Содержание к диссертации
Введение
1. Предварительные сведения 13
1.1. Теоретико-числовые сведения и обозначения 13
1.2. Порядки элементов групп лиева типа 14
1.3. Автоморфизмы конечных групп лиева типа 19
2. Симплектические и ортогональные группы над полями ха рактеристики 2 23
2.1. Предварительные сведения 23
2.2. Расширения симплектических групп 25
2.3. Расширения ортогональных групп четной размерности 28
3. Исключительные группы 33
3.1. Связные централизаторы полупростых элементов 34
3.2. Спектры групп F±(q) и D±(q) 36
3.3. Расширения групп F±(q) и zD±(q) 42
3.4. Расширения групп E{q) и 2EQ(q) 45
3.5. Расширения групп Ej(q) 49
3.6. Распознаваемость простых исключительных групп по спектру 52
4. Простые группы с графом простых чисел как у знакопере менной группы 54
4.1. Свойства графа простых чисел знакопеременной группы 55
4.2. Линейные и унитарные группы 57
4.3. Симплектические и ортогональные группы 59
4.4. Исключительные группы лиева типа и спорадические группы 63
4.5. Знакопеременные группы 65
Заключение Список литературы
- Порядки элементов групп лиева типа
- Расширения симплектических групп
- Расширения групп E{q) и 2EQ(q)
- Симплектические и ортогональные группы
Порядки элементов групп лиева типа
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1. Всякая группа, изоспектральная группе 5б(2), изоморфна либо самой группе SQ(2), либо группе Og(2) [27]. Группа 5 6(4) распознаваема по спектру [13]. Из основного результата работы [35] следует, что группа Sa(q) распознаваема по спектру при четном q 4. Для доказательства теоремы остается рассмотреть группы S2n{q) при п З. Пусть S G AutS. Можно считать, что G = S х (г), где г -автоморфизм группы S простого порядка г. Этап 1. Предположим, что т -- полевой автоморфизм. Для краткости обозначим q через go, a »5 2n( 7o) через So- Из леммы 1.3.3 следует, что г u(So) С UJ(G). Мы будем искать такое число го Є UJ(SO), что гго о;(5 ).
Предположим, что г = 2. По лемме 1.2.1 выполнено следующее: 2т Є UJ(SO) тогда и только тогда, когда 2т Є UJ(S). Пусть 2m - - максимальная степень двойки в UJ(SO) (а значит, и в о;(5 )). Тогда 2 2т Є 2 UJ(SO) С u;(G). но 2m+1 о;(5). Следовательно, 6G (G) Ф w(S).
Теперь предположим, что г нечетно. Пусть п = 2к 2 + 1 для некоторого к 2. Применяя лемму 1.2.1, получаем 2к Є /І (So), и аналогично 2 Є /i(S ). Значит, г 2fc Є г w(S0) С w(G), ио г 2к w(S), и снова w(G) Ф u(S). Далее будем считать, что п ф 2к 2 + 1. Обозначим s = e(r, q). Подберем в качестве Го некоторый примитивный простой делитель числа q$ — 1, где t 2п удовлетворяет следующим условиям: {t,r) = l; (2.4) t\ sgn(t-s) не является нечетным натуральным числом; (2.5) r](t) + T](s) п. (2.6) Если выполнено (2.4), то Го также является примитивным простым делителем числа ql — 1. По лемме 1.2.10 условия (2.5) и (2.6) гарантируют, что гго ф uj(S). Пусть п = 4. Предположим, что f](s) = 1, т.е. г делит q — 1 или g + 1. Выберем в качестве Го число rg(qo) (напомним, что rg(qo) обозначает примитивный простой делитель числа (/о !) Поскольку і = 8иг нечетно, {t,r) = 1 и условие (2.4) выполнено. Значит, го является примитивным простым делителем числа q8 — 1. Условия (2.5) and (2.6) очевидно выполнены: rj(t) + rj(s) = 4 +1 n, при этом если r divides q — 1, то = 8, и если г divides q + 1, то - = 4. По лемме 1.2.10 имеем гго о;(5 ). Предположим, что rj(s) Є {2,3}. Положим го = rs(go)- Несложно проверить, что условия (2.4) и (2.6) выполнены. Наконец, предположим, что r](s) = 4. Положим t = 2, т.е. Го = ( о) Пусть п = 6. Предположим, что 7(s) = 1- Если г / 3, положим о = піяо)- Если г = 3, выберем в качестве г о произведение примитив ных простых делителей двух различных чисел: Го = rg(qo)r4(qo)- Посколь ку (г, 8) = (г, 4) = 1, числа rg(qo) и r iqo) также являются примитивны ми простыми делителями чисел q8 — 1 и qA — 1 соответственно. Ясно, что r%{qo)r±{qo) Є w(S ), а значит, rr8 (go )?4( 2о) Є г u{S0). С другой стороны, 7](s) + rj(8) + 7](4) п и числа д4 + 1, д2 + 1ид±1 попарно взаимно просты, по лемме 1.2.1 получаем, что rr%{qo)r\{qo) UJ(S). Предположим, что rj(s) = 2. Тогда Го = r%{qo)r2{qo). Легко показать, что гго Є ruj(So) и гго w(S ), следовательно, u(G) Ф u(S). Заметим, что г и q взаимно просты, поэтому из малой теоремы Ферма следует, что г 3, если s = e(r, q) 2 (последнее условие эквивалентно Ф) 2) Предположим, что rj(s) Є {3,5,6}. Тогда Го = rg(qo).
