О наследуемости холлова свойства $D_\pi$ подгруппами Манзаева Номина Чингизовна

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Предварительные результаты 15

1.1. Используемые обозначения и известные леммы 15

1.2. Известные результаты о холловых свойствах 20

1.3. Предварительные результаты о классах?4,К и Wn 26

Глава 2. Свойства классов Z4, К и Wn 28

2.1. Критерий принадлежности классам Ып, К и У^ 28

2.2. О включениях^ ^V.иV^W, 30

Глава 3. Знакопеременные и спорадические группы 33

3.1. Вспомогательные результаты 33

3.2. Основные результаты главы 34

Глава 4. Группы лиева типа. Случай р с тг 45

4.1. Известные результаты 45

4.2. Доказательство теоремы 4.2.1 46

Глава 5. Группы лиева типа. Случай 2 с тг, р ф тг 48

5.1. Вспомогательные результаты 48

5.2. Доказательство теоремы 5.2.1 53

Глава 6. Группы лиева типа. Случай 2,р ф тг 64

6.1. Известные результаты 64

6.2. Доказательство теоремы 6.2.1 70

Литература

• Известные результаты о холловых свойствах
• О включениях^ ^V.иV^W,
• Доказательство теоремы 4.2.1
• Доказательство теоремы 6.2.1

Введение к работе

Постановка задачи и актуальность темы диссертации.

В 1872 году норвежским математиком Л. Силовом [17] была доказана следующая теорема.

Теорема (Л. Силов). Пусть порядок конечной групыы G равен р^а-т, где чисоор простое, amо не делится нар. Тогда справедливы следующие утверждения.

{) Группa G содержтт по крайней мере одну подгруппу порядка р^а (тн.. силовскую jj-подгруппу).

(C) Любые две силовские р-подгруппы сопряжены.

(V) Всякая р-подгруппа групыы G содержится в некотойой сслов-ской р-подгруппе.

По мнению специалистов теорема Силова является краеугольным камнем теории конечных групп (см.. например, [4])) В рамках этой теории получение теорем силовского типа сформировалось в большое самостоятельное направление, берущее свое начало в работах Ф. Холла и С. А. Чунихина [7-10,12-14]. В 1928 году Ф. Холл предложил вместо силовских р-подгрупп рассматривать более общий объект — 5,г-подгруппы или, как их впоследствии стали называть, 7г-холловы подгруппы. Напомним определение. Пусть 7г — некоторое множество простых чисел. Через 7г' будем обозначать множество всех простых чисел, не лежащих в 7г, через 7г(те) — множество всех простых делителей натурального числа те, а для конечной группы G через 7r(G) — множество 7r(|G|). Натуральное число те, для которого 7г(те) С 7г, называется 7Г-ЧИСЛОМ, а группа G, для которой tt(G) С Т, называется 7г-группой. Подгруппа H группы G называется тг-холлово,, если H является тг-группой и 7r(\G : Н\) С тг'. Таким образом, если тг = {р}, то 7г-холлова подгруппа — это в точности силовская р-подгруппа. Также Ф. Холл [12] доказал полный аналог теоремы Силова для 7г-подгрупп в разрешимых конечных группах.

Теорема (Ф. Холл). Пусть конечная группа G разрешима. Тогда для любого множества тг простых числл справедливы следующие утверждения.

{) Группa G содержтт по крайней мере одну тг-холлову подгруппу.

(C) Любые две -к-холловы подгруппы сопряжены.

(V) Всякая тг-подгруппа групыы G содержится в некотойой тг-холлойой подгруппе.

Для неразрешимых групп теорема Холла неверна. Существуют множество 7г простых чисел и конечная группа G, для которых утвержде-

ния (), (С) или (D) теоремы Холла неверны. Так, знакопеременная группа А₅ не содержит {3, 5}-холловых подгрупп. Полная линейная группа GL₃2) обладает дпумя классами сопряжённых {2, 3}-холловых подгрупп. В группе А$ все {2, 3}-холловы подгруппы сопряжены и изоморфны группе Aц. При этом группа А% содержит подгруппу порядка 6, а в группе А^ нет подгрупп данного порядка.

В соответствии с утверждениями (), (С) и (V) теоремы Силова и теоремы Холла, в 1956 году Ф. Холл [14] ввёл следующие обозначения для конечных групп. Говорят, что группа G обладает свойством -_к, если в G имеется 7г-холлова подгруппа. Если при этом любые две 7г-холловы подгруппы сопряжены, то будем говорить, что группа G обладает, свойством Съ. Если, к тому же, любая тг-подгруппа группы G содержится в некоторой 7Г-ХОЛЛОВОЙ подгруппе, то будем говорить, что группа G обладает свойством 1\. Группу со свойством « (С 1\) называют также ^- (соответственно, С^-, Т>^-) группой. Для данного множества 7г обозначим через ^,С,и V_v классы всех _п-, С_ж- и IV групп соответственно. Таким образом, запись G Є V_v означает, что для 7г-подгрупп группы G справедлив полный аналог теоремы Силова. Во введенных обозначениях, мы получаем, что группа А₅ не принадлежит классу E{з,5}, группa GL₃(2) лежит в {2,з} \С{2,з}, а группа А₅ принадлежит [₂,з} \ ^{2,3}

