Электронная библиотека диссертаций и авторефератов России
dslib.net
Библиотека диссертаций
Навигация
Каталог диссертаций России
Англоязычные диссертации
Диссертации бесплатно
Предстоящие защиты
Рецензии на автореферат
Отчисления авторам
Мой кабинет
Заказы: забрать, оплатить
Мой личный счет
Мой профиль
Мой авторский профиль
Подписки на рассылки



расширенный поиск

О носителях и числовых характеристиках почти нильпотентных многообразий линейных алгебр Панов Николай Петрович

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Панов Николай Петрович. О носителях и числовых характеристиках почти нильпотентных многообразий линейных алгебр: диссертация ... кандидата Физико-математических наук: 01.01.06 / Панов Николай Петрович;[Место защиты: ФГБОУ ВО «Ульяновский государственный университет»], 2018

Введение к работе

Актуальность темы исследования. Один из подходов к изучению линейных алгебр заключается в описании выполняющихся в них полиномиальных тождественных соотношений. Класс всех линейных алгебр, удовлетворяющих фиксированному набору полиномиальных тождественных соотношений, называют многообразием. Активное изучение алгебр с полиномиальными тождествами (PI-алгебр) и их многообразий ведется в течение последних семидесяти лет. В работе1, опубликованной в 1972 году, А. Регев в связи с изучением тождеств, выполняющихся в тензорном произведении ассоциативных PI-алгебр, определил количественную характеристику тождеств — последовательность коразмерностей. Для PI-алгебры А коразмерность сп(А) — размерность пространства Рп(А) = Рп/(Рп П Ы(А)), где Рп пространство всех полилинейных (необязательно ассоциативных) многочленов степени п от образующих х\,... ,хп, Ы(А) — идеал тождеств алгебры А. Аналогичным образом определяется пространство Pra(V) для многообразия V. В случае основного поля нулевой характеристики любое тождество эквивалентно некоторой системе полилинейных тождеств, поэтому метод А. Регева, заключающийся в определении числовых характеристик тождеств алгебр, стал одним из основных методов изучения РІ-алгебр над полем нулевой характеристики. В настоящее время числовые характеристики тождеств алгебр являются самостоятельным предметом исследований.

Так как действие симметрической группы перестановками индексов образующих задает на пространстве Рп (над полем нулевой характеристики) структуру вполне приводимого левого модуля над групповым кольцом симметрической группы, и Id(A) является Т-идеалом, то к упомянутым числовым характеристикам также относят кратности гп\(А) в разложении кохарактеров Хп(А) = ^лтА(^4)хл, и = 1,2,..., в суммы неприводимых характеров \\ и ко длины 1п(А) = ^Л т\(А), где Л — разбиение числа п, А — PI-алгебра. Значения кратностей представляют собой более тонкую, по сравнению со значениями коразмерностей, характеристику тождеств, поскольку сп(А) = ^2xm\(A)d\, где d\ — размерность неприводимого подмодуля модуля Рп(А) в разложении в прямую сумму неприводимых.

Последовательность коразмерностей {cra(V)}ra>i характеризует количество тождеств, выполняющихся в алгебрах многообразия V. Говорят, что её асимптотическое поведение определяет рост многообразия V. Естественным образом выделяют экспоненциальный, подэкспоненциальный (полиномиальный или промежуточный между полиномиальным и экспоненциальным) и сверхэкспоненциальный типы роста. Если рост многообразия V не выше экспоненциального, то существуют нижняя и верхняя экспоненты exp(V) = lira ^/cra(V), exp(V) = lim ycJ^V). В случае их совпа-

га—s-oo га—s-oo

1Regev, A. Existence of identities in A (g> В / A. Regev // Israel journal of mathematics. — 1972. — Vol. 11, №2. - P. 131-152.

дения exp(V) = exp(V) = exp(V) говорят об экспоненте (PI-экспоненте) exp(V) многообразия V. В качестве иллюстрации к сказанному отметим, что в результате продолжительного исследования2'3'4'5'6'7'8'9 идеалов тождеств ассоциативных алгебр, в том числе, было установлено, что рост любого многообразия V ассоциативных алгебр над полем нулевой характеристики является либо полиномиальным, сп(у) = qnk+0(nk~l), q — рациональное число, к — целое число, либо экспоненциальным, cra(V) > 2ra_1, причем соответствующая PI-экспонента существует и является неотрицательным целым числом. При этом рост многообразия V полиномиальный тогда и только тогда, когда алгебра Грассмана G и алгебра UT2 верхнетреугольных матриц порядка 2 не принадлежат V.