Предположим, что f](s) = 4. Если г ф 5, положим = 10, в противном случае положим t = 6. Тогда Го = rt(qo). Отметим, что если г = 5 и і = 6, у числа (?о — 1 существует примитивный простой делитель (в противном случае по лемме 1.1.3 выполнялось бы равенство q$ = 26. Поскольку q = q$ = 25, имеем s = e(r,q) = е(5,32) = 4, а значит, rj(s) = 2, но это противоречит предположению, что T](s) = 4).
Пусть п 7. Предположим, что 77(5) = 1 Случай 1: г делит q + 1. Если при этом г не делит п, положим t = 2п. если п четно (тогда q + 1 взаимно просто с gn + 1), и = п, если п нечетно (тогда q + 1 взаимно просто с gn — 1). Если г делит п, то число п 7 может быть представлено в виде суммы двух различных натуральных чисел к и /, удовлетворяющих условию (2.3) (лемма 2.1.1).
Предположим, что п четно. Если к и / - - четные числа, q + 1 взаимно просто с gfc + 1 и дг + 1, и мы можем положить го = r2k(qo)i"2i(qo) (поскольку (г, к) = (г,/) = 1, числа f 2k{qo) и 2i{Qo) ЯВЛЯЮТСЯ примитивными простыми делителями чисел q — 1 и q2 — 1 соответственно). Если киї-- нечетные числа, q + 1 взаимно просто с qk — 1 и ql — 1, и мы полагаем го = rk(qo)ri(qo). Теперь предположим, что п нечетно и п = к + /. Без ограничения общности считаем, что & четно, а / нечетно. Тогда q + 1 взаимно просто с qk +1 и ql — 1. и го = r2k{qo)ri{qo).
Случай 2: г делит g — 1. Если при этом г не делит п, положим t = 2п (поскольку q — 1 взаимно просто с gn + 1). Если г делит п, положим г о = i"2k(Qo)i"2i(Qo), где к + I = п и к, I удовлетворяют условию (2.3) (поскольку g — 1 взаимно просто с qk + 1 и дг + 1). Заметим, что если п = 7 (а значит, и г = 7) и & = 3, / = 4, то у числа q k — 1 = q$ — 1 существует примитивный простой делитель. (В противном случае выполнялись бы равенства до = 2 и g = 27, но в этом случае г не может делить q — 1. Значит, до 7 2).
Предположим, что f](s) = 2, т.е. г делит д2 + 1.
Случай 1: г не делит то из чисел {п, п — 1}, которое является нечетным. Если п нечетно (т.е. г не делит п), положим го = Г2п{я_о)- Если п четно (т.е. г не делит п - 1), ТО Го = r2(n-i)( ?o) Случай 2: г делит нечетное из чисел {п}п — 1}. Рассмотрим случай четного п (в противном случае можно провести аналогичное рассуждение, заменив п на п — 1). Тогда г не делит п. Отметим, что q2 + 1 не может одновременно делить числа qn — 1 и qn + 1 (при этом д2 + 1 взаимно просто с тем из этих двух чисел, которое оно не делит). Выберем го следующим образом. Если q2 + 1 делит qn — 1 (это эквивалентно тому, что п делится на 4), то положим го = Г2П(Яо)- Если q2 + 1 делит qn + 1 (т.е. п четно и не делится на 4), положим го = rn(qo)rn(qo) (при этом выполняется равенство /7(s)+?7(n)+?7() = п + 2 п, поскольку нечетно. Более того, q2 + \ взаимно просто с qn — 1).