В литературе изучался вопрос: всегда ли нормальная подгруппа Ря-группы обладает свойством Т>^. Он восходит к проблеме, впервые сформулированной X. Виландом [19] на XIII Международном математическом конгрессе в Эдинбурге в 1958 году: верно ли, что группа G обладает свойством Т>^ тогда и только тогда, когда этим свойством обладают факторы её некоторого нормального ряда. В частности, верно ли, что свойство Т>ъ наследуется нормальными подгруппами. Этот частный вопрос был также отмечен в работе Ф. Гросса [15] и записан в «Коуровскую тетрадь» [11] В. Д. Мазуровым как проблема 13.33. Положительный ответ на вопрос о наследуемости свойства 2\ нормальными подгруппами был получен Е. П. Вдовиным и Д. О. Ревиным в 2006 году в работе [16], где была доказана

Теорема (Е.П. Вдовин, Д.О. Ревин). (mod CFSG) [16, теорема 7.7] Пусть G — конечная группа, А ^ G и тг — некоторое множество простых чисел. Тогда G Є 2\ если и только если А Є 2\ и G/A Є 2\.

Данная теорема положительно решает упомянутую выше проблему Виланда и частный случай проблемы Виланда - проблему 13.33 из «Коуровской тетради». Таким образом, свойство Т>^ наследуется нормальными подгруппами.

Естественно возникает вопрос, какими ещё подгруппами, кроме нормальных, наследуется свойство Т>^. Этот вопрос является центральным в диссертации. Для того, чтобы сформулировать её результаты, следуя [1], определим следующие классы конечных групп.

Ы-к — класс всех Д-групп, в которых всякая надгруппа 7г-холловой подгруппы обладает свойством Д;

Vtt — класс всех Д-групп, в которых любая ^-подгруппа обладает свойством Д;

Wtt — класс всех конечных групп, в которых любая подгруппа обладает свойством Дг.

Данные обозначения появились в работах [1,6] и дают удобную терминологию для изучения общей проблемы: наследуется ли холло-во свойство Vn теми или иными типами подгрупп? Как объект исследования элементы классов V^ и И4- имеют давнюю историю. Группы из класса У\4- были впервые введены в рассмотрение X. Виландом [20]. Он предложил изучать группы, для которых верпа сильная ті -теорема Силова', для любых двух 7г-подгрупп A и В существует t (Е (А, В) такой, что {А, Б*) является 7г-группой. Легко показаТЬ, чТО G G Wtt ТОГДа и только тогда когда для группы G верна сильная 7г-теорема Силова. Изучение групп из класса 1Лг также восходит к Виланду. В частности его знаменитая теорема 1954 года 118] утверждает что для любой группы G обладающей нильпотентной V-холловой подгруппой, ВЫпОЛ-

/у /z "Ту ТТз эфаЙ ТЄоГ)емЬІ г'ттрп\,^гр'р -qr^Q дл^, т|ігч?чгч|4 ^д-,^.^|^ р^.^_г^^,^

справедливо даж^е более сильное утверждение, а именно G (Е "V Очевидно, имеет место следующая цепочка включений:

^3^DKDW,. (1)

Существуют множества -к простых чисел, для которых все включения в данной цепочке являются равенствами. Например, ввиду теоремы Силова это так, если 7г = {р\. Наша цель — исследовать вопрос о строгости каждого из включений (1) для произвольного множества 7г простых чисел и получить критерии принадлежности произвольной конечной группы каждому из классов Ы^, V^ и У\4-. Более точно, мы изучаем следующие вопросы.

1. Пусть Ж Є {W^, V_w, W^}. Верно ли, что группа G принадлежит классу Ж тогда и только тогда, когда классу 2 принадлежит каждый композиционный фактор группы G1

2. Верно ли, что для любого множества -к простых чисел

(а) К = W_w?

(б) Un = К?

(в) V_7I=U_7I?

3. Какие конечные простые Г^-группы принадлежат

(а) классу W_n1

(б) классу К1

(в) классу Z4?

Некоторые из эти вопросов оказываются переформулировками на языке обозначений Z4, К и УУ^ хорошо известных проблем. Так вопрос (в) из пункта 2 сформулирован в [1,3,6,11] в виде.

Проблема 1. ( [11, вопрос 17.44(6)]) Всегда ли в V^ -группе над-групаа тт-холлойой подгруппы является V^-группой?

Отметим, что аналогичная проблема 17.44(a) для С-групп положительно решена в [2,3]. Вопросы (а), (б) из пункта 3 являются эквивалентными формулировками следующей известной проблемы [1,6,11].

