Введение к работе
Актуальность темы. Пусть -к- г a- Gr(f ) - поле Га-
луа из <\ - р элементов, р - с/,лг % - характеристика поля
A t М - мультипликативная полугруппа нормированных много
членов из -v, С х] , Af „ - множество многочленов f М > сте
пень с/«| (f ) которых равна Я . Хорошо известна принад
лежащая Гауссу классическая формула для числа N а п норми -
рованннх неприводимых многочленов степени ч Ь 1 над К :
где Л (и) - функция Мёбиуса, Большое число работ посвящено оценке числа неприводимых в f хЗ многочленов с телят или иными ограничениями на коэффициенты многочлена (обширную библиографию по этому вопросу можно найти в [I] ). Один из возмож -ных типов ограничений состоит в том, чтобы некоторые из ко эф -фициентов t- ,.., ti неприводимого многочлена
'К
1-І
f(x)= ^+^и+„/С,^4 Мп (2)
имели фиксированные значения йь- t ..., &; 6'г. , в то время как остальные коэффициенты принимают произвольные значения в К.
В частности, ряд работ группируется вокруг гипотезы Човла [2] і о том, что число неприводимых Мое/ Р многочленов вида
и +x+f ( t Є Fp ) имеет асимптотику - р при Р-*оо
(гипотеза Човла почти полностью подтверждена Р.Ри [з] , дока-каэательство которого основывается на теореме Бёрча и Суиннер -тон-Дайера [4] о том, что группа Галуа многочлена х + x+t над полем рациональных функций у, (t) является при Р J( 2и (и-і) симметрической группой 5ц В этом случае
Ри показал, что число неприводимых "многочленов Човлы". равно — 9+0(9'*) «7е/5 » частные результаты по проблеме содержатся в [5] , [б] ).
Д.Хэйс [?] дал оценку для числа неприводимых многочленов (2), у которых фиксированы первые s коэффициентов а1}.,.,Л$
и последние t коэффициентов. Наиболее общий результат в этом
направлении получен С.Коэном [8] , который установил, что для
любого набора фиксированных коэффициентов t- ,..., tc в
(2) (при условиях th ф О , р >п и f(x) 4 I Г*л J Для фиксированного А > 1 ) число неприводимых многочленов этого
вида имеет асимптотику -~ у + О (о л'т" yi ) ('о -*. оо ) , рассмотрев одновременно аналогичный вопрос для числа многочленов из М , разложение которых на неприводимые множители над | = F~ содержит 'Xi множителей 1-й степени, А2 множителей
степени 2 и т.д., 2! к А = п Результат С.Коэна означает, что эта асимптотика, грубо говоря, не зависит от значений
01 ї( >., Д; . так что неприводимые многочлены в М^ (как и
многочлены с другими наборами А, 7 Xz , . ч, ) распределены в определенном смысле равномерно по значениям своих фиксированных коэффициентов. Другим методом подобные результаты получил С.А. Степанов [ 9 ] .
Отметим прикладное значение этих вопросов. Как известно,
неприводимые многочлены над конечным полем применяются для не
линейного кодирования сообщений. Чем больше число перестановоч
ных (т.е. задающих перестановку поля F. ) многочленов при за
данной емкости кода, тем сложнее задача дешифровки. В связи с
этим приобретает особое значение проблема оценки числа непри
водимых mod о многочленов, коэффициенты которых находят
ся в фиксированном интервале длины к << р . Однако эта про
блема выходит за рамки настоящей диссертации.
Известно сравнительно мало случаев, когда удается установить точную формулу (т.е. алгебраическое выражение типа (I) через известные функции) для числа неприводимых многочленов
/ Л|„ специального вида. Ряд таких случаев указан в [ю] (см. также [її] ,[l2]). Например, С.И.Гельфэнд [13] исследовал вопрос о числе неприводимых многочленов 3-й степени над F, , коэффициенты которых удовлетворяют фиксированному линейному соотношению..
Одной из интереснейших проблем, на стыке алгебры (теории конечных полей) и теории чисел, является вопрос о нахождении числа Нп(л,,...,01^) неприводимых в $х] многочленов (2), у которых первые т коэффициентов имеют фиксированные значения tc - (\, е % ("«.' = I,,. »*i ) ; по определению считается, что а^ - О при ш > п .В простейшем случае m=i
эта проблема была решена Л.Карлицем [14] (см. также fio] ),' а для «i=2 - Е.Н.Кузьминым [II] . Частный случай этой проблемы .при т = 3 рассмотрен в [12] . При малых п к решению проблемы применим элементаршй метод Д.Ватсона tl5] , который позволяет решить и более тонкую проблему об определении числа многочленов из Мп > имэидих тот или иной тил разложения на неприводимые множители. Однако возможности этого метода ограничены, так как с ростом 1 быстро растет число типов разложения многочленов f (х) М .
