Введение к работе
Актуальность темы. При изучении алгебраических систем важным является рассмотрение совокупности ее подсистем. Настоящая работа посвящена изучению системы подполугрупп конечных полугрупп. Большой интерес при рассмотрении такой системы представляет ее количественная характеристика.
Множество подполугрупп бесконечной полугруппы, очевидно, бесконечно. В классе всех конечных полугрупп для любого натурального к существует полугруппа, у которой количество подполгрупп равно к. Однако, в классе n-элементных полугрупп (при фиксированном п > 3) не для всякого к < 2" существует гг-элементная полугруппа, у которой количество подполугрупп равно к. Задача о выяснении всех таких чисел к в общем случае в настоящее время не представляется полностью разрешимой.
В настоящей работе рассматриваются конечные полугруппы относительно более "богатые" системой своих подполугрупп (полугруппы у которой количество подполугрупп больше 3/4 от числа всех подмножеств, такие полугруппы будем называть богатыми подполугруппами или просто богатыми). Для класса полугрупп, состоящих из п элементов, полностью выясняется для каких к > |2" существует тг-элеметная полугруппа обладающая точно к подполугруппами.
В работе описано строение n-элеметных богатых полугрупп, а так же выявлен ряд свойств, которыми обладают эти полугруппы. При выяснении строения указанных полугрупп оказалось, что они являются эксклюзивными. (Полугруппа 5 называется эксклюзивной, если для любых а,Ь,с Є S, abc = ab, 6с или ас.) Задача описания строения эксклюзивных полугрупп была поставлена впервые Б.М. Шай-ном (см., напр. Свердловская тетрадь. Нерешенные вопросы теории полугрупп. 1979 г., Задача 1.44). Изучением таких полугрупп занимались T.Tamuta, L.O'Corrol и Б.Шайн, M.Jamada.
В ряде работ система подполугрупп полугруппы (с добавленным пустым множеством) рассматривается с точки зрения отношения включения. В том случае она, очевидно, является решеткой. Изучение связей между свойствами полугруппы и решеткой ее подоплугрупп в настоящее время составляет одну из обширных областей исследования в теории полугрупп. Оказалось, что рассмотрение количественной характеристики совокупности подполугрупп конечных полугрупп позволяет решить некоторые вопросы из теории решеток подполугрупп.
Цель работы заключается в выявлении существования богатых n-элементных полугрупп с данным числом подполугрупп, изучении их строения и свойств.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.
Методы исследования. В качестве методов исследования используются некоторые понятия и свойства множеств, а также понятия и свойства известные из теории полугрупп и конструкции вводимые в настоящей работе.
Практическая и теоретическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Результаты диссертации представляют интерес для исследований конечных полугрупп, при рассмотрении количественной характеристики совокупности подполугрупп конечной полугруппоы, а так же при изучении взаимосвязей между конечной полугруппой и решеткой ее подполугрупп.
В настоящей работе полностью выясняется вопрос о существовании п-элементных богатых полугрупп с данным числом подполугрупп; приводится описание строения полугрупп богатых подполугруппами; выделены некоторые свойства, которыми обладают такие полугруппы; определены формулы для нахождения количества подполугрупп для некоторых теоретико-полугрупповых конструкций.
Для n-элеметных полугрупп богатых подполугруппами определены все неизоморфные полугруппы с изоморфными решетками подполугрупп. Указаны все решеточно замкнутые классы конечных богатых полугрупп. Показано, что не для любой конечной решетки существует полугруппа решетка подполугрупп которой с ней изоморфна. Некоторые такие совокупности решеток указаны в работе.
Результаты исследования могут быть использованы при подготовке спецкурсов и спецсеменаров для университетов и пединститутов.
Аппробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на II международной конференции "Полугруппы: теория и приложения" в честь профессора Е. С. Ляпина [5] (Санкт-Петербург, 1999), на Герценовских чтениях в РГПУ им. Герцена (1998, 1999, 2000 гг. г. Санкт-Петербург), на Санкт-Петербургском городском семинаре по теории полугрупп, на семинаре по теории полугрупп в РГПУ (г. Ростов-на-Дону) и на семинаре по теории полугрупп в ТГПИ (г. Таганрог).
Публикации. По теме диссертации опубликовано пять работ, список которых приведен в конце автореферата.
Объем и структура работы. Диссертационная работа изложена на 106 страницах машинописного текста, состоит из введения, заключения и двух глав, содержащих четыре параграфа. Библиография включает 37 работ российских и зарубежных авторов.