Наименьшим из возможных типов роста характеризуются нильпотентные многообразия. Многообразие V нильпотентно, если cra(V) = 0, начиная с некоторого п. Ненильпотентное многообразие, все собственные подмногообразия которого являются нильпотентными, называют почти нильпотентным. Почти нильпотентные многообразия обладают свойством минимальности в указанном смысле, поэтому задача поиска и описания таких многообразий в различных классах алгебр представляет отдельный интерес. В общем случае данная задача видится неразрешимой, однако в ряде классов алгебр над полем нулевой характеристики было получено описание всех почти нильпотентных многообразий.

Известно, что в классе ассоциативных алгебр существует только одно почти ниль-потентное многообразие — многообразие ассоциативно-коммутативных алгебр. Очевидно, что все коразмерности данного многообразия равны единице. Также в классе алгебр Ли существует только одно почти нильпотентное многообразие — это многообразие А2 всех метабелевых алгебр Ли. Числовые характеристики многообразия А2 также хорошо известны10. В частности, известно равенство сга2) = п — 1 для любого п > 2.

2Regev, A. Existence of identities in A (g> В / A. Regev // Israel journal of mathematics. — 1972. — Vol. 11, №2. - P. 131-152.

3Латышев, В. H. К теореме Регева о тождествах тензорного произведения PI-алгебр / В. Н. Латышев // Успехи математических наук. — 1972. — Т. 27, №4(166). — С. 213-214.

4Krakowski, D. The polynomial identities of the Grassmann algebra / D. Krakowski, A. Regev // Transactions of the American mathematical society. — 1973. — Vol. 181. — P. 429-438.

5Latyshev, V. N. Complexity of nonmatrix varieties of associative algebras. I / V. N. Latyshev // Algebra and logic. - 1977. - Vol. 16, №2. - P. 98-122.

eKemer, A. R. T-ideals with power growth of the codimensions are Specht / A. R. Kemer // Siberian mathematical journal. - 1978. - Vol. 19, №1. - P. 37-48.

7Drensky, V. Relations for the cocharacter sequences of T-ideals / V. Drensky // Contemporary mathematics. — 1992. — Vol. 131.2. — P. 285-300.

8Giambruno, A. On codimension growth of finitely generated associative algebras / A. Giambruno, M. Zaicev // Advances in mathematics. — 1998. — Vol. 140, №2. — P. 145-155.

9Giambruno, A. Exponential codimension growth of PI algebras: an exact estimate / A. Giambruno, M. Zaicev // Advances in mathematics. — 1999. — Vol. 142, №2. — P. 221-243.

10Бахтурин, Ю. А. Тождества в алгебрах Ли / Ю. А. Бахтурин. — М. : Наука, 1985. — 448 с.

Определены11 все почти нильпотентные многообразия алгебр Лейбница. Их ровно два: А2 и многообразие (обозначим его 2NL) алгебр Лейбница, удовлетворяющих тождеству x(yz) = 0. Отметим, что многообразие 2NL было подробно описано12 ранее. В частности, установлены равенства cra(2NL) = п, п > 2.

Все почти нильпотентные многообразия алгебр с тождеством x(yz) = 0 были описаны только при условии ограниченности роста. Доказано13, что в данном классе алгебр существует ровно два почти нильпотентных многообразия подэкспоненциаль-ного роста. Первое — это многообразие 2NL, второе — подмногообразие всех алгебр, удовлетворяющих тождеству {xy)z = — {xz)y. Отметим, что все значения коразмерностей данных многообразий совпадают.

Незначительный рост может показаться естественным свойством почти нильпотентных многообразий. Однако в классе алгебр с тождеством x(yz) = 0 известно14 почти нильпотентное многообразие экспоненциального роста с экспонентой, равной двум. Носителем данного многообразия является бесконечномерная алгебра, которую обозначим А2. Многообразию var(A2) посвящены две работы14'15. По аналогии с многообразием var(A2) для каждого т = 3,4,... было определено16 многообразие var(Am), экспонента которого, как и экспонента любого ненильпотентного подмногообразия, равна т, и доказано, что в каждом многообразии var(Am) найдется почти нильпотентное подмногообразие. Последнее утверждение основано на следующей теореме.

Теорема14. В любом ненильпотентном многообразии линейных алгебр найдется почти нильпотентное подмногообразие.

Позже похожим образом было установлено17 существование бесконечного множества почти нильпотентных многообразий с разными целыми экспонентами в классе коммутативных метабелевых алгебр.

Определение алгебры А2 также стало идейной основой определения18 новой ал-

11 Фролова, Ю. Ю. Почти нильпотентные многообразия алгебр Лейбница / Ю. Ю. Фролова, О. В. Шулежко // Прикладная дискретная математика. — 2015. — №2(28). — С. 30-36.

12Drensky, V. Varieties of metabelian Leibniz algebras / V. Drensky, G. M. P. Cattaneo // Journal of algebra and its applications. — 2002. — Vol. 1, №1. — P. 31-50.

