Введение к работе
Актуальность темы. Диссертация посвящена одному из разделов функциональной алгебры - теории полуколец непрерывных функций. Исследуются конгруэнции на полукольцах С+(Х) всех непрерывных неотрицательных действительнозначных функций и на полуполях U(X) всех непрерывных положительных действительнозначных функций, определенных на произвольном топологическом пространстве X. Полукольца непрерывных функций - сравнительно новый алгебраический объект, изучение которого опирается на теорию колец непрерывных функций и на теорию полуколец. Кольцо С(Х) всех непрерывных действительнозначных функций, определенных на топологическом пространстве X, - классический объект функциональной алгебры. Полукольца непрерывных действительнозначных функций - следующий этап в развитии конкретных алгебраических систем непрерывных функций.
Необходимость создания общей теории полуколец обусловлена ее приложениями в дискретной математике, топологии, идемпотентном анализе, теории оптимального управления и т. д. (см. [7,14]). Знание же свойств полуколец непрерывных функций, их фактор-полуколец полезно в общей теории полуколец, так как многие абстрактные полукольца допускают хорошие функциональные представления в виде полуколец глобальных сечений пучков полуколец [9,10].
Изучение колец С(Х) началось во второй половине 30-ых годов XX века с работ М. Стоуна [16] и И.М. Гельфанда и А.Н. Колмогорова [6]. По теории колец непрерывных функций имеется большая библиография (см. обзорные работы Е.М. Вечтомова [3,4,17,18]). Ей посвящена монография Гиллмана и Джерисона [13]. Полукольца С+(Х) встречаются в литературе с 1955 г. [15]; они систематически изучались в диссертации В.И. Варанкиной [2] (см. также [1]). Полуполя без нуля U(X) - новый алгебраический объект, изучение которого ведется с 1995 г. (см. [5], а также работы автора по теме диссертации).
Впервые конгруэнции на полукольцах С+(Х) были рассмотрены в статьях [11,12]. Авторами было показано, что пространство всех максимальных среди сократимых конгруэнции на С+(Х) гомеоморфно стоун-чеховской компактификации пространства X [11]. В работе [12] доказано, что пространство конгруэнщш р, фактор-полукольца по кото-
рым изоморфны полуполю R+ неотрицательных действительных чисел, гомеоморфно хьюиттовскому расширению пространства X. В диссертации такие конгруэнции р охарактеризованы в терминах решетки Con С+(Х) всех конгруэнции полукольца С+(Х), что позволило получить теорему определяемости хыоиттовских пространств X решетками Соп С+{Х). Замкігутьіе конгруэнции на полукольцах С+{Х) и U(X) с топологией поточечной сходимости исследованы М.Н. Подлевских (Смирнова) [8].
Цель работы. Исследование конгруэнции на полукольцах С+(Х) и на полуполях U(X), а также свойств соответствующих решеток конгруэнции Con С+(Х) и Con U(X).
Методы исследования. Применяются методы и результаты теории полуколец и теории колец и полуколец непрерывных функций. В главе 1 рассмотрен метод соответствий между конгруэнциями на аддитивно сократимом полукольце и идеалами его кольца разностей - он работает в главах 2 и 3. В главе 2 существенно используется линейная упорядоченность фактор-колец кольца С(Х) по простым идеалам, а также каноническое соответствие между простыми идеалами полукольца С+(Х) и кольца С(Х). В главе 3 для исследования конгруэнции на полуполях U(X) применяется разработанная здесь техника главных конгруэнции.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Решены следующие задачи.
-
Описаны максимальные и предмаксимальные конгруэнции на полукольцах С+(Х) (глава 2) и максимальные конгруэнции на полуполях U(X) (глава 3).
-
Доказана определяемость любого хьюиттовского пространства X каждой из решеток конгруэнции Con С+(Х) и Con U(X) (главы 2, 3).
-
Даны характеризации главных и идеальных (сократимых) конгруэнции на полуполях U(X) (глава 3).
4. Показано, что идеальность всех конгруэнции на U{X) эквива
лентна псевдокомпактности пространства X (глава 3).
Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит
теоретический характер. Полученные результатаы могут найти применение в дальнейших исследованиях полуколец непрерывных функций, в теории полуколец, а также при чтении спецкурсов на физико-математических факультетах педвузов и университетов.
Аппробация работы. Результаты диссертации докладывались автором на V Международной конференции женщин-математиков в 1997 г., на алгебраическом семинаре Вятского госпедуниверситета в 1995 -1998 гг. и на алгебраическом семинаре в МПГУ под руководством профессора А.А. Фомина.
Публикации. Основное содержание диссертации отражено в восьми работах, одна из которых в соавторстве. Список приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация содержит введение, 3 главы, разбитых на 10 параграфов, и список литературы из 35 наименований. Текст диссертации набран в системе LaTEX и изложен на 78 страницах.