Содержание к диссертации
Введение
1 О производной функции Минковского ?(х) 15
1.1 Основные определения и существующие результаты 15
1.2 Формулировка основных результатов 18
1.3 Вспомогательные обозначения и леммы 19
1.4 Доказательства основных результатов 26
1.4.1 Доказательство теоремы 1.1 26
1.4.2 Доказательство теоремы 1.2 27
1.4.3 Доказательство теоремы 1.3 28
2 О разбиении отрезка [0,1] , порожденном последовательностями Броко 31
2.1 Основные определения и формулировки 31
2.2 Некоторые обозначения и формулировка вспомогательного результата
2.3 Вспомогательные утверждения 34
2.4 Основная лемма и завершение доказательства теоремы 2.2 46
2.5 Доказательство основного результата 51
Приложение А: Программа для проверки основания индукции 74
Список литературы 77
- Формулировка основных результатов
- Доказательство теоремы
- Некоторые обозначения и формулировка вспомогательного результата
- Основная лемма и завершение доказательства теоремы 2.2
Введение к работе
Одним из важнейших инструментов анализа в теории диофантовых приближений является аппарат цепных дробей. Многие вопросы, связанные со свойствами разложений в цепные дроби вещественных чисел, являются классическими. Основы современной теории цепных дробей восходят к трудам таких математиков, как Л. Эйлер, Дж. Л. Лагранж, А. Лежандр, К.Ф. Гаусс. Систематическое изложение теории цепных дробей имеется, например, в книгах О. Перрона [1] и А.Я. Хинчина [2]. Другим классическим объектом теории чисел, естественным образом связанным с цепными дробями, являются ряды Фарея. Они появились в 1816 году в работах самого Дж. Фарея [3], а в начале XX века были обнаружены связи вопросов о распределении дробей Фарея со сложными задачами аналитической теории чисел (см., например, [4]). Несколько менее известным объектом являются так называемые последовательности Штерпа-Броко, появившиеся в работах М. Штерна [5] и А. Броко [6] соответственно в 1858 и 1862 годах. Эти последовательности, естественным образом связанные с рядами Фарея, имеют также отношение к широко известной функции Г. Минковского (х), рассмотренной им в 1904 году (см. [7]). Отметим, что функция Минковского (ж) была переоткрыта А. Данжуа в 1932 году (см.[8]). Позднее функция Минковского была переоткрыта еще несколькими математиками.
Рассмотрим следующий способ построения всех неотрицательных несократимых дробей, носящий название дерева Штерна-Броко. Начнем с двух соседних дробей j и . На каждом шаге между двумя соседними дробями и будем записывать их медианту Р Р _ Р + Р q q q + q Например, первый шаг добавляет одну дробь между у и : 0 11 l 1 O второй - ещё две дроби: 0 112 1 Г 2 1 ГО и так далее.
Всю совокупность добавлений можно представить в виде бинарного дерева (см. рис. 1). В этом дереве каждая несократимая дробь встречается ровно один раз. Поддерево дерева Штерна-Броко, содержащее только рациональные числа из отрезка [0,1], называется деревом Фарея. Последнее время дерево Фарея широко используется в теории динамических систем (см., например, [9] и библиографию оттуда).
Последовательность (ряд) Фарея Тп порядка п - это возрастающий набор рациональных чисел со знаменателями, не превосходящими п, из отрезка [0,1]. Запишем ее в виде Fn = {0 = о,п, •-,&," •• #fn,n = !}• Перечислим некоторые свойства последовательностей Фарея. I. Количество элементов в последовательности Фарея Тп есть п #.Fn = 1 + ( ) где ip(k) - функция Эйлера.
II. Для предельной функции распределения последовательностей Фарея очевидно равенство lim = х. п- +оо #Гп III. Известная теорема Дж. Франеля [10] гласит, что знаменитая гипотеза Б. Римана о нулях дзета-функции эквивалентна утверждению о том, что ФТП .. 2\ 1/ с _ ELi Ф) Оє(гГ1/2+) (Ve 0).
Этот результат обобщался многими математиками. Здесь мы упомянем ставшую классической работу Э. Ландау [11], а также недавнюю работу СБ. Стечкина [12].