Предположим, что 7](s) = 3. Условие (2.6) влечет, что r](t) Є {n, n — l,n — 2}. Два из этих трех чисел не делятся на r](s) = 3 (а значит, не делятся на 6. Отсюда следует существование примитивных простых делителей соответствующих чисел). Напомним, что г 3 согласно малой теореме Ферма. Следовательно, по меньшей мере одно из двух чисел, не делящихся на 3, взаимно просто с г. Именно это число выбирается в качестве rj(t).
Расширения симплектических групп
Как и в предыдущем параграфе, F - алгебраическое замыкание поля простого порядка р, G -- простая алгебраическая группа над F, Т -- фиксированный максимальный тор в G, Ф — корневая система группы G. Зафиксируем также фундаментальную подсистему П = {а\,..., ап} в Ф и порождающие Шевалле xa(t), na(t) и ha(t) группы G относительно Т [54, определение 1.12.2]. Для краткости обозначим hai(t) через hi(t). Если G -- односвязная группа, эти порождающие удовлетворяют следующим свойствам [54, теорема 1.12.1]: Т = (ha(t) a eU,teF ), (3.10) п Г hi(U) = 1 U = 1 для всех 1 і п, (3.11) г=1 ЬФ(іГ1ха{и)ЬФ(і) = ха(и& ), где (а, /3) = 2(а, /3)/(/3, /3), (3.12) для всех а, /З Є Ф,и Є F,t Є F . Предложение 3.2.1. Множество порядков элементов простой группы S = F±(q), где q — степень простого числа р, совпадает с множеством делителей следующих чисел: 1) q4 - q2 + 1, q4 + l,(q2±q + \){q2 - 1), (q4 - l)/(2, q - 1); 2) p ±1), p{q2 + \){q±l), p{q2 -I); 3) 4(g2 ± 1), 4(g2 ±q + l), 8(q ± 1), 16, если p = 2; 4) 9(q2±l), 27, еслир = 3; 5) 25 (g ± 1), если p = 5/ 6) 49 2, если p = 7; 7) 121, если p = 11. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ЕСЛИ p = 2, утверждение доказано в [9, лемма 1.6]. Докажем утверждение для нечетного р. Всякий полупростой элемент группы S лежит в некотором максимальном торе. Структура максимальных торов в S описана в [67, стр. 94-96]. Из этого описания следует, что UJP (S) состоит из всех делителей чисел, перечисленных в пункте 1) предложения.
Поскольку ht{F ) = 11, из леммы 3.1.3 следует, что период силовской р-подгруппы в S равен 27 при р = 3, р2 при р Є {5, 7,11} и р при р 11.
Остается найти смешанные порядки элементов (т.е. порядки элементов, не являющихся ни р-: ни р -элементами). В соответствии с предыдущим параграфом, достаточно найти множества р(Фг) р (Фі) для всех непустых собственных замкнутых подсистем Фі в F4 , для которых найдется т-инвариантная подгруппа, сопряженная с соответствующей редуктивной подгруппой (при этом нам не требуется критерий того, что редуктивная подгруппа является связным централизатором, поскольку спектр любой подгруппы в Ga очевидно является подмножеством В Uj(Ga)). Пусть (G, о") - - стандартное сг-представление для S. Все необходимые подсистемы Фі, а также классы сопряженности группы NwiW\)/W\: найдены в [80] и [48]. Пронумеруем корни в системе Ф типа F в соответствии с [48, с. 126]. В частности, все фундаментальные корни пронумерованы как на рис. 1, и через «о обозначен корень наибольшей высоты. Кроме того, если {еі, Є2, ез, Є4} ортонормированный базис евклидова пространства, в которое вкладывается Ф, то а\ = е2 —ез, «2 = ез — Є4, «з = Є4, «4 = (еі —Є2 Єз Є4) и о = Є1+Є2. Нам также потребуются корни ag = е\ и «і5 = т (еі+Є2 + Єз — Є4). — «о СКі OL2 О-З &А о о П П о Расширенная диаграмма Дынкина типа F Для корневой системы типа Ф будем обозначать через Ф подсистему состоящую из коротких корней. Отметим следующее полезное свойство корневой системы Ф: две ее подсистемы И -сопряжены тогда и только тогда, когда их типы совпадают.