Проблема 2. ( [11, вопрос 17.43]) В каких конечных простых 2\-группах V_v-группой является

(а) любяя подгруппа?

(б) любяя подгруппа, обладающая Т-холлойои подгруппой?

Проблема 2(a) эквивалентна проблеме X.Виланда [20, открытый вопрос 9], поставленной в 1979 г. на знаменитой конференции по конечным группам в г. Санта-Круз: в каких известных простых группах верна сильная тг-теорема Силова!

Основные результаты диссертации.

1. Доказано (совместно с Е.П. Вдовиным и Д.О. Ревиным), что группа

G принадлежит 3 {Un, V^, И4-} тогда и только тогда, когда классу X принадлежит каждый композиционный фактор группы G.

2. Доказано (совместно с Е.П. Вдовиным и Д.О. Ревиным), что для лю
бого конечного множества -к нечётных простых чисел, содержащего
не менее двух элементов, включения Ы-к D Vtt и Vjt D Wnt строгие.

1. Доказано, что в знакопеременных Х>„.-группах свойством V_v обладает любая подгруппа, а в спорадических Р^-группах — любая ^-подгруппа. Также получена арифметическая характеризация спорадических групп, в которых любая подгруппа является V_v-группой. Тем самым для знакопеременных и спорадических групп решены проблемы 17.43(a) (проблема Виланда) и 17.43(6) из «Коуровской тетради».

2. Доказано (совместно с Е.П. Вдовиным и Д.О. Ревиным), что в Т>^-группах лиева типа над полем характеристики р, лежащей в 7г, свойством V-x обладает любая подгруппа, содержащая 7г-холлову подгруппу всей группы. Тем самым для групп лиева типа над полем характеристики р Є 7г доказана наследуемость свойства V_v надгруп-пами 7г-холловых подгрупп.

3. Для любого множества простых чисел 7г, содержащего 2, доказана наследуемость свойства V_v надгруппами 7г-холловых подгрупп. Более точно, если 2 є 7г, группа G обладает свойством Р,иЯ-7г-холлова подгруппа группы G, то любая подгруппа М группы G, содержащая Н, является Х^-группой. Тем самым частично решена проблема 17.44(6) из «Коуровской тетради» и в случае 2 є тт доказано равенство Ртг =Ы-_n. Поскольку все Р^-группы известны [5], для этого случая получено полное арифметическое описание групп из класса Ы^.

Результаты 1, 2 и 4 получены в неразделимом соавторстве с научными руководителями Е.П. Вдовиным и Д.О. Ревиным. Результаты 3 и 5 получены автором лично.

Отметим также, что в диссертации в качестве дополнения к основным результатам приведено положительное решение проблемы 17.44(6) из «Коуровской тетради» в случае, когда 2 -п. Т. е. в диссертации доказано, что для любого множества -к простых чисел если G Є Р_її и Н — 7г-холлова подгруппа группы G, то М Є V^ для любой подгруппы М группы G, содержащей Н. Тем самым проблема 17.44(6) из «Коуровской тетради» полностью решена, и для любого -к установлено равенство Ыъ = Djt. Данный результат также получен автором лично и опубликован в [31].

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [21-31]. При этом основные результаты диссертации опубликованы в [21-23] в изданиях, входящих в перечень ВАК рецензируемых научных журналов, в которых должны быть опубликованы основные результаты диссертаций на соискание учёных степеней доктора и кандидата

наук.

Новизна и научная значимость работы. Все результаты диссертации являются новыми.

Методы исследования. В работе используются теория конечных

простых групп, техника линейных алгебраических групп, строение и свойства групп лиева типа, классификация холловых подгрупп в простых группах, классификация простых 2\-групп.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на

50-й и 51-й Международной научной студенческой конференции «Студент и научный прогресс» (Новосибирск 2012, 2013), Международной конференции «Мальцевские чтения» (Новосибирск 2012, 2013), Международной конференции по алгебре и комбинаторике, посвященной 60-летию А.А. Махнёва (Екатеринбург, 2013), семинарах «Теория групп» и «Алгебра и логика» в Новосибирске.

Структура и объём диссертации. Диссертация изложена на 88 страницах, состоит из введения, 6 глав и списка литературы. Библиография содержит 56 наименования.

Известные результаты о холловых свойствах

Отметим также, что в диссертации в качестве дополнения к основным результатам приведено положительное решение проблемы 17.44(6) из «Коуров-ской тетради» в случае, когда 2 ф. тт. Т. е. в диссертации доказано, что для любого множества тт простых чисел если G є 2\ и Н — 7г-холлова подгруппа группы G, то М є Т п для любой подгруппы М группы G, содержащей Я. Тем самым проблема 17.44(6) из «Коуровской тетради» полностью решена, и для любого 7Г установлено равенство Ы = 2\. Данный результат также получен автором лично и опубликован в [56].