IV. Упомянем теоремы Р. Холла [13] об асимптотиках для моментов разбиений отрезка [0,1] дробями Фарея. Пусть 0 = Хо;П Х\ п • • • х (п),п = 1 - некоторые точки в [0,1], рі)П = ХІІП — Хі-\ п, і = 1,..., N (п) - длины интервалов [ХІ-І П, ХІ П) . Для фиксированного /З положим N(n) ар (х0)„, Xhn, . . . , Жлг(п),тг) = 5Z РІп г=1 Очевидно, что У\ {Х0,п, Жі,п, - • , XN{n),r) = 1, СТО (жоП) х1,п, , Хщп)уП) = N(n) для любого разбиения ж0,ти Жі)П,..., лг(п),п- В 1970 году Р. Холл в своей работе [13] получил следующие асимптотические формулы для величины ар (!Fn) для последовательностей Фарея: Теорема А.
.2, 1 , .. С (2) СР\ 121 тсгп + о log п + - + 7 — 2 С(2). где 7 константа Эйлера, (s) - ( -функция Римана. Теорема В. ДЛЛ любого целого (3 ( ) = + 0 1 где 0 = 0 при /3 3 и 0 = 1 яри (3 = Ъ, и Теорема С. Для любого целого 0 ( = tf_V+a + О (n2 +1 logn) log п п3 где к = 6 f г !)2 Д тг2\(/?+1)2 (2/?+ 2)!
Отметим, что этот результат многократно обобщался и усиливался в работах самого Р. Холла [14], Р. Холла и Ж. Тенепбаума [15], С. Канемицу [16], С. Канемицу, Р. Сита Рама Чандра Рао, А. Сива Рама Сарма [17] и других.
Теперь мы дадим определение последовательностей Штерна-Броко и перечислим их некоторые свойства, подобные свойствам последовательностей Фарея из пунктов I - IV выше.
Последовательностью Штерна-Броко порядка п называется возрастающий набор Fn рациональных дробей из [0,1], определяемый индуктивным образом. Пусть и Fn+i — Fn U Qn+i j
где Qn+i - возрастающая последовательность медиант соседних дробей в Fn. Хорошо известно, что для последовательностей Штерна-Броко порядка п сумма неполных частных в представлении в виде цепной дроби не превосходит п.
I. Количество элементов в го-ой последовательности Штерна-Броко есть #Fn = 2 -1 + 1.
II. Предельной функцией распределения последовательностей Штерна- Броко является известная функция Минковского (х) п- +оо #Ьп Определение функции Минковского состоит в следующем: (0) = 0, 7(1) = 1; 0.2 0.4 0.6 0.8 Л" Рис. 2: Функция Минковского.
если значение функции определено для соседних дробей Л в какой-либо последовательности Штерна-Броко Fn порядка п, то далее на отрезке [0,1] функция Минковского определяется по непрерывности. Как уже отмечалось, эта функция была введена Г. Мииковским в [7]. Обозначение (х) принадлежит Минковскому. Согласно результату А. Дан-жуа [8], если известно разложение иррационального ж € [0,1] в регулярную цепную дробь х — [0; а,\,..., at,...], то 1 1 f-l)n+1 v 2ai_1 2ai+a2 l " 2ai+-+a»_1
Функция Минковского является монотонной и непрерывной на отрезке [0,1]. Согласно теореме А. Лебега она почти всюду дифференцируема. Более того, известно [18], что ее производная почти всюду равна нулю и что она може принимать (в несобственном смысле) только два значения - 0 или +оо. Функция Минковского удовлетворяет условию Липшица [19].
Особо отметим, что недавно Дж. Парадиз, П. Виадер и Л. Бибилони доказали следующую теорему [20]: Теорема D.
1. Если для вещественного иррационального х Є (0,1) в разложении в цепную дробь х = [0; а\,..., at,...] с к\ = 1.388+ выполнено неравенство .. Оі + ... + Of lim sup к,\ t— оо ь и производная (ж) существует, то (ж) = +оо.