Разделим все подсистемы на четыре класса в соответствии со значением Ы{Ф\). Для каждой подсистемы Фі в таблице 1 содержится информация о выбранной фундаментальной подсистеме Пі в Фі и структуре группы Nw{W\). В описании этой структуры через —1 обозначена единственная центральная инволюция группы W (эта инволюция переводит корень а в —а). а через wis отражение в корне а . Информация, касающаяся Nw{W\). взята из [80, таблица 2].
Напомним, что р(Ф\) = min{pk рк Ы(Ф\)} и р (Фі) = UwGB6,( crw)-где Z = Z{G\) и {«ІИ-Л. w Є В} - полный набор представителей классов сопряженности группы N{W\)/W\. Также напомним, что ht(An) = п и Ы(Вп) = Ы(Сп) = 2п-1.
Обозначим через Ф2 подсистему в Ф, состоящую из корней, ортогональных всем корням из Ф\. Тогда Z{G\) содержит группу Т2 = {ha(t) \ а Є Ф2 Є F } согласно (3.12). Группа Т2 представляет собой максимальный тор полупростой группы G2 = {Ха а Є Ф2}. Напомним, что W2 W подгруппа, порожденная отражениями в корнях из Ф2. Поскольку W2 вкладывается в Nw(Wi)/Wi по лемме 3.1.2, a W2 — группа Вейля группы G2, имеем ujpl{{G2)a) С р {Фі). Более того, если Z(Gi) = Т2 и Nw(Wi) = Wx х W2, Таблица 1. Подсистемы Фі Ы(Фг) Фі Пі NW{WX) 1 Ах Аг 2АіАг+Аг 2Лі + іі {-«о} {as}{-а0,а2} {-а0,а:і} {-«о, «2, «4} \г xW2 \г xW2 {w15)Wi x W2 Wi xW2 {wl5)Wl x (-1) 2 2 І2А2 + Аі А2 + Аі А2 + А2 {-а0,аі} {аз,«4} {-«о, «і, «з} {-а0,аз,«4} {-ао,аі,аз,«4} Wi x W2 x (-1) И і x W2 x (-1) И і x W2 x (-1) И і x W2 x (-1) И і x W2 x (-1) 3 в2В2 + Аг AsА3 + Аг {«2, «з} {-ао,«2,аз}{—Q!0,Q!l,Q!2}{-«о, «і, «2, «4} Wi xW2Wi x W2 x (-1)Wi x W2 x (-1) в,Сз + Агв, {аі,а2,аз}{«2, «з, «4} {-«о, «2, «з, «4} {-«о, «і, «2, «з} Wi xW2 Wi xW2Wi Wi мы получаем равенство. Заметим, что в силу односвязности G группа G2 тоже односвязна при условии того, что 2 -- подсистема, порожденная фундаментальными корнями, или по крайней мере эквивалентна такой подсистеме [54, предложение 2.6.2]. Пусть р(Фі) = р. Предположим, что тії С ФІ и Фі 2АІ,2АІ + АІ. Тогда, в соответствии с таблицей 1, имеем Nw{Wi) = Wi х Wi или Nw{Wi) = W\ х Wi x (—1). Поскольку —1 центральна в W, получаем, что Nw{W\) удовлетворяет предположению леммы 3.1.6, где Ф[ = АІ. Таким образом, р (Фі) С р (Аі). Аналогично, если АІ С Ф: и АІ Фь то р (Фі) С j/(A{), И если 2А\ С Фь то р\Ф\) Q р (2Аі). Следовательно, достаточно рассмотреть Аи АІ и 2АХ.