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [46-56]. При этом основные результаты диссертации опубликованы в [46-48] в изданиях, входящих в перечень ВАК рецензируемых научных журналов, в которых должны быть опубликованы основные результаты диссертаций на соискание учёных степеней доктора и кандидата наук.

Новизна и научная значимость работы. Все результаты диссертации являются новыми. Методы исследования. В работе используются теория конечных простых групп, техника линейных алгебраических групп, строение и свойства групп лиева типа, классификация холловых подгрупп в простых группах, классификация простых 2\-групn.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на 50-й и 51-й Международной научной студенческой конференции «Студент и научный прогресс» (Новосибирск 2012, 2013), Международной конференции «Мальцевские чтения» (Новосибирск 2012, 2013), Международной конференции по алгебра и комбинаторике, посвящённой 60-летию А.А. Махнёва (Екатеринбург, 2013), семинарах «Теория групп» и «Алгебра и логика» в Новосибирске. Структура и объём диссертации. Диссертация изложена на 88 страницах, состоит из введения, б глав и списка литературы. Главы подразделяются на параграфы. В начале некоторых глав приведены вспомогательные результаты, используемые лишь в этих главах. Все утверждения (теоремы, следствия, леммы) имеют тройную нумерацию: номер главы, номер параграфа в главе и номер утверждения в параграфе. Библиография содержит 56 наименования.

Содержание диссертации

Глава 1. В данной главе даны основные необходимые определения и предварительные результаты. Приведен список используемых обозначений. Представлены известные утверждения о холловых свойствах тг, Ст,- и 2\. Даны предварительные сведения о классахU Vn и УЦ,-.

Тем самым исследование классов , Vn и У\4 полностью сведено к изучению простых Дг-групп. В главе 2 доказано также следующее важное утверждение, сводящее вопрос о равенстве классов Т п и Ы к простым группам. Теорема 2.1.4. Для множества 7Г простых чисел следующие утверждения эквивалентны: (1) 2\ = Ып; (2) в любой простой V -группе все максимальеые подгруппы, содержаш,ие тг-холлову подгруппу всей группы, обладают свойством 2\. Во втором параграфе данной главы доказана следующая Теорема 2.2.2. Пусть 7Г — некоторое конечное множество нечётных простых чисел такое, что \тг 2. Тогда имеют место следующие утверждения. (1) ДДК Ф 0; (2) VAW Ф 0. С учётом теоремы 6.2.2 (см. ниже) теорема 2.2.2 даёт примеры множеств 7Г простых чисел, для которых включения 1Аъ = VTT и VTT =2 У\4 являются строгими. Так, для 7Г = {3,5} из доказательства теоремы 2.2.2 следует, что PSLs(121) е Z4\К и PSL2(16) е УДУ г.

Результаты главы опубликованы в [46,48].

Оставшиеся главы диссертации посвящены изучению простых Р -групп и их максимальных подгрупп и имеют общей целью, прежде всего, доказательство равенства 4- = 2\ с помощью теоремы 2.1.4. Это изучение представляется также важным в свете проблемы 2 (см. выше). Глава 3. В третьей главе рассматривается случай знакопеременных и спорадических Дг-групп. Основными результатами главы являются следующие утверждения.

О включениях^ ^V.иV^W,

Теорема 2.1.1. Пусть 7Г — некотоеое множтство простых чисел, X е {U , VTT, У\4}. Пусть Y — класс конечных групп, замкнутый относительоо нормальных подгрупп и гомоморфных образов. Предположим, что любая простая групаа из Y хDn принадлежит SC. Тогда Y х сX.

Допустим, что утверждение теоремы неверно. Пусть G е & слn) — контрпример наименьшего порядка. Из условия теоремы следует, что группа G непроста. Пусть К собственная нетривиальная нормальная подгруппа группы G. Пусть : G — G/K естественный эпиморфизм. Поскольку G е VnП по лемме 1.2.6 группы G и K также обладают свойством 2\. В силу замкнутости класса относительно нормальных подгрупп и гомоморфных образов G и K принадлежат классу Y. Так как G — контрпример наименьшего порядка, то для G K К утверждение нашей теоремы верно, то есть G,K е X.

Рассмотрим сначала случаи, когда X = U,. Пусть H - тг-холлова подгруппа группы G. Так как G RЫ существует подгруппа М группы G, содержащая подгруппу H и не обладающая свойством Т п. По лемме 1.2.1 подгруппа Я является 7Г-ХОЛЛОВОЙ подгруппой группы G. Поскольку для группы G утверждение теоремы верно и H М G, имеем М е Т ъ. Кроме того, H х K — 7г-холлова подгруппа группы K по лемме 1.2.1. Имеем H х K М слK K, откуда, как и выше, получаем М х K е Vn. Таким образом, группа М содержит нормальную Р -группу М х K и М/(М х К) » М е Т)п.

