Наследственные и нормально-наследственные критические локальные формации Селькин, Вадим Михайлович

Введение к работе

4кт^альндсть_теш_диссертации. Формации - это классы групп, замкнутые относительно гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений. Формация конечных групп называется наследственной (нормально наследственной), если она со всякой своей группой содержит и все ее подгруппы (соответственно содержит все ее нормальные подгруппы). Нетрудно заметить, что наследственные' формации можно определить и как классы груш, замкнутые относительно взятия гомоморфных образов, подгрупп и прямых произведений с . ко- нечным числом сомножителей. При таком подходе к определению наследственной формации обнаруживается прямая их аналогия с многообразиями групп, которые согласно теореме Биркгофа можно определить как классы груш, замкнутые относительно взятия подгрупп, гомоморфных образов и декартовых произведений. В связи с последним обстоятельством наследственные формации часто получают другое название: конечное многообразие, псевдомногообразие и др.

Для любого многообразия групп Щ. его подкласс їійЩ, состоящий из конечных 1-групп, является наследственной формацией. Есж при втом многообразие 1 локально конечно, то, как известно, оно однозначно определяется своим подклассом firifit. Это обстоятельство часто позволяет свести задачу изучения локально конечного многооб- '. образия% к изучению наследственной формации finSt. Отметим, например, что для любого локально конечного многообразия % решетка его подмногообразий изоморфна решетке наследственных подформаций формации їіпі (А.Н.Скиба, 1984г.). И хотя сам термин "формация" стал применяться в теории многообразий сравнительно недавно, фор-мационный оператор Ш₀ существенно использовался многими авторами в исследованиях по теории локально конечных многообразий.

Еще более важное значение наследственные и нормально наследственные формации имеют в теории локальных формаций конечных групп. Напомним определение локальной формации.Пусть / - функция, заданная на множестве- всех простых чисел IP, со значениями во мно-

2 жестве всех формаций конечных групп. Если формация конечных груш g такова, что G $ в том и только том случае, когда G/P (G) і /(р) для любого простого делителя р порядка группы G, то 3-называют локальной формацией, а функцию / - ее экраном. Все наиболее важные конкретные формации конечных групп обладают таким экраном, все неабелевы значения которого локальны. В связи с этим формации с таким свойством называют формациями классического типа. И хотя в общем случае разрешимая локальная формация $ не является наследственной или нормально наследственной, ее наибольший (нормально) наследственный подкласс является локальной формацией (Картер,ФишерДоукс,1968г.). Это обстоятельство позволило редуцировать ряд трудных задач теории формаций к исследованию случая, когда рассматриваемые формации (нормально) наследственны. Отметим, наконец, что наследственные и нормально наследственные локальные формации оказались основным рабочим инструментом при создании -ряда красивых и содержательных теорий. В этой связи отметим работы Л.А.Шеметкова [10,11] и М.В.Селькина [4,5] о пересечениях максимальных подгрупп , работу В.Н.Семенчука [6] о минимальных не ^-группах,работы С.Ф.Каморникова [2,3] по теории g-субнормальшх подгрупп, а также совместные работы Баллестера-Болиншес, Дерка, Перец-Рамоша [14] и А.Ф.Васильева, С.Ф.Каморникова, В.Н.Семенчука [1] о решетках подгрупп конечных групп. Таким образом, задача конструирования и классификации, наследственных и нормально наследственных локальных формаций занимает одно из центральных мест в современной теории классов групп.

Наличие в исследуемой локальной формации g подформаций того или иного вида и их взаимное расположение в $ является важной особенностью этой формации. Это явилось основным стимулом для многочисленных исследований,связанных с изучением внутреннего строения локальных формаций. Следует, однако, отметить, что поскольку решетка подформаций у любой неединичной локальной формации бесконечна, то при исследовании ее подформаций весьма затруднительно применение индуктивных рассуждений. Эго обстоятельство привело к

