Введение к работе
Актуальность темы. Попроси теории проективных плоскостей и исследовании снизанных с ними алгебраических систем находится на стыке алгебры с комбинаторным анализом. Теория проективных плоскостей имеет богатую историю, изучение подобных tioup"cou началось еще п работах Л. Эйлера и К. Гаусса. Исследованием проективных плоскостей занимались также такие известные математики, как Д. Гил'.б^рт, Ж. Деэарг, М. Холл, Р. Бэр, Л. А. Скорняков и другие. В 70-х годах более пристальное шшмание российских алгебраистов было привлечено к этой науке выступлениями А. И. Ширшова.
Среди проективных плоскостей особое место занимав" кліїсе плоскостей трансляций и подкласс полуполевь:х плоскостей. Известен метод построения плоскостей трансляї: .;' на основе иек-торного просгранстпа и некоторой системы невырожденных матриц, называемой регулярным множеством. Наиболее простыми для построения и исследования кажутся плоскости трансляций ранга 2, регулярное множество котор;.'.-:. г'ожет бить представлено 2 х 2-матринами. Однако с возрастанием ;юрддка плоскости функции, определяющие регулярное множество, щжобретают дополнительные степени свободы, в с:'^зи с чем изучение плоскости значительно усложняется
Н. Д. Подуфаловым бил предложен друге?! подход к. изучению полуполевых плоскостей. Носко/', .ку полшг.- гг' -гти коллинеа-ций взаимно дуальньіх(гнти-кзоморфньи) проект>;ьиых плоскостей изоморфны, можно сочетать изучение потупг,. -зой плоскости с исследованием cz-S-.^тв дул"ъкоЯ ей иол- »«:.. .>й плоскости. Существенная сло/KHOCTh заключается D том, 1:то до сих пор не определена методика проверки г-у&льнссти проективных плос-костей(критерин нзоморфности граксляционрых плоскостей доказан Н. Д. Подуфаловым 8 статье f7]).
Настоящая рнбої л ос вище л а изучению гюлуполепых плоскостей, дуальных і ранга, 2 и том числе плоскостям, цопускагСилЦм бэроескую'И^во^к^мю. Автерсм. доказаны некоторые результаты, позесл-жощие строить полуггалезые плоское ти, дуальные так называемомбэр-эл<з^ио!ШЫМ плоскостям типа \2.q) которые рассматривались а работах [1), [2], [4], [IS].
Цель работы. Изучить изменение геометрических и алгебраических свойств при переходе от полуполевой плоскости ранга 2 к дуальной плоскости.
Общая методика исследования. Применяются методы современной алгебры и оригинальны!! математический аппарат, введенный автором диссертации.
Научная новизна и практическая ценность. Описан вид проективних плоскостей, дуальных конечным полуполевым плоскостям ранга 2.
Исследованы полуполевые плоскости, дуальные плоскостям ранга 2 над конечным полем четной характеристики, допускающим бэровскую инволюцию. Определен вид регулярного множес-їва и бэровской инволюции. Полностью описай централизатор бэровской инволюции в группе автотопизмов и подгруппе линейных автотошкшов плоскости. Доказана разрешимость полной группы коллинеацнй для плоскостей такого типа.
Изучены полуполевые плоскости ранга 2, дуальные которым также имеют ранг 2.
Построены примеры полуполевых плоскостей порядка 16, 64, 256, дуальных некоторым известным полуполевым плоскостям ранга 2.
Доказаны некоторые разультаты из теории конечных ноле!!.
Все результаты диссертации являются новыми.
Диссертационная работа носит теоретический характер. Приведенное в ней исследование может найти' применение в теории конечных проективных плоскостей, в теории групп, а также в теории конечных полей. .
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по теории групп при Институте математики СО РАН, город Новосибирск, под руководством доктора физико-математических наук, профессора В. Д. Мазурова, на городском алгебраическом семинаре, а такке на Международной конференции по алгебре памяти М. И. Каргаполова, проходившей в 1993 году в Красноярске.
Публикации. По теме опубликовано 5 работ, список которых помещен в конце реферата. Три работы написаны в соавторстве с Подуфаловым Н.Д., Дураковым Б. К. и Дураковым Е. Б.
Структура и оиъш работы. Диссертационная работа изложена на 08 страницах машинописного текста, состоит из введения, трех IV]пв и приложений. Работа содержит 12 параграфов. Список литературы содержит 18 кампаний.
Используется сквозная нумерация теорем и определений.