Предположим, что X = К. Пусть М -подгруппа группы G. не обладающая свойством Дг. Имеем G є К, М G и є 5, но лемме 1.2.1, следовательно, М є Д. Далее, К eV ., МглК KиМглКє но лемме 1.2.1, значит, MnK eV . Поскольку Ж М/(М п ІГ), из леммы 1.2.6, как и выше, следует, что М є Т ъ Теперь рассмотрим случай X = Wn. Путчь М G. Так как G - контрпример наименьшего порядка, получаем, что группы М GиMслК К обладают свойством Р п. И вновь, по лемме 1.2.6 получаем, что М є Vn.

Следствие 2.1.2. Пусть 7Г — некоторое множество простых чисел, X Е {Ы.Ж} Утг, УУтг}. Тогда Gel" если и только если каждый композиционный фактор группы G принадлежит классу Ж. Следствие 2.1.3. Класс В содержатся в классе Wn. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть G — конечная группа и для неё выполняет ся TT(G) С: 7Г ИЛИ 7Г n TT(G)\ 1. Ясно, что тогда группа G принадлежит классу У - Таким образом, следствие 2.1.2 влечёт, что Вп с Wn. \j С помощью теоремы 2.1.1 удаётся получить следующий критерий равенства классов Ртг и УУтг. Теорема 2.1.4. Длл множества 7Г простых чисел следующие утверждения эквивалентны: (1) Vn=Un; (2) в любой простой V -группе все максимальные подгруппы, содержащие тг-холлову подгруппу всей группы, обладают свойством Д. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Импликация (1) = (2) очевидна. Докажем импликацию (2) = (1). Допустим, Т п ф Ып и G — группа наименьшего порядка, обладающая свойством 2\ и не принадлежащая классу Ы . В силу теоремы 2.1.1, можно считать, что G — простая Д-группа. Пусть Н — 7г-холлова 2.2. О включениях Z4 К и К Ж- 30 подгруппа группы G. Тогда любая максимальная подгруппа группы G, со держащая H, обладает свойством 2\. Ввиду минимальности группы G, все максимальные подгруппы группы G, содержащие H, принадлежат классу . Тогда по лемме 1.3.2 группа G лежит в классе Ы . Противоречие. 2.2. О включениях 4 К и К Ж Далее в данном параграфе нам понадобится следующая лемма.

Лемма 2.2.1. [27, теорема 3.2, теорема 3.3 и её доказательство] Пусть 7Г — конечное множество нечётных простых чисел, содержащее по крайней мере два различных простых числа. Положим г — наименьшее простое число из ТТ. Тогда существует простое число р ф г такое, что справедливы следующие утверждения. (1) Любое простое число из тг\{г} делит р -1, в частности, любое число из ТІ делит \GLr(p)\; (2) GLr(p) обладает свойством Сп; (3) GLr(p) содержит тг-подгруппу, которая неизоморфна никакой подгруппе 7Г-холловой подгруппы группы GLr(p). В частности, GLr(p) ф 2\. Критерии, аналогичные теореме 2.1.4, можно сформулировать сов VTT И УУТГ, НО как показывает следующая теорема, Vn ф Vn и, следовательно, Vn Ф W . Теорема 2.2.2. Пусть 7Г — некоторое конечное множество нечётных простых чисел такое, что тг 22 Тогда имеют место следующие утверждения. (1) ДДК Ф 0; (2) УДУ Ф 0. 2.2. О включениях Z4 К и К Ж ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. (1) Пусть г — наименьшее простое число из 7г и г = тг\{г}. Предположим, что р -простое число из леммы 2.2.1. Тогда GLr{p) Е СДД по лемме 2.2.1. Рассмотрим группу GL -_). Очевидно, группа GLr(p) вкладывается в GL "1). Покажем, что GU(pr 1) є Д. Дей ствительно, из леммы 1.2.7 следует, что GLr(pr_1) є 2\ тогда и только тогда, когда Ar_1if-1) є Vn- Ввиду малой теоремы Ферма рг 1 = 1 (mod г). Из леммы 2.2.1 следует, что р = 1 (mod ) для любого t Е Т. Таким образом, справедливо равенство для любого t Е т. Кроме того, для любого йзтв силу выбора г имеем t г. Тогда для иары (Д._і(рг_1), тг) выполнено условие V леммы 1.2.8. Отсюда группа GLr(pr -1) обладает свойством Т п, в то время как её -подгруппа GLr(p) не обладает свойством Т п. Таким образом, GL -1) є ДК.