Предположим, что Фі = АІ, где Пі = {ag}. Тогда Ф2 = («і, «2, «з) - система типа з- В силу того, что (08,04) = 1 и (ag,ai) = 0 для всех 1 і 3, из (3.10)-(3.12) следует, что Z{GX) = {hl(tl)h2(t2)h(h) \ U Є F }. Иными словами, Z{G\) — максимальный тор в G2. Учитывая, что Nw{W\) = VKixVl , получаем, что р\А\) = ujp ((G2)a). Группа G2 — простая односвязная группа типа з- Следовательно, (G2)a — Spirij{q)) а значит, p (Ai) состоит из всех делителей чисел q:i ± 1, (q2 + l)(q ± 1), (g2 — 1) [20].
Предположим, что Фі = Лі, где Пі = {—«о}. Тогда Ф2 = (а2} Оз, щ). Поскольку («о, Оі) = — 1 и («о, CKJ) = 0 для всех 2 і 4, получаем Z(Gi) = Т2. Тем самым p (Ai) = up (SpQ(q)) С ujpi{Spiri7{q)).
Предположим, что Фі = 2Лі, где Пі = {—0:0,0:2}. Тогда Ф2 = (04,013) и Л/VK(И7!)/VKi W2 х (if 15). Вычисления показывают, что Z{G\) = Т2 х (h2(—1)). Поскольку 015 ортогонален всем корням из Ф2, получаем, что (T2)aw изоморфна некоторому максимальному тору группы (G2)a для любого w Є W2 х (if 15). Периоды максимальных торов в (G o- — Sp±{q) в точности равны д2 ± 1, (д2 — 1)/2, g ± 1 (см., например, [5]). Если h Є Z{G\)) то /г2 Є Т2, а значит, период группы Z{G\)aw может превосходить период группы (T2)aw не больше, чем в два раза. Поскольку 2(q2 + 1) делит (q2 + l)(q — 1), 2(g± 1) делит q2 — 1, и 2(g2 — 1) ojp (S) в силу (1), мы можем заключить, что (2Лі)С (1і).
Тем самым мы проверили все числа из пункта 2) предложения.
Пусть р(Ф\) = р2. Тогда Ы(Ф\) 3. Как показывает лемма 3.1.6, достаточно рассмотреть В2 и А% при р = 3, В% и Сз при р = 5, 4 при р = 7. Если Фі имеет тип 2, з или Сз, то Z{G\) = Т2) Nw{W\) = W\ х И , и, рассуждая как и выше, мы заключаем, что р (В2) = ujpi{Spin±{q)) и р (В ) = /(Сз) = ujpl{SL2{q)). Если Фх = Б4, то Z(Gi) = (/г3(-1) . Отсюда получаем элементы порядка 2 49 при р = 7. Наконец, если Фі = Аз, то Z{G\) = Т2 х (/г3(—1)). Следовательно, р (Аз) состоит из делителей чисел 2(g ± 1), поэтому р (А3) С р (В2)
Расширения групп E{q) и 2EQ(q)
Предложение 4.4.1. Пусть S = Ат, где т Ъ, G — исключительная группа лиева типа. Тогда GK{G) не совпадает с GK(S). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ЕСЛИ G Є {G2(q)?D±(q),2F±(2) }, то t(G) 3. Если GK(G) = GK(Am), то TT(G) Є {2,3,5,7,11,13,17}. Из [90, табл. 1] следует, что в этом случае совпадений нет. Рассмотрим теперь группы G, такие что t(G) 4. Если G Є {E q). Ej(q), Eg(q)}, то по лемме 4.1.5 граф GK{G) не совпадает с графом знакопеременной группы. Компактные формы графов простых чисел этих исключительных групп приведены в [7]. Укажем наборы вершин г і,г 2, ь 2, такие что в GK{G) есть ребра (vi,wi), (v2,w2) и нет ребер (vi,w2), {v2lw\): если G = E6(q), то vi Є R v2 Є R\2,wi Є R1/e ,w2 Є R iy, если S = Ej(q), то v\ Є Rs, v2 Є Rw,wi Є RA,W2 Є Де; если 5 = Eg(q), то г»і Є Лд, v2 Є Rw,wi Є і?з, it 2 Є і?4 Пусть теперь G = F {q). На рис. 3 приведена компактная форма для GK(G) (см. [7]).