2. Пусть / = 5.319+ есть корень уравнения "Я — х = 0. Если для вещественного иррационального х Є (0,1) в разложении в цепную дробь х = [0; ai,..., щ,...] выполнено неравенство . ai + ... + at lim ml г «з, t— оо t и производная (ж) существует, то V(x) = 0.
Следует отметить, что согласно теореме А. Я. Хинчина [2], для почти всех вещественных чисел выполнено ai + ... + Оп hm — = +оо, п— оо п так что первая часть упомянутой теоремы трех авторов касается поведения производной функции Минковского на множестве меры нуль.
III. Если обозначить за т(х) функцию, обратную к функции Минковского (ж), и положить д(х) = (т(х) - х)2, то будет выполнено / g{x)dx, Jo 2" / \ 2 3=1 где Jin(j = 0,1,...,2n) - последовательность Штерна-Броко. Этот результат непосредственно вытекает из неравенства Коксмы ([21], стр. 157) и того факта, что полная вариация функции д(х) не превосходит 4:
IV. Н.Г. Мощевитин и А. Жиглявский в 2004 году в работе [22] для моментов разбиений отрезка [0,1] последовательностями Штерна-Броко получили следующее асимптотическое равенство: Теорема Е.
Для любого (3 1
2С(2/?-1) / logn пР С (2/9) yn(P+i)W-i)/(20) J где С, (s) - ( -функция Римана.
Отметим, что в работе [23] доказано, что для любого (3 1 при достаточно больших п имеет место неравенство
ap(Fn) Ce n,
где С и 7 некоторые положительные константы. Многомерные обобщения имеются у Н.Г. Мощевитина и М. Виелхабера [24, 25].
В настоящей диссертации исследуются свойства функции Минковского (ж) и последовательностей Штерна-Броко. Диссертация состоит из двух глав.
В первой главе мы уточняем процитированную выше теорему D и доказываем следующий неулучшаемый результат.
Для j Є N обозначим
Xj = , Lj = In\j-j- —.
Здесь j Xj j + 1. Отметим, что
L2 L3 Li L4 0 L5 L6 ... (1)
Нам понадобятся константы
21nAv , 4L5 — ЪЬл , , s
KI = -ыГ = 1Л88 K2 = 77 = 4-401 (2)
Теорема 1.1.
і. Е сли для вещественного иррационального х Є (0,1) в разложении в цепную дробь х = [0; ai,..., at,...] с «і, определенным выше, выполнено неравенство
ai + ... + at limsup «і,
t-юо І
mo (ж) существует и Т{х) = +оо.
#. Для любого положительного є найдется квадратичная иррациональность х такая, что для нее
ai + ... + at hm к\ + є
і— оо І
U
(ж) = 0.
Теорема 1.2.
І. Е сли для вещественного иррационального х Є (0,1) в разложении в цепную дробь х = [0; ai,..., at,...] с Кі, определенным выше, выполнено неравенство
liminf К2, (3)
t—+оо t
то (х) существует и (ж) = 0.
2. Для любого положительного є найдется квадратичная иррациональность х такая, что для нее
ai + ... + at lim к2 — є
t— оо t
и (а;) = +оо.
Кроме этого, мы доказываем следующий результат. Теорема 1.3.
Если в разложении иррационального числа х = [0; а\,..., atв непрерывную дробь все неполные частные a,j не превосходят 4, то (ж) = со.
Отметим, что доказательство использует результат И.Д. Кана [26] о сравнении континуантов.
Во второй главе диссертации мы уточняем асимптотическое равенство Мощевитина-Жиглявского для моментов разбиения, порожденного последовательностями Броко, и доказываем следующий результат. Теорема 2.1.
Для любого /3 1 выполнено
12С(2/?-1), і і /log3/V
О
12С(2/?-1) rJ_, s v y К ; 2/?-2 0 /с /?-2 V
где C (/5), 1 k 2/? — 2 , C k{P), 0 k ft — 2 некоторые положительные константы, зависящие от (5 .
Доказательство теоремы 2.1 опирается на вспомогательный результат, который может иметь самостоятельный интерес.