(2) Пусть тг = {п,..., rs}. Положим к = п- ... rs-L и m = rs. Так как gcd(k,m) = 1, существуют числа щ,v0 Е Z такие, что справедливо равенство щk + v0m = 2. Обозначим для п Е N через ап число сц + Ьтг(п - 1)) где a1 = 1 - МоА;. Числа an образуют арифметическую прогрессию с первым членом а\ и разностью km. Очевидно, что gcd(ab к) = 1. Так как 1 - щк = v0m - 1, получаем, что gcd(abm) = 1. Таким образом, gcd(aukm) = 1. По теореме Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии существует степень q простого числа такая, что q = а\ + kml. Заметим, что к делит q — 1 и m делит q+1. Рассмотрим группу PSL2(q2). Поскольку km делит q2 - 1, мы получаем, что тг n Tr(PSL2(q2)) Q 7r(q2 - 1). Следовательно тг-холлова подгруппа группы PSL2(g2) содержится в группе диагональных матриц и является абелевой. По лемме 1.2.5 группа PSL2(q2) обладает свойством Vn. По этой же лемме всякая -подгруппа группы PSL2(q2) является Д-группой, и значит PSL2(q2) Е Vn. С другой стороны, в группу PSL2(g2) естественным образом вкладывается группа PSL2(g), которая не обладает свойством 8 , как

Как будет видно из теоремы 6.2.2, имеет место равенство Ы = Т ж для любого множества 7Г простых чисел. Поэтому пункт (1) теоремы 2.2.2 показывает, что существует множество 7Г. для которого включение Un = Vyr строгое. Пусть, например, 7Г = {3,5}. Как видно из доказательства пункта (1) теоремы 2.2.2, группа G = PSL3(112) обладает свойством {3;5}. Следовательно, по теореме 6.2.2 группа G лежит в классе {з,5}- С другой стороны, подгруппа М = PSL3(11) группы G обладает свойством {3;5}, но не обладает свойством {3,5}- Таким образом, PSL3(112) є Ц3,5}\%5}. Из доказательства пункта (2) теоремы 2.2.2 следует, что группа G = PSL2(42) принадлежит классу V/3;5}- В то же время подгруппа М = PSL2(4) А$ группы G не обладает свойством Е ъ} и, следовательно, свойством {3,5}- Таким образом, PSL2(42)GV{3,5}\WR5}. Глава 3. Знакопеременные и спорадические группы

Доказательство теоремы 4.2.1

Теорема 5.2.1. Пусть G простая группа лиева типа над полем Fq характеристики р, тг — некоторое множество простых чисел такое, что 2 є тг, pi тг. Предположим, чтоС є Vn и Я тг-холлова подгруппа группы G. Тогда любая максимальная подгруппа М группы G, содержащая Н, обладает свойством 2\.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу условия 2 є тг, леммы 1.2.9 и следствия 2.1.3 можно считать, что 3 ф тг. Пусть G — простая группа лиева типа L(q). Поскольку G Е 2\, группa G удовлетворяет условию VII леммы 1.2.8. Положим г = (тгптг(С))\{2}, ср — множество простых чисел Ферма, принадлежащих г, и г = e(q). Докажем, что М є 2\. Для этого, ввиду леммы 1.2.7, достаточно понять, что все композиционные факторы группы М обладают свойством Т п. Поскольку 2 є 7Г, подгруппа М в G имеет нечётный индекс. Все максимальные подгруппы нечётного индекса в конечных простых группах лиева типа известны (см. [7,32,33]). Поскольку G — группа лиева типа над полем характеристики р ф 2, подгруппа М удовлетворяет одному из утверждений [33, основная теорема, пункт (Ь)(Ш)(В)]. Рассмотрим последовательно

Доказательство теоремы 5.2.1 все возможные случаи.

Пусть М = Ыс{Сс{ф)), где ф полевой автоморфизм группы G нечётного простого порядка. Тогда единственный неабелев композиционный фактор группы М изоморфен группе лиева типа L(q0) над полем Fqo, где q = q0 и с нечётное простое число. Так как Н M, подгруппа М обладает свойством „. Таким образом, по лемме 1.2.1 группа L(q0) также обладает свойством 8п7 и для неё выполняются условия леммы 5.1.2. Положим то = (я- n ir(L(qo)))\{2}, р0 - множество простых чисел Ферма из то и е0 = e(q0). Покажем, что группа L(q0) не может удовлетворять пункту (2) леммы 5.1.2. Если G = 2G2(q), то по условию VII леммы 1.2.8 получаем, что 7 ф т. Из включения т0 = ъ следует, что 7 то. Таким образом, группа L(q0) удовлетворяет пункту (1) леммы 5.1.2 и го Q 7r(q0 - го). Так как т0 Q г, и о , для группы L(g0) справедливо условие VII леммы 1.2.8 и, следовательно, L(q0) Е Т п. Таким образом, далее можно считать, что максимальная подгруппа нечётного индекса не является централизатором полевого автоморфизма, то есть не удовлетворяет условию [33, основная теорема, пункт (b)(III)(B)(i)J.

