Введение к работе
Актуальность темы. Исследование тождеств алгебраических систем — активно развивающаяся область современной алгебры. Тождества алгебры произвольной сигнатуры являются одним из немногих объектов, доступных всегда для изучения. Огромная роль алгебр Ли в современной математике потребовала, естественно, и изучения их многообразий, то есть классов алгебр, в которых выполняется заданный набор тождеств. Однако, как кажется, бедный язык тождеств оказался не таким уж бедным — их изучение потребовало изощеренной техники и и привело к весьма сложным проблемам. К примеру, лишь для небольшого числа многообразий алгебр Ли найден базис тождеств. Не найден базис тождеств алгебры Вптта Wi, важного объекта современной математики. Простота закона умножения в этой алгебре (напомним, что базис имеет вид e_i, ео, ei ,.. .и e,-ej=(j—t)e,-+J-) приводит к существенным сложностям при изучении ее тождеств. Так что любая информация о многообразии, порожденном алгеброй \\\ представляет значительный интерес. Кроме того, в многих случаях тождества появляются совершенно естественно и, соответственно, изучение структурных и иных свойств алгебр с тождествами также становится совершенно естественным.
Цель работы. Исследование тождеств алгебры Витта. Исследование в лиевом случае понятия устойчивого замыкания. Нахождение классов алгебр Ли, в которых конечномерность алгебры и нете-ровость ее универсальной обертывающей алгебры являются равносильными условиями.
Методы исследования. Применение теории представления симме-. трических групп к исследованию многообразий линейных алгебр. Комбинаторные приемы. Общие методы теории колец и модулей.
Достоверность результатов диссертации обосновывается приведенными доказательствами всех теорем и утверждений, выносимых на защиту.
Научная новизна. Получена иными методами информация о строении полилинейной части относительно свободной алгебры многообразия алгебр Ли, порожденного алгеброй Витта. Продемонстрирована для случая многообразий апгебр Ли техника, связанная с понятием устойчивого замыкания многообразия. Найдено приложение понятия тождества в другом направлении современной алгебры — показано, что конечномерность алгебры Ли, удовлетво-
>
ряющей системам тождеств некоторого вида, равносильна нетеро-БисТП её уйивёрсаЛьНОй ОберТЫВаЮЩей.
Теоретическая и практическая значимость. Научная значимость работы определяется тем, что получена новая информация об алгебре Витта — объекте, возникающем во многих областях современной математики. Продемонстрировано, что понятие устойчивого замыкания требует дальнейшего исследования. Реультаты об эквивалентности конечномерности алгебры Ли и нетеровости ее универсальной обертывающей показывают значимость понятия тождеств для других направлений современной алгебры.
На защиту выносятся следующие положения:
-
Получен критерий принадлежности идеалу тождеств алгебры Витта суммы изоморфных неприводимых модулей симметрической группы в пространстве полилинейных слов фиксированной степени.
-
Получено достаточное условие неприводимости гомоморфного образа суммы изоморфных неприводимых представлений симметрической группы в пространстве полшгинейпых слов фиксированной степени свободной алгебры Ли при канонической гомоморфизме в относительно свободную алгебру многообразия, порожденного алгеброй Витта.
-
Доказано, что устойчивое замыкание идеала тождеств алгебры Витта совпадает с устойчивым замыканием вербального пде-аиа, порожденного стандартным полиномом степени о и равно идеалу тождеств простой трехмерной алгебры Ли.
-
С помощью понятия устойчивого замыкания идеала, тождеств получено еще одно эквивалентное определение локальпо хоп-фовых многообразий алгебр Ли над полем нулевой характеристики.
-
Доказано, что конечномерность алгебры Ли пз некоторых классов равносильна нетеровости ее универсальной обертывающей алгебры.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на
научно-исследовательском семинаре кафедры высшей алгебры МГУ им. М.В.Ломоносова под руководством Кострикина А.И.
семинарах, проводимых кафедрой алгебро - геометрических вычислений Ульяновского госуииверситета
4 - 6 ежегодной научно-практической конференции Ульяновского госуниверситета (1995, 1996, 1997 гг.)
Личный вклад. Все основные результаты диссертации получены
автором лично.
Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 4 работах.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы го 47 наименований источников отечественных и зарубежных авторов. Общий объем — 64 страпицы.