Пусть А - множество всех целых векторов а — (а\,..., at), t 1, а 2 и
% 1J 3 = і,..., - 1-Пусть
Ді = {а = (ai,..., at) Є Л Ч 1- at = n}.
Каждому a = (ai,..., at) Є А сопоставим цепную дробь [0; а\,..., at] (так как целая часть всегда равна нулю, для краткости будем ее обозначать \а\,..., at])
и соответствующий континуант (а\,... ,а ), пустой континуант равен 1, -1-й континуант равен 0. Рассмотрим сумму с фиксированным j3 1 . Теорема 2.2.
Для любого (3 1 с некоторыми эффективными константами С к, зависящими от j3, выполнено неравенство
1 /с(2/?-1) /С(2/3-1ПЛ 1 /УУ
Результаты диссертации докладывались на следующих научных семинарах и конференциях:
1. XIII международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых (МГУ, 2006),
2. «Analytical and Combinatorial Methods in Number Theory and Geometry» (МГУ, 2006),
3. Научно-исследовательский семинар по теории чисел под руководством А.А. Карацубы, Н.Г. Мощевитина, Ю.В. Нестеренко в 2006, 2007 гг.,
4. Научно-исследовательский семинар «Тригонометрические суммы и их приложения» под руководством Н.Г. Мощевитина, А.В. Устинова в 2005, 2006, 2007 гг.,
5. Научно-исследовательский семинар «Математические вопросы кибернетики» под руководством О.М. Касим-Заде в 2007 г.
Благодарности
Автор хочет поблагодарить научного руководителя проф. Н.Г. Мощевитина за неоценимую помощь в подготовке диссертации, а также коллектив кафедры теории чисел механико-математического факультета МГУ во главе с член корр. РАН Ю.В. Нестеренко за создание творческой атмосферы.
Формулировка основных результатов
Одним из важнейших инструментов анализа в теории диофантовых приближений является аппарат цепных дробей. Многие вопросы, связанные со свойствами разложений в цепные дроби вещественных чисел, являются классическими. Основы современной теории цепных дробей восходят к трудам таких математиков, как Л. Эйлер, Дж. Л. Лагранж, А. Лежандр, К.Ф. Гаусс. Систематическое изложение теории цепных дробей имеется, например, в книгах О. Перрона [1] и А.Я. Хинчина [2]. Другим классическим объектом теории чисел, естественным образом связанным с цепными дробями, являются ряды Фарея. Они появились в 1816 году в работах самого Дж. Фарея [3], а в начале XX века были обнаружены связи вопросов о распределении дробей Фарея со сложными задачами аналитической теории чисел (см., например, [4]). Несколько менее известным объектом являются так называемые последовательности Штерпа-Броко, появившиеся в работах М. Штерна [5] и А. Броко [6] соответственно в 1858 и 1862 годах. Эти последовательности, естественным образом связанные с рядами Фарея, имеют также отношение к широко известной функции Г. Минковского (х), рассмотренной им в 1904 году (см. [7]). Отметим, что функция Минковского (ж) была переоткрыта А. Данжуа в 1932 году (см.[8]). Позднее функция Минковского была переоткрыта еще несколькими математиками.
Рассмотрим следующий способ построения всех неотрицательных несократимых дробей, носящий название дерева Штерна-Броко. Начнем с двух соседних дробей j и . На каждом шаге между двумя соседними дробями и будем записывать их медианту Р Р _ Р + Р q q q + q Например, первый шаг добавляет одну дробь между у и : 0 11 l 1 O 3 О 1 о о 5 3 4 1 2 110 о D 1 О D З 1 З 112 1 4352534132 /і\ /І\ і /І\ і /І\ І /І\ Рис. 1: Дерево Штерна-Броко. второй - ещё две дроби: 0 112 1 Г 2 1 ГО и так далее. Всю совокупность добавлений можно представить в виде бинарного дерева (см. рис. 1). В этом дереве каждая несократимая дробь встречается ровно один раз. Поддерево дерева Штерна-Броко, содержащее только рациональные числа из отрезка [0,1], называется деревом Фарея. Последнее время дерево Фарея широко используется в теории динамических систем (см., например, [9] и библиографию оттуда).
