Введение к работе
Актуальность темы. Одним из важнейших, перспективных и интенсивно развивающихся разделов современной алгебры является теория линейных групп. Теория линейных групп имеет связи с такими областями, как общая теория групп, теория колец, теория чисел, группы Шевалле и др. Линейные группы изучаются как абстрактные группы, как алгебраические группы, как группы матриц и т. д. Большое количество работ посвящено таким вопросам, как задание образующими и соотношениями, группы, порожденные элементами специального вида (например, транс-векциями и отражениями), представление, изоморфизмы, максимальные подгруппы. Наша работа связана с изучением расположения подгрупп в линейных группах, точнее, с направлением, в котором изучаются подгруппы линейной группы, содержащие фиксированную подгруппу. Перечислим некоторые результаты этого направления.
Классическим результатом этого направления является описание параболических подгрупп, полученное Ж. Титсом. Далее, в 1965 г. в работе Бореля-Титса [16] были изучены связные алгебраические подгруппы в редуктивной группе над алгебраически замкнутым полем к. В частности, из проведенных ими исследований вытекало описание алгебраических подгрупп полной линейной группы G = GL(n, к), содержащих группу диагональных матриц D(n,k) (для алгебраически замкнутого поля к). Этот результат был значительно усилен 3. И. Боревичем [2] в 1976 г.
Выделим цикл работ (Н. С. Романовский, 3. И. Боревич, Р. А. Шмидт, Я. Н. Нужин), посвященных описанию подгрупп, промежуточных между группой над кольцом и подкольцом (см. [3, 10-12, 14, 15 ]). Отметим, что в работе Я. Н. Нужина [10] описаны промежуточные подгруппы всех групп лиева типа, когда основное поле является алгебраическим расширением меньшего. В работах [13, 18] изучались максимальные подгруппы в линейных группах.
Следует отметить значительный вклад в развитие теории расположения подгрупп ленинградской-петербургской алгебраической школы (3. И. Бо-
ревич, Н. А. Вавилов и их ученики). На протяжении многих лет усилиями этой алгебраической школы была развита техника и методика исследований подгрупп линейных групп, содержащих фиксированную подгруппу. Именно с этими исследованиями и методиками тесно связаны результаты нашей работы. Основой исследований подгрупп линейных групп, содержащих диагональную подгруппу, явилась известная работа 3. И. Боревича [2], в которой было дано описание подгрупп Н полной линейной группы GL(n, к) = G над полем к7 содержащих группу диагональных матриц D = D(n,k). Оказалось, что для любого поля к все промежуточные подгруппы Н являются алгебраическими, решетка Lat(D,G) всех промежуточных подгрупп конечна и эта решетка не зависит от поля к, если только число элементов в А; не менее семи. В дальнейшем, в работах 3. И. Боревича и Н. А. Вавилова этот результат был перенесен на полулокальные кольца. Основным результатом этих исследований явилось стандартное описание промежуточных подгрупп. А именно, всякой подгруппе полной линейной группы G = GL(n,R)7 содержащей группу диагональных матриц, однозначно соответствует сеть (ковер, см. [3, 7, 9]) идеалов а = (сг^) над кольцом R такая, что G(a) ^ Н ^ N(a): где N(a) — нормализатор сетевой группы G(a) в полной линейной группе G.
Подгруппы специальной линейной группы SL(n, к) над полем к, содержащие группу диагональных матриц SD(n,k) были описаны в серии работ Н. А. Вавилова [5].
Первый шаг в решении проблемы описания надгрупп максимального тора в группах Шевалле сделал Г. Зейтц [25, 26], который это описание получил для групп Шевалле над конечным полем из q элементов, q > 11 (при этом в случае максимального расщепимого тора предполагается, что q нечетно [25], а в случае произвольного тора — характеристика поляр > 5 [26]).
Исследование надгрупп нерасщепимого тора является, на наш взгляд, более сложной задачей. А именно, в случае произвольного поля вопрос с описанием надгрупп нерасщепимого тора остается открытым. В настоящей работе мы концентрируем внимание на исследовании промежуточ-
ных подгрупп полной линейной группы, содержащих нерасщепимый максимальный тор, связанный с расширением основного поля (минизотроп-ный тор). В более общей постановке эта задача (связанная по классификации Ашбахера с надгруппами класса Сз) может быть сформулирована следующим образом. Пусть К/к — конечное расширение полей степени т, V — векторное пространство размерности п над полем К (и размерности тп над к): тогда, очевидно (if-линейное отображение является к-линейным), GLk(V) < GLk(V)7 или в матричной форме GL(n,K) < GL(mn}k). Заметим, что при п = 1 группа GL(1,K) = К* является нерасщепимым максимальным тором. Сформулируем результат, принадлежащий Ли Шанчжы [23], который сводит рассматриваемую задачу к нерасщепимому тору. Пусть п > 3, тогда для всякой промежуточной подгруппы Я, SL{n, К)<Н < GL{mn, k) = G,
найдется единственное промежуточное подполе к < L < К7 [К : L] = d так, что подгруппа Н заключена между группой SL(dn, L) и ее нормализатором в G (заметим, что случай п = 2 также рассмотрен, там появляются еще и симплектические группы).
