Введение к работе
1.1. Актуальность темы
Теория модулей, начиная с истоков се развития, всегда заимствовала многие задачи и методы из теории абелевых групп. Так, в классических работах Ар-тина, Шпайзера, Дойрнйга, О.Ветер, Лсано и других структурные теоремы о конечнопорожденных абеленых группах были перенесены на кольца главных идеалов, а затем на дедекнндовы кольца и на максимальные (уже некоммутативные) порядки размерности Крулля 1. В работах Нора, Каплаиского, Мзтлиса и других на некоторые классы колец был перенесен и ряд результатов о бескопечнолорождешшх группах. В частности, Мотлис описал инъек-тпвные модули {аналог делимых групп) над нетеровымн коммутативными кольцами, а также полностью выяснил вопрос о том, когда всякий модуль без кручения над коммутативной областью целостности разлагается в прямую сумму модулей ранга 1.
Одним из важных направлений в теории абелевых групп является изучение ірупп без кручения. Однако, классификация таких групп оказалась чрезвычайно сложной задачей. Полное описание удалось получить лишь для групп ранга 1 .и их прямых сумм (вполне разложимых групп). Более того, как показал Л.В.Яковлев, задача о классификации абелевых групп без кручения конечного ранга является "дикой" в том смысле, что она содержит в себе задачу о классификации с точностью до подобия пар матриц над полем. Хорошо известно, что последняя задача, в некотором смысле, содержит в себе все классификационные задачи теории представлений алгебр (см. напр. Предложение 2.2 настоящей диссертации). ЇІозтому для "дикой'1 задачи нельзя рассчитывать на полную классификацию в более или менее "хороших" терминах. До настоящего времени вообще нет примеров полность решенной дикой задачи.
Естественно, возник вопрос, насколько ;»ти результаты можно перенести на модули без кручения над коммутативными областями целостности, Решению этого вопроса и посвящена настоящая диссертация.
1.2. Цель работы
Выяснить вопрос о том, когда описание модулей без кручения конечного ранга над иетеровой (коммутативной) областью целостности является дикой задачей.
1.3. Методика исследования
И работе используется техника теории колец и модулей, гомологическая ал-іебра, а также методы теории представлении алгебр.
1.4. Научная новиона
В работе впервые получены следующие результаты:
Дан критерий того, чго классификация модулей беи кручения конечного pain а над данной нетеровой областью целостности является дикой па-дачей.
В оставшихся случаях дано полное описание таких модулей.
Дана классификация модулей 'ранга 1 над дедекипдоными кольцами.
Для получения этих результатов предложен новый метод вычисления модулей бег» кручения.
1.5. Теоретическая и практическая ценность
Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть исполыюнаны в исследованиях по теории модулей, в частности, теории абе-'левых групп, а также при чтенипи специальных курсов доя студентов специальности "математика".
1.0. Апробация работы
Ре:-»}льтаты диссертации докладывались на 3 Международной Алгебраической Конференции (Красноярск, 1393 г.), на Киевском алгебраическом семинаре, а также на семинаре по теории представлений в Киевском Университете.
1.7. Структура и объем работы ' -