Введение к работе
Актуальность телы. Среди различных производных объектов, определяемых по заданной алгебраической системы А, видное место занимает решетка (структура) L(A) всех ее подсистем. Такое положение UA) объясняется значительной информацией, которую во многих случаях несет эта решетка о самой системе А. Выявление и изучение связей между свойствами алгебраической системы и свойствами их решеток подсистем представляют одно из важных направлений в современной алгебре. Возникнув впервые в теории групп, а затем в теории полугрупп, это направление достигло своего наибольшего развития именно в этих областях алгебры. В это направление внесли свой вклад авторы: Бэр P., Ope 0., Суд-зуки М., Ивасава К., Ионе А., Канторович П.Г., Плоткин Б.И., Садовский Л.Е., Пекелис А.С, Петропавловская Р.В., Аршинов М.И., Яковлев Б.В., Шеврин Л.Н., Овсянников А.Я. и др.. Позднее решеточные свойства алгебраических систем стали изучаться и в других областях алгебры: в теории топологических групп, в теории модулей, в теорий колец и алгебр.
В последние десятилетия все больший интерес представляют изучение, класификация алгебраических систем по свойствам решетки их подсистем. Наиболее глубокие результаты в этом направлении получены для алгебраических систем с модулярными, в частности с дистрибутивными решетками подсистем. Известно, например, что группа обладает дистрибутивной решеткой подгрупп тогда и только тогда, когда она является локально-циклической группой. Описаны также полугруппы, решетки подполугрупп которых принадлежат модулярным многообразиям. Кольца с дистрибутивной решеткой подколец являются локально-циклическими кольцпми.
В настоящей работе изучаются квазигруппы с дистрибутивной решеткой подквазигрупп (Шг-квазигруппы;, в -основном изучаются моноквазигрушш.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Моноквазигруппа - это квазигруппа о одноэлелен-тной решетной подквазигрупп.
Моноквазигрушш не имеют собственных подквазигрупп и порождаются любым своим элементом. На необходимость описания квазигрупп с дистрибутивной решеткой подквазигрупп указывал еще Биркгоф Г. В своей книго "Теория решеток" он сформулировал следующую проблему (проблема 62, стр.234): для каких эк^азигрупп ( т. е. примитивных
квазигрупп) решетка всех подэквазигрупп дистрибутивна? модулярна?
полумодулярна? Эта проблема до сих пор не решена. Полученные в
этой работе результаты во многом выясняют ситуацию вокруг этой
проблемы. (
В необходимых случаях ( и только тогда) для того, чтобы можно было говорить о решетке подквазигрупп, пустое множество в будет считаться подквазигруппой.
Решетки подквазигрупп изучены сравнительно мало. Известные результаты в этом направлении относятся в основном к ассоциативным квазигруппам (т. е. к группам). Неассоциативные квазигруппы ведут себя специфически, что приводит к большим трудностям при исследовании. Например, в большинстве неассоциативных квазигрупп уже не выполняется свойство Лагранжа: порядок подквазигруппы не. всегда делит порядок квазигруппы. Порядок же нормальной подквазигруппы ( т. е. класса нормальной конгруэнции, который является подквазигруппой ) всегда делит порядок квазигруппы. Если в группах нормальные подгруппы образуют подрешетку решетки подгрупп, то в неассоциативных квазигруппах нормальные подквазигруппы не всегда образуют решетку. Соответствующий пример, найденный автором, приводится в нулевом параграфе. Может оказаться, что нормальные подквазигруппы образуют подрешетку (если необходимо, пустое множестзо считается нормальной подквазигруппой'), которая, однако, не является модулярной. Пример квазигруппы, иллюстрирующий эту ситуацию, построен автором. Если же квазигруппа содержит один и тот не идемпо-' -ент во всякой своей подквазигруппе (например, в случае луп), 'то ее нормальные подквазигруппы образуют модулярную решетку. Некоторый класс луп с модулярной решеткой подлуп указан Нортоном в работе (111. В этой работе дается описание лупы, у которой все подлупы нормальны. Конечные неассоциативные лупы с модулярными и дистрибутивными решетками подлуп рассматриваются Лауш X. в работах [9,101. В С91 доказывается, что лупа с конечной дистрибутивной решеткой подлуп - моногенна (т. е. порождается одним эленментом) и любая ее подлупа моногенна. В работе (101 дается полное описание конечных луп с булевой решеткой подлуп, а также доказано, что конечная коммутативная лупа Муфанг имеет мэдулярную решетку подлуп тогда и только тогда, когда все ее подлупы квазинормальны.
Цель работы: Выяснить строение квазигруппы с конечной дистрибутивной решёткой псдквазигрупп. Исследовать моноквазигруппы (существование, спектр, гомоморфные образы, прямые произведения).
Описать решетку подквазигрупп прямого произведения двух' моноквазигрупп без конгруэнции (двух луп без собственных подлуп). Выяснить, когда решетка нормальных подлуп лупы является дистрибутивной.
Научная новизна. Результата, изложенные в диссертации, являются новыми и некоторые из ранее известных результатов.являются их следствием.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут быть использованы при изучении строения квазигрупп, групп автоморфмизмов квазигрупп, решеток подквазигрупп и решеток конгруэнции квазигрупп.
Методы исследования. В работе используется общий подход к исследованию алгебраических систем с условиями на решетку подсистем. Кроме того, в работе развиваются специальные методы, основанные на анализе свойств изотопии.
Апробация 'работ. Результаты диссертации докладывались на Международной конференции по универсальным алгебрам, квазигруппам и их приложениями ( Ядвизин, Польша, 1989 г.); Международной алгебраической конференции памяти А.И.Мальцева (Новосибирск, 1989 г.); Национальной конференции по алгебре I Румыния, Клуж, 1991 г.); XVIII - XIX-X Всесоюзных алгебраических конференциях ( Кишинев 1985 г., Львов 1987 г.); VI-ом Тирасгольском симпозиуме по общей топологии и ее приложениям ( Вадул луй Водэ, 1991 г. ); семинарах "Алгебра и математическая логика" и "Теория квазигрупп" ( Институт математики АН РМ ).
Публикации. Основные резуль.зты диссертанта опубликованы в 12 работах автора, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объел диссертации. Диссертация~еостоит из введения, пяти параграфах и списка литературы, включающего 63 названия. Работа изложена на 108 страницах машинописного текста.