13Mishchenko, S. On almost nilpotent varieties of subexponential growth / S. Mishchenko, A. Valenti // Journal of algebra. - 2015. - Vol. 423, №1. - P. 902-915.

14Mishchenko, S. An almost nilpotent variety of exponent 2 / S. Mishchenko, A. Valenti // Israel journal of mathematics. — 2014. — Vol. 199, №1. P. 241-257.

15Шулежко, О. В. Новые свойства почти нильпотентного многообразия экспоненты два / О. В. Шулежко // Известия Саратовского университета. Новая серия. Сер. Математика. Механика. Информатика. - 2014. - Т. 14, №3. - С. 316-320.

16Мищенко, СП. Почти нильпотентные многообразия любой целой экспоненты /СП. Мищенко, О. В. Шулежко // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. — 2015. — № 2. - С. 53-57.

17Мищенко, С. П. О почти нильпотентных многообразиях в классе коммутативных метабелевых алгебр / С. П. Мищенко, О. В. Шулежко // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. — 2015. №3(125). — С. 21-28.

18Мищенко, С. П. Почти нильпотентные многообразия дробной экспоненты существуют / С. П. Мищенко // Вест. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. — 2016. — № 3. — С. 42-46.

гебры с тождеством x(yz) = 0, порождающей многообразие, верхняя и нижняя экспоненты которого (как и экспоненты любого его ненильпотентного подмногообразия) принадлежат интервалу (1, 2). И с помощью приведенной теоремы было доказано существование почти нильпотентного многообразия, верхняя и нижняя экспоненты которого не являются целыми числами.

В идейном плане примечательны определения19 факторалгебр однопорожденной метабелевой алгебры20 \А. В алгебре все скобочные структуры в ненулевых мономах степени не меньше трех могут быть представлены с помощью композиций операторов левого и правого умножения на единственную образующую. Любая такая композиция операторов может быть естественным образом закодирована словом в алфавите из двух символов. Данная идея используется в определении множеств метабелевых алгебр с помощью двоичных бесконечных периодических слов и слов Штурма. Заданные алгебры порождают в случае бесконечных периодических слов счетное множество многообразий линейного роста, в случае слов Штурма — несчетное множество многообразий квадратичного роста. Таким образом, с помощью приведенной теоремы было доказано, что в классе метабелевых алгебр существует счетное множество почти нильпотентных многообразий, рост которых не выше линейного, и существует несчетное множество почти нильпотентных многообразий, рост которых не выше квадратичного. В результате дальнейшего исследования21 многообразий, заданных бесконечными периодическими словами, были получены их числовые характеристики и доказано, что они сами являются почти нильпотентными.

Некоторые результаты, касающиеся почти нильпотентных многообразий алгебр над полем нулевой характеристики можно найти в обзорной статье22 О. В. Шулежко.

Степень разработанности темы исследования. Направление исследований, связанное с изучением почти нильпотентных многообразий алгебр, является новым, и свойство почти нильпотентности многообразий мало изучено. Большинство результатов, полученных в данном направлении, представлено в течение последних десяти лет.

Так, в классе алгебр с тождеством x(yz) = 0 определены все почти нильпотент-ные многообразия подэкспоненциального роста. Но оставалась открытой аналогичная проблема определения многообразий в классах коммутативных метабелевых и антикоммутативных метабелевых алгебр.

19Mishchenko, S. P. An uncountable family of almost nilpotent varieties of polynomial growth / S. P. Mishchenko, A. Valenti // Journal of pure and applied algebra. — 2018. — Vol. 222, №7. — P. 1758-1764.

20Мищенко, С. П. О многообразиях с тождествами однопорожденной свободной метабелевой алгебры / С. П. Мищенко, А. Б. Верёвкин // Чебышевский сборник. — 2016. — Т. 17, №2(58). — С. 21-55.

21 Мищенко, С. П. Бесконечные периодические слова и почти нильпотентные многообразия / С. П. Мищенко // Вестник Московского государственного университета. Серия 1. Математика. Механика. - 2017. - №4. - С. 62-66.

22Шулежко, О. В. О почти нильпотентных многообразиях в различных классах линейных алгебр / О. В. Шулежко // Чебышевский сборник. - 2015. - Т. 16, №1. - С. 67-88.

В классе алгебр, удовлетворяющих тождеству x(yz) = О, многообразия с целыми экспонентами, значения которых больше двух, мало изучены, в отличие от многообразия экспоненты два. Также оставался открытым вопрос о нильпотентности всех собственных подмногообразий данных многообразий.

В классе метабелевых алгебр известны характеристики почти нильпотентных многообразий, заданных бесконечными периодическими словами. При этом оставались неизвестными характеристики многообразий, заданных словами Штурма, в частности, был открытым вопрос об их почти нильпотентности.