Пусть р ф 2. Тогда либо р = 3, либо З Є Ri(q), либо З Є R2(q). В Рис. 3. Компактная форма графа GK{F {q)) любом случае вершина г& смежна с 2 и несмежна с 3, что невозможно в графе знакопеременной группы. Пусть р = 2. Тогда t(G) = 4 и Г8,?і2 изолированные вершины. Если GK{G) = GK(Am), то t(Am) = 4 и оба числа т,т — 2 -- простые. Единственная знакопеременная группа, удовлетворяющая этим условиям, - - это группа AIQ. Ее граф простых чисел не совпадает с GK(G). Осталось рассмотреть группы Сузуки и Ри. Поскольку порядки про стых групп Сузуки G = 2В2(22п+1) не делятся на 3, то GK(G) GK(S) в этом случае. Заметим, наконец, что если S = Ат -- знакопеременная груп па, то t(2,S) 3 и t(3,S) 3. Это не так для простых групп Ри: в графе GK(2G2(32n+l)) вершина 3 входит в коклику максимального размера 5; в графе GK(2F4(22n+l)) вершина 2 входит в коклику максимального размера Предложение 4.4.2. Пусть S = Ат, где т Ъ, G — спорадическая группа. Тогда GK{G) = GK(S) в том и только в том случае, если (S, G) = (A9,J2).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В [46] указаны множества порядков элементов всех спорадических групп. Этого достаточно для того, чтобы в явном виде построить граф простых чисел любой из спорадических групп или проверить выполнение в этом графе условий, заведомо выполняющихся в графе знакопеременной группы. Из леммы 4.1.1 вытекает следующее свойство графа GK{Am): если р и q - - простые числа, q р и р Є ir(Am), то q Є ir(Am). Указанным свойством не обладает множество 7г(С), если G -- одна из следующих групп: Coh Со2, Со3, Fh F2, F3, Fi23, Fi2 He, HN, Jh J3, J4; Ly, Ми, M23, M24, 0 N: Ru. Проверка показывает, что из оставшихся ше сти спорадических групп П22, HS, 3 i-, М22, McL, Suz только ,І2 имеет граф простых чисел, совпадающий с графом знакопеременной группы S = Ад. А именно, {2,3,5,7} = TT(AQ) = 7r(J2) -- множество вершин, (2,3), (2, 5), (3, 5) — множество ребер графов GK(Ag) И GK{J2). 4.5. Знакопеременные группы Предложение 4.5.1. Пусть п б — натуральное число, и либо п = 6. либо п нечетно и оба числа п, п — 4 являются составными. Тогда графы простых чисел знакопеременных групп Ап и Ап_\ совпадают. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Прямая проверка показывает, что выполнено ра венство GK(AQ) = GK(A ). Предположим, что п б и выполнено нера венство GK(An) 7 GK(An_i). Множества ті(Ап) и 7г(Лп_і) (т.е. множества вершин соответствующих графов простых чисел) различаются тогда и толь ко тогда, когда п - - простое число. Если п не является простым числом и GK(An) ф GK(An_i): то множества ребер этих графов различны (в силу того, что множества их вершин тт(Ап) и тт(Ап_і) совпадают). Следовательно, существуют простые числа r}s Є тг(Ап) такие, что п — 1 e(r) + e(s) п. т. е. e(r) + e(s) = п. Поскольку п нечетно, получаем, что одно из чисел г, s равно двум, а другое равно п — 4. Значит, п — 4 является простым числом. Следовательно, если п нечетно и оба числа n, п — 4 являются составными, то GK{An) = GK{An_i) и предложение доказано. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 7 следует из предложений 4.2.1, 4.3.2, 4.4.1, 4.4.2 и 4.5.1. Прежде чем перейти к доказательству теоремы 8, напомним, что нам потребуется следующая гипотеза.
Гипотеза ( ). Для любого четного числа п б найдется пара различных простых чисел, сумма которых равна п.