Этот результат обобщался многими математиками. Здесь мы упомянем ставшую классической работу Э. Ландау [11], а также недавнюю работу СБ. Стечкина [12]. IV. Упомянем теоремы Р. Холла [13] об асимптотиках для моментов разбиений отрезка [0,1] дробями Фарея. Пусть 0 = Хо;П Х\ п х (п),п = 1 - некоторые точки в [0,1], рі)П = ХІІП — Хі-\ п, і = 1,..., N (п) - длины интервалов [ХІ-І П, ХІ П) .
Отметим, что этот результат многократно обобщался и усиливался в работах самого Р. Холла [14], Р. Холла и Ж. Тенепбаума [15], С. Канемицу [16], С. Канемицу, Р. Сита Рама Чандра Рао, А. Сива Рама Сарма [17] и других. Теперь мы дадим определение последовательностей Штерна-Броко и перечислим их некоторые свойства, подобные свойствам последовательностей Фарея из пунктов I - IV выше. Последовательностью Штерна-Броко порядка п называется возрастающий набор Fn рациональных дробей из [0,1], определяемый индуктивным образом. Пусть и Fn+i — Fn U Qn+i j где Qn+i - возрастающая последовательность медиант соседних дробей в Fn. Хорошо известно, что для последовательностей Штерна-Броко порядка п сумма неполных частных в представлении в виде цепной дроби не превосходит п. I. Количество элементов в го-ой последовательности Штерна-Броко есть #Fn = 2 -1 + 1. II. Предельной функцией распределения последовательностей Штерна Броко является известная функция Минковского (х) п- +оо #Ьп Определение функции Минковского состоит в следующем: ?(0) = 0, 7(1) = 1; 0.2 0.4 0.6 0.8 Л" Функция Минковского. если значение функции определено для соседних дробей Л в какой-либо последовательности Штерна-Броко Fn порядка п, то далее на отрезке [0,1] функция Минковского определяется по непрерывности. Как уже отмечалось, эта функция была введена Г. Мииковским в [7].
Доказательство теоремы
Обозначение (х) принадлежит Минковскому. Согласно результату А. Дан-жуа [8], если известно разложение иррационального ж [0,1] в регулярную цепную дробь х — [0; а,\,..., at,...], то 1 1 f-l)n+1 v 2ai_1 2ai+a2 l " 2ai+-+a»_1 Функция Минковского является монотонной и непрерывной на отрезке [0,1]. Согласно теореме А. Лебега она почти всюду дифференцируема. Более того, известно [18], что ее производная почти всюду равна нулю и что она може принимать (в несобственном смысле) только два значения - 0 или +оо. Функция Минковского удовлетворяет условию Липшица [19]. Особо отметим, что недавно Дж. Парадиз, П. Виадер и Л. Бибилони доказали следующую теорему [20]: Теорема D. 1. Если для вещественного иррационального х Є (0,1) в разложении в цепную дробь х = [0; а\,..., at,...] с к\ = 1.388+ выполнено неравенство .. Оі + ... + Of lim sup к,\ t— оо ь и производная (ж) существует, то (ж) = +оо. 2. Пусть / = 5.319+ есть корень уравнения "Я — х = 0. Если для вещественного иррационального х Є (0,1) в разложении в цепную дробь х = [0; ai,..., щ,...] выполнено неравенство . ai + ... + at lim ml г «з, t— оо t и производная (ж) существует, то V(x) = 0. Следует отметить, что согласно теореме А. Я. Хинчина [2], для почти всех вещественных чисел выполнено ai + ... + Оп hm — = +оо, п— оо п так что первая часть упомянутой теоремы трех авторов касается поведения производной функции Минковского на множестве меры нуль. III. Если обозначить за т(х) функцию, обратную к функции Минковского (ж), и положить д(х) = (т(х) - х)2, то будет выполнено / g{x)dx, Jo 2" / \ 2 3=1 где Jin(j = 0,1,...,2n) - последовательность Штерна-Броко. Этот результат непосредственно вытекает из неравенства Коксмы ([21], стр. 157) и того факта, что полная вариация функции д(х) не превосходит 4:
IV. Н.Г. Мощевитин и А. Жиглявский в 2004 году в работе [22] для моментов разбиений отрезка [0,1] последовательностями Штерна-Броко получили следующее асимптотическое равенство: Теорема Е. Для любого (3 1 2С(2/?-1) / logn пР С (2/9) yn(P+i)W-i)/(20) J где С, (s) - ( -функция Римана. Отметим, что в работе [23] доказано, что для любого (3 1 при достаточно больших п имеет место неравенство ap(Fn) Ce n, где С и 7 некоторые положительные константы. Многомерные обобщения имеются у Н.Г. Мощевитина и М. Виелхабера [24, 25]. В настоящей диссертации исследуются свойства функции Минковского (ж) и последовательностей Штерна-Броко. Диссертация состоит из двух глав.