Пусть G — простая классическая группа. Тогда имеет место один из следующих случаев: Случай (1): G = PSI g). В соответствии с пунктами (2)) (3)) (6)) (7)) (11) - (20) леммы 5.1.1 и таблицами 3.5.А и 3.5.В из [32], если подгруппа М является максимальной подгруппой нечётного индекса в G, то выполняется одно из следующих утверждений:

В случаях (а)-(г) неабелевыми композиционными факторами подгруппы М являются PSLm(q), PSLvn-m(q)} PSLn-2m(g) и Ad. Так как G P 2\, группы PSLm(q), PSL _m((g) и PSLn-2m(g) обладают свойством 2\ по лемме 5.1.3. Рассмотрим группу Ad. Ввиду того, что G є 2\, для любого ser выполняется s п по условию VII леммы 1.2.8. Таким образом, тг П7г(Дг) = {2} и группа Ad обладает свойством 2\ по теореме Силова.

Рассмотрим случай (д), где М » PGL2(g0) и q = qi Так как М є п, подгруппа М обладает свойством Т п по лемме 5.1.4. В случаях (е), (ж) и (и) подгруппа М разрешима и обладает свойством Т п по теореме Холла. Рассмотрим случай (з), где М А5 и, следовательно, тг(М) = {2,3,5}. Если 5 R тг, то тг п 7г(М) = {2} и подгруппа М обладает свойством 2\ по теореме Силова. Если 5 P тг. то M R ..Действительно, если бы группа М Доказательство теоремы 5.2.1 содержала {2, 5}-холлову подгруппу N, то индекс \М : N был бы равен 33 , то время как группа М не содержит подгрупп индекса 3. Рассмотрим случай (к), где G = PSU3(5) и М М10. Так как GeD, и є(5) = 1, из условия VII леммы 1.2.8 получаем тг п тг(С) = {2}. Таким образом, тг п 7г(М) = {2} и подгруппа М обладает свойством Vn по теореме Силова. Рассмотрим случай (л), где G = PSL4(q) и М » 24 . А6. Так как GGD,, условие VII леммы 1.2.8 влечёт, что для любого t є tp выполняется t 5, то есть 5 R тг п тг(С). Следовательно, тг п тг(Л) = {2} и труппа А6 обладает свойством 2\ по теореме Силова.

И, наконец, рассмотрим случай (м), где G = PSL4(g) и М » PSp4(q) .2. Пусть n = (7rn7r(PSp4)g)))\{2} и і- множество простых чисел Ферма изть Так как G є Р , по условию VII леммы 1.2.8 получаем, что т Q тг(д — є), для любого SET выполняется s 4, и для любого t є (р справедливо t 5. Поскольку ті3ти с , группa PSp4(q) обладает свойством 2\ по условию VII леммы 1.2.8.

Так как G є 2\, группы PSpTO(g), PSpnO(g) обладают свойством 2\ ио лемме 5.1.3. По условию VII леммы 1.2.8 для любого SET выполняется s п/2 d. Таким образом, в случае (б) имеем тг п ir{Sd) = {2}, и группа Sd обладает свойством Vn по теореме Силова. Также в случае (в) по условию VII леммы 1.2.8 для любого t є (р выполняется t 5. Следовательно, тг п 7г(Л) = {2} и труппа А5 обладает свойством Vn по теореме Силова.

5.2. Доказательство теоремы 5.2.1 Случаи (3): G = PП6п(д). В соответствии с пунктами (4)) (5)) (9)) (10)) (22)) (23) леммы 5.1.1 и таблицами 3.5.D, 3.5.Е и 3.5.F из [32], если подгруппа М является максимальной подгруппой нечётного индекса в G, то выполняется одно из следующих утверждений:

Доказательство теоремы 6.2.1

Предположим, что G — исключительная группа. Максимальные подгруппы в исключительных группах лиева типа известны (см. [36] и леммы 6.1.5, 6.1.6). Пусть G изоморфна одной из групп 2B2(q)7 2G2(q) или 2FA(q). Стоение 7Г-ХОЛЛОВОЙ подгруппы Я группы G известно (см. [1, лемма 14]). Если группа G изоморфна 2B2(q) или 2G2(q), то 7г-холлова подгруппа Я группы G абелева. Тогда М є Vn по лемме 1.2.5. Пусть G 2F4(q), где q = 22m+1. Если 3 ф 7Г, то группа Я абелева. Пусть 3 є тг, то есть г = 3. Рассмотрим максимальные подгруппы М группы G, у которых есть композиционный фактор S, изоморфный PSL fe). Из леммы 6.1.6 следует, что группа S изоморфна PSL2(q) или PSU3(g). Пуств S PSL({q). Как было замечено выше, если PSLn-(gi) є E XD-K-, то группа PSLn-(gi) удовлетворяет условию (2.2)(а) леммы 6.1.2. Тогда справедливы неравенства г2 щ (г - I)2. Так как г 2, группa S PSL2(q) не может удовлетворять данному условию. Таким образом, S Е 2\. Предположим теперь, что S PSU3(g) S Е Д2\. Так как г = 3, группа S удовлетворяет условию (2.2)(в) леммы 6.1.2. Тогда e(q,S) = 1, то невозможно, так как 22m+1 ф 1 (mod 3). Таким образом, S =, PSU3(g) є Д,

Предположим, что группа G не является группой Судзуки или Ри. Так как G Е Т п, группa G удовлетворяет условию V леммы 1.2.8. Рассмотрим максимальные подгруппы М группы G, у которых есть композиционный фактор S, изоморфный PSL fe). Если qx = q, то по условию V леммы 1.2.8 для любого t Е т выполняется e(q,i) = e(q,r), в частности это верно для любого ten. Так как любая тг-подгруппа группы S обладает нормальной абелевой т-холловой подгруппой, получаем S Е Vn по лемме 6.1.4. Таким образом, если у группы М не существует композиционных факторов, изоморфных PSL i) при qx ф q, то группа М обладает свойством Vn.

