Некоторые инварианты и дуальные пары представлений аффинных алгебр Ли и групп петель Рыбников, Григорий Леонидович

Введение к работе

Предмет исследования. В работе изучаются представления
аффинных алгебр Ли и групп петель, образующие дуальные пары, а
также их векторнш инварианты. ,

Цель исследования состоит в распространении классических результатов, относящихся к конечномерным группам и алгебрам Ли, па бесконечномерный случай.

Актуальность. Одним из основных методов в теории представлений является изучение алгебры сплетавши операторов в некотором естественном представлении изучаемой группы. В случае, когда эта алгебра порождена действием другой группы в том же пространстве и представление полупросто, мы имеем дело с дуальной парой представления двух групп.

ОбвэизБестным примером дуальной пары является левое и
правое действие конечной группы в групповой алгебре. Ешэ один
замечательный пример - V = У⁹", G_t = С1(Я), О, = S_n. представ
ление с/_г полной линейной группы в V является п-й тензорной
степенью тождественного представления, з симметрическая группа
S_n действует в V перестановками сомножителей. Возникающая
здесь связь между представлениями симметрической и полной ли
нейной групп была исследована еда И.Шуром около 1900 года и
премененз им к анализу представлений полной линейной группы.
Эти идеи были существенно использованы и в классической книге
Г.Вейля¹ . вышедией в 1939 году. :

Понятие векторного инварианта классической группы являет-

Веяль Г. Классические группы, их инварианты и представления. - М.: ИЛ. 1947.

г'

-г -

ся одним из основных в книге Вэиля. Под классической группой G мы понимаем полную линойную, симплектическую или ортогональную группу конечномерного пространства W над полем с, снабженного в двух последних случаях невырожденной билинейной формой, соответственно коеоскмкетрической или симметрической. Векторный инвариант - это С-ияваризнтныя полином от координат нескольких векторов х^е W (и нескольких ковекторов f^ ї" в случае G = <3L(W)). Явное описание векторных инвариантов образует базис для изложенной в книге Веяля теории представлений классических групп.

Теорию векторных инвариантов использовал и Р.Хау в серии работ о дуальных парах. Первая из них² вышла в виде препринта в 1976 году и оказала немалое влияние на развитие теории представления. Хау заметил, что знание векторных инвариантов обеспечивает единый подход к построению многочисленных дуэльных пар представлений классических групп. Он рассматривает (воос^е говоря бесконечномерное) пространство V, алгебра операторов в котором содержит в качестве всюду плотной подалгебры алгебру Веаля-Клиффорда прямой суммы нескольких экземпляров пространства ї (и 1* в случзе G = С1(Я)), с суперсимметричной билинейной формой. Поскольку алгебра Вейля-Клиффордз является'квантованием кольца судармногочленов, то G-инваризнтны в ней легко описать, пользуясь теоремой о векторных инвариантах. Явные формулы показывают, что соответствующие операторы в пространстве V возникают из действия алгебры Ли другой классической

²Howe R. Remarks on classical Invariant theory // Trans, of the AMS. 1989. 7.313. N2. p.539-570.

группы (или супергруппы). Если речь идет об алгебре Клиффорда суммы нескольких экземпляров пространств Ч и 1* и, соответственно» пространство 7 конечномерно» то этих рассуждения достаточно, чтобы установить наличие дуальноа пары. Случая бесконечномерного V сложнее³.

Среди бесконечномерных групп и алгебр Ли наиболее близки к конечномерным группы петель⁴ и аффинные алгебры Ли³. Понятие классической аффинной алгебры Ли было предложено Фэгнгольдом и Френкелем⁶. Там же для них построены представления, аналогичные спинорному представлению и представлению Веяля конечномерных ортогональной и симплектической групп. Частный случай -спипорнов представление ортогональной аффинной алгебры Ли -был получен ранее Френкелем⁷.

Отталкиваясь от (связанной со спиноряоя) вертексноа кон-

³Ноое R. Transcending classical Invariant theory // J. of the AMS. 19S9. v.2. N3. p.535-552.

⁴Пресслк Э.. Сигал Г. Группы петель. - М.: Мир, 1990. ^sKac V.G. Infinite dimensional Lie algebras (an introduction). - Progress In Math., v.44. Boston: Blrkhauser. 1934. ^elngold A.J.. Irenkel I.B. Classical afflne algebras // Adv. In math.. 1985. v.56. N2. p.117-172.

⁷Frenkel I.B. Two constructions of afflne Lie algebra representations and boson-fenalon correspondence In quantum field theory // J. Funct. Anal.. 1981. v.44. p.259-327.

_ 4 _

струкции представления аффинных алгебр Ли. Френкель⁸ построил горвыа пример дуальной пэры представления аффинных алгебр Ли типов А^¹³ и /^п. Дальнейшие примеры получены автором настоящей работы.. . - -

Научная новизна диссертации определяется Т8М, ЧТО Е НЄВ

впервые:

1. Получен список фермиопных дуальных пар представлениа классических групп петель и аффинных алгебр Ли.

2. Найдены образующие и соотношения колец векторных инвариантов групп CL

Практическая ценность работы. В диссертации рассматриваются теоретические вопросы. Результаты и конструкции диссертации могут кзяти применения как в теоретической физико. так и в дальнейших математических исследованиях аффинных алгебр Ли и .групп петель.

Апробация диссертации. Результаты диссертационной работы докладывались па 3 Всесоюзной школе по алгебрам Ли (Москва, 19S7), на семинаре по теории представления в университете города Билофельда (Германия) и на 'научно-исследовательских семинарах в МГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в (1-3).

^renkel I.B. Representations оГ alfine lie algebras. Kecke modular forms enfl Korteweg-de Vries type equations // Lecture Notes in Hath.. vC933. Sprlnger-Verlag. Berlin and Kes York. 1952- p.71-110.

объем и структура диссертации. Диссертация (65 стр., библиография 15 наименования) состоит из введения и трех глав. В пэрвой главе приведены необходимые предварительные сведения и построены фермионные дуальные пэры. Вторая и третья глзбы посвящены изучению векторных инвартіаитов соответственно групп Sp<2n.c[[t]l) и GLfti.ctttn).