Если в разложении иррационального числа х = [0; а\,..., at, в непрерывную дробь все неполные частные a,j не превосходят 4, то (ж) = со. Отметим, что доказательство использует результат И.Д. Кана [26] о сравнении континуантов. Во второй главе диссертации мы уточняем асимптотическое равенство Мощевитина-Жиглявского для моментов разбиения, порожденного последовательностями Броко, и доказываем следующий результат.
Каждому a = (ai,..., at) Є А сопоставим цепную дробь [0; а\,..., at] (так как целая часть всегда равна нулю, для краткости будем ее обозначать \а\,..., at]) и соответствующий континуант (а\,... ,а ), пустой континуант равен 1, -1-й континуант равен 0. Рассмотрим сумму с фиксированным j3 1 . 1. XIII международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых (МГУ, 2006), 2. «Analytical and Combinatorial Methods in Number Theory and Geometry» (МГУ, 2006), 3. Научно-исследовательский семинар по теории чисел под руководством А.А. Карацубы, Н.Г. Мощевитина, Ю.В. Нестеренко в 2006, 2007 гг., 4. Научно-исследовательский семинар «Тригонометрические суммы и их приложения» под руководством Н.Г. Мощевитина, А.В. Устинова в 2005, 2006, 2007 гг., 5. Научно-исследовательский семинар «Математические вопросы кибернетики» под руководством О.М. Касим-Заде в 2007 г. Благодарности Автор хочет поблагодарить научного руководителя проф. Н.Г. Мощевитина за неоценимую помощь в подготовке диссертации, а также коллектив кафедры теории чисел механико-математического факультета МГУ во главе с член корр. РАН Ю.В. Нестеренко за создание творческой атмосферы. 1 О производной функции Минковского 1{х).
Некоторые обозначения и формулировка вспомогательного результата
Использование экспериментальных методов для исследования механического поведения композиционных материалов при динамических воздействиях ограничено техническими трудностями изучения быстропротекающих процессов и высокой стоимостыо натурных экспериментов. В этой ситуации, математическое моделирование и методы численного исследования могут предоставить качественно новые возможности для изучения и прогнозирования физико-механических свойств композитов, для создания технологий получения новых материалов и проектирования изделий из них. Наличие внутренней структуры и её значительный вклад в формирование механических свойств композиционных материалов делают необходимым учёт влияния структуры и её эволюции при моделировании механического поведения композитов в условиях динамических воздействий.