необходимости разработки особых методов исследования локальных формаций, связанных с понятием критической формации. Пусть-9 -произвольная непустая совокупность формаций, 5 - некоторый класс груш. Формации, принадлежащие 8, называются 8-формациями. .Минимальной не 5 9-формацией [12] или иначе gg-критической формацией [.7] называется всякая такая 8-формация $ и у которой все ее собственные 9-подформации в классе содержатся. Общая^- проблема изучений 5д-критических формаций была поставлена Л.А.Шеметковым на VI Всесоюзном симпозиуме по теории групп в 1980 году (см. [12]). Решение этой задачи в случае,когда 8 - класс всех локальных формаций было дано А.Н.Скибой (1993 г.). В работе [8] А.К. Скибой было начато изучение _е-критических формаций^- в случае, когда 8 - класс всех локальных наследственных, формаций. Им были описаны минимальные локальные наследственные несверхраз-решимые формации и минимальные локальные наследственные ненильпо-тентные формации. Кроме того, в этой работе было установлено следующее универсальное свойство формаций такого рода: если g g, где g - наследственная локальная, формация, а ~ произвольный класс групп, то в g имеется по крайне мере одна минимальная локальная наследственная не g-подформация. .

В данной диссертации, дополняя результаты работы [9] и существенно расширяя результаты работы А.Н.Скибы [8], дается полное решение отмеченной выше проблемы изучения 5д-критических формаций в случае, когда g - формация классического типа, а 9 - класс локальных лнормальш) наследственных формаций.

СМ^к^йй1^0.ЛШШ^Ш^іГШШ-ШЖШШйШ:хЛШШ^^ Диссертация выполнена в рамках госбюджетной темы Гомельского госуниверситета "Развитие формационных методов теории групп и других алгебраических систем", входящей в перечень важнейших исследований по Республике Беларусь. Диссертация была поддержана Международной Соросовской Программой образования в области точных наук.

Шль_и_задачи_исследования - построение общей теории мини-

4 мальных локальных нормально наследственных не й-формаций и минимальных локальных наследственных не -формаций. Для достижения такой цели в диссертации решены следующие задачи: дано описание минимальных локальных нормально наследственных не -формаций, доказана теорема о существовании минимальных локальных нормально наследственных не 5-формаций, дано описание минимальных локальных наследственных не 5-формаций, дано описание минимальных локальных нормально наследственных не g-формаций и минимальных локальных наследственных не 5-формаций для наиболее важных конкретных формаций классического типа &.

Нау_чная_новизна_полученшх_резу_льтат Все основные результаты диссертации являются новыми.

Ш^Ш:!^йЛШ^^.^к^ШЗ^ШШВШМі1ШЬ. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы -в исследованиях по теории классов групп, и при чтении спецкурсов, преподаваемых в госуниверситетах и пединститутах.

1. Описание минимальных локальных нормально наследственных не S-формаций.

2. Теорема о существовании минимальных локальных нормально наследственных не -формаций.

3. Описание минимальных локальных наследственных не 5-формаций.

4. Описание минимальных локальных нормально наследственных не -формаций и минимальных локальных наследственных не й-форма-ций для наиболее важных конкретных формаций классического типа .

Личный_вклад_сдискателя. g_ce основные результаты диссертации получены автором самостоятельно.

Апробация результатов диссертации. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры алгебры и геометрии Гомельского госуниБерситета,на Международной математической кон-ференции.посводенной 200-летию со дня рождения Н.М. Лобачевского (Минск,1992), на Международной математической конференции,посвя-

щенной 25-летию Гомельского госуниверситета(Гомель,1994),на Меж- , дународной конференции по алгебре и анализу, посвященной памяти Н.Г.Чеботарева (Казань, 1994),на Международной конференции по алгебре и кибернетике, посвященной памяти С.А. Чунихина (Гомель, 1995).

2Щб^гокованность_рез5[льтагдв_Л Все основные результаты диссертации опубликованы в 5 статьях [23,24,25,26,27], 2 препринтах [19,22], 6 тезисах конференций [15,16,17,18,20,21].

Стру_кту^а_и_объем_дассертацш_Л Диссертация состоит из пе- ⁽ речня-определений и условных обозначений, введения, общей харак- теристики работы,. четырех глав основной части, выводов и списки использованных источников, расположенных в алфавитном порядке в количестве 59 наименований. Объем ^іссертацки - 115 страйк".