Широко известна бинарная гипотеза Гольдбаха о том, что любое четное число п 4 представимо в виде суммы двух простых чисел. В 1930-х гг. было доказано, что доля непредставимых чисел, если они существуют, стремится к нулю с ростом п [51,86]. На апрель 2012 г. бинарная гипотеза Гольдбаха была проверена для всех четных чисел до 4 1018 [72,88]. Более сильная гипотеза ( ) верна для всех четных чисел, не превосходящих 4 104 (см. [84], последовательность А002375 в OEIS). Кроме того, утверждение гипотезы ( ) следует из асимптотической формулы количества различных представлений четного числа п в виде суммы двух простых чисел, проверенной для всех чисел, не превосходящих 240. Отметим, что оценивающая функция в этой формуле быстро растет с ростом п (см. более подробный обзор обеих гипотез в [32]).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 8. Пусть S = Ат, т 10, и G — знакопеременная группа. Если G = Am_i: оба числа m, т — 4 являются составными и т нечетно, то равенство GK(G) = GK{S) доказано в предложении 4.5.1. Докажем утверждение в обратную сторону. Предположим, что верна гипотеза ( ). Сначала покажем, что GK(An) и GK(Am) не могут совпадать, если т — п 1. Пусть п т — 2. Одно из чисел т, т — 1 является четным. В силу гипотезы ( ), найдутся два различных нечетных простых числа г и s, таких что п т — 2 r + s m, а значит, множества ребер рассматриваемых графов различны: GK{An) не содержит ребро (r,s), a GK{Am) содержит. Пусть теперь G = Ат_\. Если т четно, то в силу гипотезы ( ) существуют различные простые числа г и s, такие что т = r + s. Тогда GK(Am) содержит ребро (г, s) и не совпадает с графом GK(Am_i). Если т — нечетное простое число, то у графов GK{S) и GK(G) не совпадают множества вершин, а если т — 4 является простым числом — множества ребер. Теорема 8 доказана.
Симплектические и ортогональные группы
Сначала мы рассмотрим группы малых размерностей. Отметим, что для этих групп информация о графе простых чисел может быть получена из [46] или с помощью [52]. Непосредственная проверка графов простых чисел групп #м(2) (t = 3,5), 5 (3) (t = 2,3,5,7), 0+(2) (/ = 4,5,6,7), 0 (3) (/ Є {4,5,6,7,8}), Of0(2), О (З) (/ = 5,7,9) показывает, что они не могут совпадать с графом знакопеременной группы. Выполнено равенство GK(Ss(2)) = GK(0+(2)) = GK(A9).
Теперь рассмотрим группы из пунктов 1-8 по отдельности, опуская случаи малых размерностей, перечисленные выше. 1. Пусть q = 2. Поскольку случаи t = 5,7 уже были рассмотрены, мы можем считать, что t 7. Тогда в графе GK{G) вершина r2(t_4)(2) смежна с т%{2) = 17 и не смежна с Гі2(2) = 13. Из критерия смежности вершин в графе знакопеременной группы S (лемма 4.1.1) следует, что если для чисел v}W\}W2 Є TT(S) выполнено неравенство W\ W I и вершина v смежна с w\ в графе GK(S), то она смежна и с w i- Ясно, что для GK{G) это утверждение неверно, поэтому GK(G) не может совпадать с графом знакопеременной группы. Далее в доказательстве аналогичное рассуждение не будет приводиться в развернутом виде.
Пусть q = 3. Поскольку t 11, то из чисел {t — 8, t — 6} можно выбрать нечетное число, не кратное 11. Обозначим это число через s. Тогда в графе GK(G) число rs(3) смежно с г%(3) = 41 и не смежно с гц(3) = 23.
