Введение к работе
*
Актуальность темы. Диссертация посвящена изучению
квадратичных форм типа Лиувилля и типа А.Вейля, а именно-
проблеме конечности числа классов примитивных
положительных квадратичных форм типа Лиувилля, типа А.Вейля
и вопросам построения формул типа А.Вейля для количества
представлений натурального числа примитивными
положительными квадратичными формами.
Вопросы представления чисел квадратичными формами являются основными в общей теории квадратичных форм и их решение тесно связано с современной теорией модулярных форм, алгебраической геометрией, в частности, с гипотезой. А.Вейля, обобщенной гипотезой А.Вейля с подъемом в теории модулярных форм, с задачами построения базиса пространства параболических форм с помощью обобщенных тэта-рядов и эллиптических кривых. Им посвящены многочисленные работы математиков как СНГ, так и дальнего зарубежья.
Кратко остановимся на истории вопроса(более подробно с историей вопроса можно ознакомиться в монографиях и обзорах авторов Дж.Касселс [1982] , Р.А.Ранкина [1977] , БА Венкова [1937], А.В.Малышева [1974], О.М.Фоменко [1977]) . Многие годы математики (Гаусс, Якоби, Лиувилль, Кронекер, Морделл, Харди, Б.А.Венков, Ю.В.Линник, АЗ.Вальфиш, А. Н.Андрианов, Г.А.Ломадзе, О.М.Фоменко, Т.В.Вепхвадзе и другие) занимались получением формул для количества представлений натурального числа конкретными примитивными положительными квадратичными формами.
В 1966-1990 годах Когану Л.А., основываясь на результатах и идеях своих предшественников, удалось провести классификацию существующих различных формул и дать точные определения формул типа Якоби, типа Лиувилля, типа Булыгина-Морделла, типа А.Вейля, типа Клостермана для количества представлений чисел квадратичными формами. Эти определения дали возможность создать методы получения таких формул и доказать теоремы о конечности числа классов примитивных положительных квадратичных форм типа Якоби, типа Лиувилля и типа А.Вейля.
В предлагаемой диссертации некоторые из этих результатов ЛА.Когана о конечности числа классов примитивных положителных квадратичных форм типа Лиувилля и типа
АЗейля распространяются на примитивные положительные квадратичные формы д-типа Лиувилля и д-типа АВейля.
Цель работы. Целью работы являются доказательства теорем о конечности числа классов примитивных положительных квадратичных форм д-типа Лиувилля, д-типа А.Вейля и получение формул типа А.Вейля для количества представлений натурального числа примитивными положительными квадратичными формами.
Методика исследования. Доказательства основных результатов базируются на теории модулярных форм, эллиптических кривых, исследованиях И.М.Виноградова о распределении квадратичных невычетов, оценках сингулярного ряда Харди-Литтлвуда, результатах Дойринга о распределении нулей инварианта Хассе эллиптической кривой, теории подъема в теории квадратичных и модулярных форм.
Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты:
1. Доказана теорема о конечности числа классов
примитивных положительных квадратичных форм
t.hi п-четное с определителем
d= 2 аЛрХ, з bt(ia.odg)(i = 1,...,л) д-типа Лиувилля.
2. Доказана теорема о конечности числа классов
примитивных положительных квадратичных форм
п-нечетаоо, X, а ЬДтос1(г)(| = .1,....л)g-гапаЛиувилля.
3. Доїиіззікі теорема о конечности числа классов пріїмггпівішх палоглмтешїмх ішодгіг.ті'лпплг фори
0(xlrx2,x31x4) = ajx,x,, a„ = ap
x, a b, (mod g) (i = 1,2,3,4 ) д-типа А.Вейля в узком смысле.
4. Получены формулы типа А.Вейля для некоторых классов квадратичных форм с шестью и восемью переменными,
Все результаты диссертации являются новыми.
Резултаты 1., 2., 3. являются обобщением результатов ЛА.Когана о конечности числа классов примитивных положительных квадратичных форм типа Лиувилля и типа А.Вейля.
Результат 4. является развитием результатов АНАндрианова и ЛА.Когана.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер, её результаты могут быть использованы в дальнейшем для полного решения проблемы нахождения формул типа Лиувилля и типа А.Вейля.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на республиканской конференции "Теория чисел и её приложения" (Ташкент, 1990), на объединенном научно-исследовательском семинаре кафедр математического факультета ТГПИ им. Низами.на научно-исследовательских семинарах: отдела вычислительных методов Института математики имени В.И.Романовского АН РУ.и кафедры алгебры и теории чисел ТашГУ им. Мирзо Улугбека.
Публикация. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-Ю].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 9 параграфов, и библиографии. Работа содержит 93 страницы машинопцсного текста. Библиография включает 63 наименования.