Объект исследования. Объектом исследования являются почти нильпотентные многообразия алгебр над полем нулевой характеристики. Предмет исследования — носители и числовые характеристики почти нильпотентных многообразий.

Цель исследования. Основной целью исследования является изучение в случае основного поля нулевой характеристики почти нильпотентных многообразий различных типов роста.

Задачи исследования. Выполнить описание всех почти нильпотентных многообразий подэкспоненциального роста в классе коммутативных (антикоммутативных) метабелевых алгебр. В классе алгебр с тождеством x(yz) = 0 выполнить описание почти нильпотентных подмногообразий многообразий с разными целыми PI-экспонентами, большими двух. В классе метабелевых алгебр исследовать многообразия квадратичного роста, определенные на основе конструкции бесконечных слов Штурма; описать почти нильпотентные подмногообразия данных многообразий.

Научная новизна. Основные результаты исследования, касающиеся почти нильпотентных многообразий в различных классах алгебр над полем нулевой характеристики, являются новыми. В классах коммутативных метабелевых и антикоммутативных метабелевых алгебр доказано существование ровно двух почти нильпотентных многообразий подэкспоненциального роста. В классе алгебр, удовлетворяющих тождеству x(yz) = О, найдены и изучены носители, числовые характеристики и определяющие тождества почти нильпотентных многообразий со всевозможными целыми, большими двух, экспонентами. Определены числовые характеристики многообразий метабелевых алгебр, заданных с помощью конструкции слов Штурма. Доказано, что данные многообразия сами являются почти нильпотентными.

Теоретическая и практическая значимость работы. Работа имеет теоретический характер. Представленные результаты могут быть полезны для специалистов в теории РІ-алгебр и включены в спецкурсы для студентов и аспирантов, изучающих алгебры с полиномиальными тождествами.

Методология и методы исследования. Применяются комбинаторные методы, методы теории представлений симметрических групп, методы теории РІ-алгебр в случае поля нулевой характеристики.

Положения, выносимые на защиту.

  1. Доказано существование в классе коммутативных (антикоммутативных) мета-белевых алгебр ровно двух почти нильпотентных многообразий подэкспонен-циального роста.

  2. В классе алгебр, удовлетворяющих тождеству x(yz) = 0, найдены и изучены носители, числовые характеристики и определяющие тождества почти нильпотентных многообразий со всевозможными целыми, большими двух, экспонентами.

  3. Предъявлено несчетное множество различных почти нильпотентных многообразий квадратичного роста, носители которых определены с помощью слов Штурма.

Степень достоверности. Достоверность обеспечивается корректностью применения методов исследования в доказательствах результатов.

Апробация результатов. Результаты диссертации представлены на следующих конференциях: 13-ой Международной конференции "Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения", посвященной восьмидесятипятилетию со дня рождения профессора С. С. Рышкова, Тула, 2015; International Russian-Chinese Conference "On Actual Problems of Applied Mathematics and Physics" and School for Young Scientists "Nonlocal Boundary Problems and Modern Problems of Algebra, Analysis and Informatics", Elbrus, Kabardino-Balkarian Republic, 2015; 14-ой Международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения", посвященной 70-летию со дня рождения Г. И. Архипова и С. М. Воронина, Саратов, 2016; Международной конференции "Мальцевские чтения", Новосибирск, 2017; Всероссийской конференции, посвященной 100-летию факультета математики и компьютерных наук Ивановского государственного университета, Иваново, 2018; Международной алгебраической конференции, посвященной 110-летию со дня рождения профессора А. Г. Куроша, Москва, 2018; Международной конференции "Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения", посвященной столетию со дня рождения доктора физико-математических наук, профессора Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова Коробова Николая Михайловича, Тула, 2018.

Публикации. Результаты исследования представлены в 12 работах, из которых 5 опубликованы в журналах из перечня ВАК. Список работ приведен в конце автореферата.

Личный вклад автора. Задача описания почти нильпотентных многообразий подэкспоненциального роста в классе коммутативных (антикоммутативных) мета-бел евых алгебр поставлена научным руководителем. Доля общего вклада автора в

решение данной задачи составляет не менее одной трети. Задача описания почти нильпотентных многообразий с разными целыми экспонентами в классе алгебр с тождеством x(yz) = 0 поставлена и решена автором. Задача описания заданных словами Штурма почти нильпотентных многообразий метабелевых алгебр поставлена научным руководителем. Доля вклада автора в решение данной задачи составляет не менее трех четвертей. Общая доля вклада автора в исследование составляет более двух третей.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав основной части, разбитых на параграфы, заключения и списка литературы. Нумерация параграфов, формул, теорем и других утверждений выполняется в рамках главы, нумерация таблиц сквозная. Основная часть диссертации изложена на 90 страницах. Список литературы имеет 91 наименование.