Пусть q = 5. Здесь можно не рассматривать отдельно группы малых размерностей, т.к. рассуждение верно при t 5. Множества Ri(5) и R2(5) непусты. В графе GK(G) есть ребра (гі(5),Гг(5)), (г2(5),Г2 (5)) и нет ребер (ri(5), f2t(5)), (f2(5), rt(5)). Это противоречит лемме 4.1.5, поэтому GK(G) не может совпадать с графом знакопеременной группы. 2. Пусть G = 0 (2) и (n = 2fc + 1 5). Тогда в графе GK(G) вершина гп_4(2) смежна с г%(2) = 17 и не смежна с ri2(2) = 13. 3. Пусть G = S2t(2) и 5. Тогда в графе GK(G) вершина rt- (2) смежна с г8(2) = 17 и не смежна с гю(2) = 11. Пусть G = S2t(3) и 7. Тогда, если число — 4 не кратно 5, то в графе GK(G) вершина ГЬ-А(3) смежна с гз(3) = 13 и не смежна с г$(3) = 11. Если — 4 делится на 5, то вершина г _з(3) смежна с Гз(3) = 13 и не смежна с г5(3) = П. 4. Пусть G = 02t+i(3) и t 7. Выполнено равенство GK(C 2t+i(3)) = GK(S2t(3)- Эти симплектические группы рассмотрены в пункте 3. 5. Пусть G = Ott+1J2) и t 5. Тогда в графе GK(G) вершина rt- (2) смежна с Гб(2) = 31 и не смежна с ru(2) = 13. Пусть G = Ott+l\( ) и t 7. Из чисел {t — 6}t — 4} можно выбрать число s, не кратное 11. Тогда в графе GK(G) вершина rs(3) смежна с rs(3) = 41 и не смежна с гц(3) = 23. 6,7,8. Эти пункты можно объединить, поскольку рассуждение верно для всех трех случаев. Пусть G = 0 ,(3), где к —нечетное число, не меньшее 11. Среди чисел {п — 6,п — 4} можно выбрать число s, не кратное 11. Тогда в графе GK(G) вершина rs(3) смежна с rs(3) = 41 и не смежна с гц(3) = 23. Рассмотрим пункты 9—11 таблицы 3. Пусть G — одна из групп 02n+i(q), S2n(q) (п = 2к 2), O q) (п = 2к 4) над полем порядка q = ра. Рассмотрим сначала группы небольших размерностей. Пусть G = S q)- Тогда t(G) = 2. Среди неабелевых простых знакопеременных групп только для S Є {Ад,Аю,Аі2} выполнено t(S) = 2. Используя [90, табл. 1], несложно убедиться, что GK(G) не может совпадать с графом знакопеременной группы. Пусть G Є {Ss(q), Og(g), 08 (q)}. Тогда t(G) 4 и в графе GK{G) существует изолированная вершина r%{q). Это число является простым делителем числа — С другой стороны, если GK{G) совпадает с графом знакопеременной группы S, то t(S) 4, следовательно, TT(S) С {2,3, ...,37}. Тогда 4,1 (f?) 2 37, значит, q = 2. Графы простых чисел групп Sg(2), Og(2), 0 (2) не могут совпадать с графом знакопеременной группы. Осталось рассмотреть группы из пунктов 9-11 таблицы 3 при п 8. 9. Пусть G - - группа O q) (п = 2к 8), и ее граф простых чисел совпадает с графом знакопеременной группы. Поскольку п — Ъ - - нечетное число, не кратное пяти, BGK(G) есть ребра {r5{q),r2(n-5){q)), ІПо{я), rn-5(q)) и нет ребер {r5{q),rn-5(q)), {no{q),r2(n-5){q)), чт0 противоречит лемме 4.1.5. 10,11. Если число q = ра составное, то, обозначив через а некоторый простой делитель числа а, получаем q = р = q$ , где qo = р и а - - простое число. По лемме 1.1.4, \Ri(qo \ 1, если (і,а ) = 1 и множества Ri(qo). Ria (qo) непусты. При п 8 для любого а 2 найдутся по крайней мере два различных множества Ri(pa), такие что \Ri(pa)\ 1 и в графе GK(G) вершины из одного множества смежны между собой и несмежны с вершинами из другого множества. Из леммы 4.1.5 следует, что такого не может быть в графе простых чисел знакопеременной группы S. Поэтому граф GK(G) не может совпадать с графом GK(S). Значит, при п 8 осталось рассмотреть группы G над полем простого порядка.
Исключим случаи q = 2,3. Если G = 5,2п(2) или G = 02n+i(2) и 8 п = 2к, то в графе GK(G) вершина гп-ъ{2) смежна с ГБ(2) = 31 и не смежна с Г\2{2) = 13. Если п = 8, то непосредственная проверка показывает, что граф GK(SIQ(2)) = GK(Ou(2)) не совпадает с графом знакопеременной группы. Если G = 52п(3) или G = 02n+i(3) и 8 п = 2к, то в графе GK(G) вершина гп_5(3) смежна с Гю(3) = 61 и не смежна с Гів(З) = 17, поэтому GK(G) не совпадает с графом знакопеременной группы. Пусть р 5 — простое число и G — группа S2n(p) или 02n+i(p), п = 2к 8, и ее граф простых чисел совпадает с графом знакопеременной группы. Пусть к четно, тогда п = 1 (mod 3). В этом случае в GK{G) есть ребра (r3(p),rn_i(p)), (r6(p),r2(n-i)(p)) и нет ребер (r3(p),r2(n-i)(p)), (гв{р),гп-і{р)), что противоречит лемме 4.1.5.