Введение к работе
Актуальность темы. Понятие строго точного характера первоначально возникло в связи с изучением групп перестановок конечных множеств. Пусть С — группа перестановок множества П, состоящего из я элементов. Следуя {4], обозначим через fix{g) число элементов из Сі /неподвижных при действии geC Пусть L = {fix(g}geC,g #1} .В 1904 году Х.Бликфельдт доказал, что число |~[(л-/) делится на порядок группы С (см. [3]). Этот результат также
упоминается в чуть более ранней работе "[12] . В 1979 году новое доказательство этого факта дал М.Киота (см. 111]). Возникает естественный вопрос: при каких условиях возможно равенство |С7|= 1~[(я -/)?
Эта проблема имеет следующую геометрическую интерпретацию. Для двух произвольных элементов g и к группы G можно определить "расстояние" между ними как число n-fix{g~lh) (Hamming distance). Легко видеть, что
введенное таким образом "расстояние" удовлетворяет аксиомам метрики , то есть определяет на группе С структуру метрического пространства. Пусть множество попарно различных ненулевых "расстояний" между элементами группы С известно. Тогда в силу результата Бликфельдта произведение элементов этого множества делится на \G\, в частности, ограничивает величину \G\ сверху. Каким может быть максимальный порядок группы G при заданном множестве "расстоянии" между ее элементами? Может ли он совпадать с указанным выше произведением?
Другая икгераретаякя этой задачи использует терминологию теории представлений и характеров. Заметим, что функция ja{g) является точным характером естественного представления (размерности в) группы перестановок
G. Если выполняется равенство ]С]= }~J(»-J),to этот характер называется
lei . .
строго точным (sharp character). Таким образом, задача сводится к поиску и изучению строго точных характеров естественных перестановочных представлений. Для некоторых частных случаев эта задача решена в [10].
В 1988 году в работе [5] понятие строго точного характера было введено в более общей ситуашш. А именно, пусть х ~ произвольный обобщенный комплексный характер конечной группы G, = {х{в%В є G,*l)».rU) = » -Тогда (см. [5]) число |](л-/) является целым и делится на \G\.
Если х —характер комплексного представления группы G, то, очевидно,|~[(л-/)*, причем ]^[(п-/)^0 тогда.и,только тогда, когда и е L, то
есть х ~ точный характер. В этом случае справедливо неравенство J~f(B-/)^|G| . Точный характер % конечной группы С называется строго
точным ( типа X ), если ]~J(n-/) = |C| .'
В [5] описаны строго точные характеры тала X пра || = 1, = {0,/},Х = {-1Д), = {-1,0,1}, Х = {-1,0,1ДЬ а также в случаях, когда L — семейство алгебраически сопряженных чисел над «ojsr:, Q или i.=»(3}UX' , где V — семейство алгебраически сопряженных. Эти г,и-.-:льтаты были уточнены и удалены в {і], 12], 115].
Авторы указанных выше статей, в основном, описывают строго точные характеры заданного типа, то есть изучают конечные группы , обладающие строго точным характером с заданным множеством значений на группе. В диссертации проблема ставится несколько иным образом. А именно, пусть задана нетривиальная конечная группа С . Имеет ли она строго точный характер? В такой постановке вопрос заведомо имеет утвердительный ответ, поскольку регулярный характер любой конечной группы является строго точным (типа {0}). Поэтому представляется разумным ввести некоторые дополнительные ограничения на искомый характер. В настоящей работе в качестве такого дополнительного требования рассмотрена неприводимость характера. Следует заметить , что среди известных примеров строго точных характеров значительную долю составляют именно неприводимые характеры. Более того , например, в случае || = 2 неприводимость точного характера автоматически влечет строгую точность (см. [5,Ргор.2.1]); а при L = (1,1 +1,/ + 2,1 + 3) , наоборот , из строгой точности следует неприводимость (см. [15]).
Интерес к понятию строго точного характера подтверждается публикацией в последнее время целого ряда статей, посвященных этой теме. Помимо работ, уже упоминавшихся выше, можно отметить, например,[9], (13], [14]. Вызывает интерес и теоретико-числовая сторона вопроса, связанная с возможностью выполнения числового равенства, определяющего строгую точность.
Цель работы: описание строго точных неприводимых комплексных характеров некоторых^ классов конечных групп.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Задача описания строго точных неприводимых характеров решена в работе для следующих классов групп:
-
Симметрические и знакопеременные группы.
-
Конечные неприводимые группы Кокстера.
3. Произвольные группы порядков рд,ргд или pqr(p,q,r — различные
простые числа).
&: .р-грутты (для представлений размерности р).
Методика исследования. В работе применяются методы теории представлений, в частности, техника диаграмм Юнга; теоретико-числовые методы, связанные с вопросами распределения простых чисел в натуральном ряду, а также специальные подходы к исследованию множеств значений, принимаемых характерами конечных групп (см. [1],[5]).
Научная и практическая ценность. Диссертация имеет теоретический характер, ее результаты могут найти применение в теории конечных групп и их представлений.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались автором на научных семинарах механике - математического факультета МГУ "Избранные вопросы алгебры" под руководством члжорр.РАН, проф. А.И.Кострикина , проф. Ю.А.Бахтурина , д.ф.-м.н. М.В.Зайцева ; "Teop-s-групп" под руководством проф. А.Л.Шмелькина , проф. А.Ю.Ольшанского и на кафедральном научно-исследовательском л:«6раическс« сем?-!.ре кч, О.Ю.Шмидта. .
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [16],[17],[18], перечисленных в конце настоящего автореферата.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, шести глав и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 104 страницы. Библиография содержит 36 наименований.