0.2, то А C(S) nG — группа из пункта 3 теоремы. Пусть Р — группа типа 4 из утверждения 0.2 и aZ(P) не является простым числом.