Доказательство теоремы 6.2.1 Пусть подгруппа М удовлетворяет пункту (1) леммы 6.1.5, то есть М — параболическая подгруппа. Тогда композиционные факторы группы М являются группами лиева типа над полем Fq и, следовательно, MeDf.

Пусть подгруппа М удовлетворяет пункту (2) леммы 6.1.5, то есть М — редуктивная подгруппа максимального ранга. Тогда композиционными факторами группы М являются группы лиева типа над полем Fq«. В силу [1, леммы 7-13] для группы G выполняется одно из следующих утверждений:

В первом случае группа М обладает свойством Т п по лемме 1.2.5. Во втором случае для любого композиционного фактора S группы М 7Г n TT(S) Q ir(qu ± 1), то есть e{qu7r) = e{qu7t) для любого t є ть Таким образом, S Е Т п по лемме 6.1.4.

Пусть подгруппа М удовлетворяет одному из пунктов (3)-(6) или (8) леммы 6.1.5. Тогда у группы М не существует композиционных факторов, изоморфных PSL gi), где qi ф q. Таким образом, М є Vn.

Пусть подгруппа М удовлетворяет пункту (7) леммы 0.1.,, то есть М — экзотическая локальная подгруппа. Тогда композиционный фактор S группы М изоморфен одной из групп PSL3(2), PSL3(3), PSL3(5), PSL5(2). Заметим, что не существует t є т\ такого, что e(qi,i) = 1. Таким образом, группа S не удовлетворяет условию (2.2)(а) леммы 6.1.2. Значит, S є Т п.

И, наконец, если подгруппа М удовлетворяет пунктам (9)-(10) леммы 6.1.5, то группа М является почти простой, и было доказано, чтоМбР,. Главным результатом диссертации является следующая теорема. Теорема 6.2.2. Пусть 7Г — некоторое множество простых чисел и группа G обладает свойством Vn. Предположим, что Н тг-холлова подгруппа группы G. Тогда любая подгруппа М группы G, содержащая Н, является V -группои. Другими словами 2\ = Ып. 6.2. Доказательство теоремы 6.2.1 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу теоремы 2.1.4 достаточно доказать, что в лю бой простой Д-группе все максимальные подгруппы, содержащие 7г-холлову подгруппу всей группы, обладают свойством Т п. Это верно для Д-груnn лиева типа над полем характеристики р ф. 7Г ввиду теорем 5.2.1 и 6.2.1. Из теоремы 3.2.1, 3.2.2, 4.2.1 следует, что знакопеременные, спорадические Т группы и Д-группы лиева типа над полем характеристики р є тт принадле жат классу Ы . Таким образом, в этих группах любая подгруппа, содержащая 7г-холлову подгруппу всей группы, обладает свойством Дг.

Похожие диссертации на О наследуемости холлова свойства $D_\pi$ подгруппами

Свойства вербальных подгрупп, автоморфизмы и линейные представления некоторых групп преобразованийБардаков Валерий Георгиевич

О свойстве магнуса и конечных подгруппах гиперболических группСвиридов, Константин Сергеевич

Аппроксимационные свойства свободных произведений групп с коммутирующими и централизованными подгруппамиЛогинова Елена Давидовна

Строение и свойства глубоких акцепторных центров, создаваемых элементами подгруппы меди в GaAsЦацульников, Андрей Федорович

Влияние сильного s-d обмена на физические свойства манганитов и хромовых халькошпинелейАбрамович Анна Ивановна

Влияние магнитного поля и диссипативного туннелирования на оптические свойства квантовых точек с D--центрамиКалинина, Алла Владимировна

Анизотропный f-d -обмен и магнитные свойства ортоферрита и ортохромита гадолиния Белов Дмитрий Владимирович

Теоретические модели S-d гибридизации и аномалии кинетических свойств неупорядоченных системХалилов, Ибрагим Халилович

Влияние вибронных взаимодействий на структуру, магнитные свойства и процессы образования комплексов примесных d-ионов в кристаллах типа флюорита Уланов Владимир Андреевич

Определение структуры, свойств и спектральных характеристик циклогексанола, метил--D-глюкопиранозида и бегеновой кислоты методами молекулярного моделированияМоисейкина, Елена Александровна