Однако задача адекватного учёта влияния структуры и её эволюции при моделировании механического поведения композитов в условиях динамических воздействий в настоящее время остаётся не решённой. Это связано с тем, что поведение внутренней структуры, как системы взаимосвязанных и механически взаимодействующих структурных элементов, при ударно-волновом нагружении композитов не достаточно хорошо изучено. Условия возникновения динамических процессов и явлений на масштабном уровне структуры, а так же степень и характер их влияния на механическое поведение композиционных материалов при ударно-волновом нагружении окончательно не определены и требуют дальнейшего изучения. В связи с этим необходима разработка математических моделей, учитывающих влияние структуры и её эволюции на механическое поведение композитов. Таким образом, актуальность диссертационной работы обусловлена необходимостью разработки физико-математических моделей, учитывающих влияние структуры и её эволюции на закономерности процессов высокоскоростной деформации и повреждения стохастических композитов, а так же методов численного исследования и прогнозирования механического поведения этих материалов при динамических воздействиях. Целью работы является разработка метода численного исследования и прогнозирования механического поведения стохастических композиционных материалов, армированных включениями, в условиях ударно-волновых воздействий, с учётом влияния структуры композитов и её эволюции в процессе высокоскоростного деформирования. Исследовать влияние структуры и её эволюции на механическое поведение стохастических композитов с металлической матрицей, армированных керамическими частицами, при ударно-волновом нагружении. Для достижения поставленной цели потребовалось решить следующие задачи: 1. Разработать физико-математическую модель механического поведения конденсированной среды с неоднородной внутренней структурой в условиях ударно-волновых воздействий с амплитудами до 30 ГПа, учитывающую влияние структуры среды. 2. Разработать алгоритм численной реализации предложенной модели при решении задач высокоскоростного взаимодействия тел и ударно-волновых воздействий в двумерной пространственной постановке и с этой целью модифицировать конечно-разностный метод ХЕМП. 3. Разработать комплекс компьютерных программ для исследования процессов высокоскоростной деформации и повреждения стохастических композитов, армированных включениями, при ударно-волновом нагружении. 4. Исследовать процессы высокоскоростной деформации и развития повреждений на масштабном уровне структуры стохастических металлокерамических композиционных материалов при нагружении ударными волнами с амплитудами от 0.5 до 30 ГПа. 5. Исследовать влияние объёмной концентрации и формы армирующих включений на эффективные механические характеристики стохастических металлокерамических композитов, реализующиеся при ударно-волновом нагружении.
Разработана новая физико-математическая модель механического поведения конденсированной среды с неоднородной внутренней структурой в условиях ударно-волновых воздействий, учитывающая влияние внутренней структуры и ее эволюции на закономерности высокоскоростной деформации и развитие повреждений в металлокерамических композитах.
Основная лемма и завершение доказательства теоремы 2.2
Разработан метод численного исследования и прогнозирования механических свойств композиционных материалов со стохастической структурой в условиях ударно-волнового нагружения, основанный на численном моделировании распространения волн напряжений, процессов высокоскоростной деформации и развития повреждений на масштабном уровне структуры композитов.
Получены новые результаты о влиянии объемной концентрации и формы керамических включений на эффективные механические характеристики стохастических металлокерамических композитов при ударно-волновом нагружении, получены зависимости эффективных механических характеристик (предела упругости Гюгонио и динамического предела упругости) стохастических металлокерамических композитов от объемной концентрации керамических включений.
Получены новые результаты исследования распределения параметров механического состояния на масштабном уровне структуры стохастических металлокерамических композитов при ударно-волновом нагружении, состоящие в установлении бимодального характера распределения локальных значений массовой скорости в композитах с объемным содержанием керамических включений выше 50% при нагружении ударными волнами с амплитудами от 5 до 20 ГПа.
Установлена возможность образования при ударно-волновом нагружении стохастических металлокерамических композитов объёмных блоков, объединяющих в себе несколько структурных элементов и смещающихся как единое целое. Выявлена возможность появления отрицательных давлений в локальных областях стохастических металлокерамических композитов на масштабном уровне структуры при нагружении ударными импульсами. Практическая значимость результатов диссертационной работы заключается в следующем: 1. Разработана физико-математическая модель механического поведения структурно-неоднородной среды, применимая для моделирования ударно-волновой динамики, процессов деформации и развития повреждений на масштабном уровне структуры при интенсивных динамических воздействиях. 2. Разработан метод для численного исследования и прогнозирования механического поведения композиционных материалов со стохастической структурой в условиях ударно-волнового нагружения. 3. Разработаны прикладные компьютерные программы для изучения механического поведения и получения численных оценок эффективных механических характеристик стохастических композитов при ударно-волновом нагружении. 4. Результаты диссертационной работы и прикладные программы используются при подготовке специалистов на физико-техническом факультете Томского государственного университета по направлениям 140400 «Техническая физика» и 150300 «Прикладная механика», по специальности 150502 «Конструирование и производство изделий из композиционных материалов» и специальности «Динамика и прочность машин».