Введение к работе
Актуальность темы. Конструкция прямого произведения групп занимает центральное место в общей теории групп, она позволяет из заданных групп строить новые. С другой стороны, при исследовании свойств группы часто удается разложить ее в прямое произведение подгрупп и тем самым свести задачу к изучению свойств неразложимых групп. Прямое (подпрямое) произведение конечного числа групп называется конечным прямым (.подпрямым) произведением групп. Наряду с названными применениями прямое произведение групп находит также другие, важные применения. Приведем лишь основные направления исследований: а) описание строения подгрупп прямого произведения групп при помощи подгрупп прямых множителей - задача А.Г.Куроша, приведенная в первом издании его монографии по теории групп, изданной в 1044 году; б) исследование классов групп, замкнутых относительно конечных подггрямых произведений, наиболее важные из них - это многообразия и формации групп; в) применение классов групп, замкнутых относительно конечных подпрямых произведений, к изучению свойств групп; г) вложение групп в прямое произведение групп, как общий метод исследования групп.
Описание подгрупп прямого произведения <г,х^ конечных групп (г и &i было уже дано в 1890 году Клейном-Фрикке. В 1930 году Ремак доказал обращение теоремы Клейнаг^фикке и тем самым было получено полное описание подгрупп прямого произведения &ц * &t конечных групп f и (. Ремак дал описание подгрупп прямого произведения <г< *
В 1952 году *укс приводит описание подгрупп прямого произведения б> * &~1 » где &г возможно и бесконечные группы, подобное теореме Клейна-Фрикке-Ремака, но сформулированную в других терминах: Подгруппа Н группы 6ч*^ тогда и только тогда будет подпрямым произведением групп
" -3 -
&t и г , когда существует такая группа F и такие эпиморфизмы Hi: G-.-—»- F , і- і ,2. , что Н состоит из тех и только тех элементов іг. г , для которых
а /Ч _ aft-
Пусть Лч" — К&і/і; , где Л - эпиморфизм 6 на г , t - /> , как в.теорегле Фукса. Подгруппы А/^ и Л^ называются ядрами группы Н .
В 1964 году Рокетт переоткрыл конструкцию Фукса и нашел ей важные применения. Эта конструкция включена в монографию Хупперта по теории групп ( том I, 1уо7 г., теорема I, 9,11), обозначена через G-4 A&i и названа прямым произведением групп &і и &i с объединенной факторгруппой F .
Итак, по определению < A*={j,f* \%іє&1-> ііМі~ 9г*г}.
Эта конструкция играет принципиальную роль в 1 диссертации для получения конструктивного описания конечных под-прямых произведений групп (r^ , «*,№. Для удобства дальнейшего обобщения конструкцию 6-і А (гг назовем F -про-изведением групп &і и (хг относительно эпиморфизмов /І; , i-itZ или, когда это не вызывает недоразумений, коротко Р -произведением групп &1> С- 4,2 и обозначим через
В 1973 году Калужнин Л.А. и Сущанский В.И. ввели понятие расслоенного произведения групп как естественное обобщение мероморфного произведения Ремака. Применяя это понятие Ганюшкин А.Г. в 1у7о-Ъ2 годах изучил некоторые подгруппы прямых произведений конечных групп, построил примеры подпрямых произведений, не являющихся расслоенным произведением, и расслоенных произведений,.не являющихся подпрямым произведением групп. Исследованием подгрупп прямого произведения групп занимались также Шода, Ф.Холл, Томкинсон, О.Ю.Шмидт, А.Г.Курош, W.H.Горчаков, Е.И.Хухро и другие математики.
В последние 30 лет активизировалось внимание к изучению подгрупп прямых произведений в связи с исследованием классов групп (многообразий, формаций), замкнутых относительно конечных подпрямых произведений. Ьыли найдены мно-
гочисленные применения формаций к группам, развиты форма-ционные методы исследований групп, что привело к созданию теории формаций. Вольтой вклад в развитие теории формаций внесли Гашюц, Брайс, Картер, Климович, Косей, Хартли, Хоукс, Хупперт, Л.А.Шеметкоа, В.Н.Семенчук, А.Н.Скиба, СЖКаморни-ков и другие.
Целью работы является
1) Решение задачи А.Г.Курошз (Теория групп, 1-е иэд.'-М.: Гостехиадат, 1944) в случае конечного числа множителей;
2)«Решение по модулю гипотезы Шрейера проблемы Л.А.іііе-меткова о замкнутости класса В^ относительно конечных подпрямых произведений (Шеметков Л.А. Формации конечных групп.- &.: Наука, І»'?о (проблема ІЬ)); Коуровская тетрадь: Нерешенные вопросы теории групп. П-е изд.- Новосибирск, 1^0 (вопрос
6.66));
3) Получение положительного ответа на вопрос 9.58 Л.А. Шеметкова и А.Н.Скибы; частично на вопрос 10.73 Л.А.Шеметко-ва и на вопрос B.JS Л.Ковача из Коуровской тетради, связанных с конечными подпрямыми произведениями групп.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа изложена на 162 страницах машинописного текста и. состоит из введения и трех глав, включающих в себя Ю параграфов. Список литературы содержит 99 наименований.
Общая методика исследования основана на конструктивном описании конечных подпрямых произведений групп, применении методов абстрактной теории групп и теории формаций конечных групп.