К настоящему времени полное описание надгрупп нерасщепимого тора получено лишь для некоторых специальных полей таких, как конечные или локальные. Для конечных полей это работы У. Кантора, Г. Зейтца и Р. Дая [19-21, 22, 25, 26], в которых получены окончательные результаты для полей (характеристики не равной 2 и 3), содержащих не менее 13 элементов. Отметим, что в работах Г. Зейтца получено описание подгрупп конечных групп Шевалле, содержащих произвольный максимальный тор. Важные результаты о надгруппах нерасщепимого тора для локальных и глобальных полей получены В. П. Платоновым [24]. Случай поля вещественных чисел рассмотрен в работе Д. Дьековича [17]. Во всех этих случаях ответ носил геометрический характер. А именно, всякая промежуточная подгруппа была связана с промежуточным подполем. В работе [8] В. А. Койбаевым было показано, что для произвольных полей ответ выглядит значительно сложнее, точнее, он зависит от арифметики основного поля; были изучены подгруппы полной линейной группы GL(2,Q)
над полем рациональных чисел, содержащих мультипликативную группу квадратичного расширения основного поля Q (нерасщепимый максимальный тор — квадратичный тор), в частности, показано, что в рассмотренном случае существует континуум промежуточных подгрупп. В дальнейшем, в работе 3. И. Боревича, В. А. Койбаева и Чан Нгок Хоя [4] было получено полное описание указанных подгрупп. В работе А. А. Бондаренко [1] рассмотрен случай локального числового поля. В [6] дано описание подгрупп полной линейной группы степени два над полем рациональных функций (с коэффицентами из конечного поля нечетной характеристики), содержащих нерасщепимый максимальный тор (квадратичный тор).
Настоящая диссертация примыкает к направлению, связанному с изучением подгрупп в линейных группах, содержащих нерасщепимый максимальный тор. Вопросы и методы, возникающие в работе оказываются естественно связанными с перечисленными циклами исследований. Это и определяет актуальность темы диссертации.
Цель работы. Целью работы является исследование решетки подгрупп полной линейной группы степени п над полем к: содержащих нерасщепимый максимальный тор, связанный с радикальным расширением степени п основного поля к.
Общая методика выполнения исследований. В работе используются методы теории групп, колец, полей. Методика исследования подгрупп основана на построении колец, определяющих промежуточные подгруппы, извлечении трансвекций, а также некоторых матриц специального вида, определяющих нерасщепимый максимальный тор.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Получены следующие основные результаты:
определены модули трансвекций и кольца множителей промежуточной подгруппы; доказано, что все кольца множителей совпадают между собой, а модуль трансвекций является целым идеалом кольца множителей;
получены необходимые и достаточные условия нормализуемости сетевого кольца тором;
определены сеть и элементарная сетевая группа, ассоциированные с
промежуточной подгруппой;
- доказана структурная теорема о включении промежуточной подгруппы в нормализатор элементарной сетевой группы для случая, когда все модули трансвекций (первого столбца) промежуточной подгруппы совпадают с кольцом. С помощью полученных результатов строятся максимальные нетривиальные (не содержащие специальную линейную группу) подгруппы полной линейной группы, содержащие нерасщепимый максимальный тор.
В работе также вычислен нормализатор элементарной подгруппы в полной линейной группе.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации имеют теоретический характер. Развитые в ней методы, введенные понятия, техника извлечения трансвекций и полученные результаты могут быть использованы в теории линейных групп.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на IX Международной школе-конференции по теории групп (Владикавказ, 2012), Международной конференции «Алгебра и комбинаторика» (Екатеринбург, 2013), а также представлены на Международной конференции «Алгебра и логика: теория и приложения» (Красноярск, 2013). Неоднократно результаты докладывались на объединенном семинаре «Алгебра и анализ» Южного математического института ВНЦ РАН и Ссвсро-Осстинского государственного университета им. К. Л. Хетагурова.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [27-34], включая [27-29], [31], [33] в изданиях из перечня ВАК, перечисленные в конце автореферата.
Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и занимает 99 страниц машинописного текста. Библиография содержит 95 наименований.