Другой подход к проблема предложен Д.Хэйсом [7] . Определим, следуя Хэйсу, на полугруппе Л| конгруэнцию дт .полагая f в 9 (мое/ 9т ) і если первые *г\ коэффициентов «,, ... , лт многочлена f (х) совпадают с первыми **\ коэффициентами 9 (х) (считается, что <л0 = і и Qm -О і если
*ч >i = diet (f) ). Тогда фактор-полугруппа М/в^ является абелевой р -группой G„, порядка ^ *" , элементы которой могут быть представлены как .упорядоченные т -наборы
(fti>---,^m) элементов поля к С характерами к группы Ст
обычным образом связывается L -функция L (z, t ) комплексного переменного Z (см., например, [і] ), которая для нетривиального характера у (* ф у \ является многочленом степени $ m~i и может быть представлена в виде
^,/) = (1 + ^2,)...(1+^.,2,), (3)
где oot. = со. (ус)е С (Если /=jf0 , то і (z,f) = (l-<}Z) ).
- 7 -Исследование этой функции позволяет получить оценку для числа '
Н (4,,...,4^ ) или Дажз получить для него точную формулу в
виде функции от <7 , которая, в частности, может оказаться
многочленом со старшим членом ~ ч (в соответствии с
упомянутым результатом С.Коэна). Этот подход оказался эффек -тивным в случае ж = 2 fll] , когда L (z,k) принимает вид
L (z,f ) - і + ь) z . Отметим, например, что, как показано в [іі] ,_если скат. ( = ^>2 и й ? ^*= ^ \{о| , то
н« (0>'а)= і }{п ^а) s»/ »/<(), (4)
где /*(н) - функция Мёбиуса и о (а, и) при (ptn)-i определяется формулой
а при P |ц - формулой
где vj - квадратичный характер поля X .
Для сравнения, из результатов Л.Карлица следует, что при
<ХФО число Ип (л) не зависит от « и дается формулой
//.«). ^" Г rU)fv*. «>
с/ In
В Гіі] показано, что величина со - uj (jc) в формуле L (z, х ) = 1 г ч)(х) г дая льобого нетривиального характера у. группы Gm либо равна 0, либо удовлетворяет равенству
led j =
зу (см. (20] ), что для любого т > і и любого характера
< 4 f0 ненулевые величины <л>. в равенстве L (z, jc ) = - /7(1+to. z) также обладают свойством /«;, ( = оуі , точный аналог известной гипотезы Римана - Вейля для алгебраичес -ких многообразий, доказанной П.Делинем [іб] . Частичным подтверждением гипотезы Кузьмина явились результаты, получен -нне автором в [2о] .
Цель работы состоит в изучении функции [_ (z, jc) при м >2,
в частности, проверке гипотезы Е.Н.Кузьмина, а также исследовании строения группы G^ , инвариантном описании ее однородных
степени | компонент при стандартной реализации Gm как алгебраической группы на аффинном пространстве ""
Общая методика исследований. В работе используются методы теории чисел, теории конечных полей, а таете теории групп и теории симметрических многочленов (в главе об алгебраическом строении группы Ст при произвольном т ).
Научная новизна. Все основные результаты диссертации явля-
ютея новыми. \
Практическая ценность. Результаты и метода диссертации дают вклад в теорию неприводимых многочленов над конечным полем F. . Они могут быть использованы в дальнейших исследо -ваниях специальных классов неприводимых многочленов над /% , а также лри чтении спецкурсов по данной проблематике. Помимо этого, результаты и методы гл. 2 дают определенный вклад в теорию симметрических многочленов над полями простой характеристики.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре "Алгебра и логика" лри Новосибирском государственном университете, на семинаре "Теория колец" им. А.И.Ширшова при Институте математики Сиб. отд. РАН, на семинаре отдела алгебры Института теоретической и прикладной математики Нацио -нальяой Академии наук Республики Казахстан.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [і?] - [20J .
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и библиографии.