Введение к работе
Актуальность темы. В 1955 г. А.И.Мальцев [1 заметил, что классическое соответствие между группами Ли и алгебрами Ли может быть распространено на гладкие неассоциативные системы, близкие к группам Ли, - т.н. аналитические лупы. Если (локальная) аналитическая лупа G альтернативна (диассоциативна), то в окрестности нейтрального элемента е можно ввести канонические координаты 1-го рода, в которых операция умножения лупы G определяется аналитическими функциями и для любого вектора а кривая x.(t) - a t является локальной одно-параметрической подгруппой (с локальным параметром t ). Касательное пространство 71 в точке Є корректно наделяется строением бинарно лиевой алгебры (над R ) и любая конечномерная вещественная бинарно лиева алгебра Q является касательной алгеброй для некоторой локальной аналитической альтернативной лупы. В той же работе А.И.Мальцев выделил один замечательный класс альтернативных луп - лупы Муфанг, которые можно охарактеризовать, например, тождеством
(правое тождество Муфанг), - и показал, что касательная алгебра М лупы Муфанг G удовлетворяет тождествам
- A -
где "J (x, ^,2.) = (xy ) 2 -(-(:/2) x + CzxJ^ - якобиан элементов x, у,z 6 M -В современной терминологии такие алгебры называются алгебрами Мальцева. Позднее Е.Н.Кузьмин [2] доказал, что верно и обратное: любая конечномерная вещественная алгебра Мальцева является касательной алгеброй локальной аналитической лупы Муфанг, установив одновременно, что каноническими координатами 1-го рода обладает любая гладкая моноассоциативная (т.е. с ассоциативными степенями) лупа G- . Последний результат создает предпосылки для применения аппарата алгебры к изучению некоторых классов моноассоциатквнкх аналитических луп. Один из наиболее интересных таких классов - это лупы Бола, которые характеризуются тождеством
(х3 z ) $ = * (з* -У ) (3)
(правое тождество Бола). Если G - лупа с тождеством (3)(правая лупа Бола), то противоположная лупа G с умножением х „ »/ = ч . к удовлетворяет тождеству
и называется левой лупой Бола. Лупы Муфанг - это те лупы, которые являются левыми и правыми лупами Бола одновременно.
Замечательная особенность луп Муфанг и правых (левых) луп
Бола состоит в том, что эти классы луп универсальны в том смысле, что устойчивы относительно изотопии.
Теория алгебр Мальцева к настоящему времени достигла значительного развития (см., например, [з] , [4І ). Используя результаты структурной теории алгебр Мальцева, Ф.С.Кердман [5] установил, что любая конечномерная вещественная алгебра Мальцева является касательной алгеброй некоторой односвязной аналитической лупы Муфанг в целом. Справедлив также аналог теоремы Щрайера о продолжении локальных изоморфизмов. Таким образом, на лупы Муфанг и алгебры Мальцева переносятся все основные теоремы о соответствии между группами Ли и алгебрами Ли.
Гладкие лупы Бола изучали Л.В.Сабинин и П.О.Михеев [ 6 J , 7]. Они показали (методами дифференциальной геометрии), что структура гладкой (правой) лупы Бола в окрестности нейтрального элемента О. определяется двумя операциями на касательном пространстве Те > бинарной () и тернарной ( , , ), которые линейны по всем переменным и удовлетворяют системе тождеств
с ".у. а) = о ,
Cx.J.z) + (у, Z, х) ^(2,Х,ї)*0 ,
(*,1.г)Ъ = (хЯ,э,2) +(х.уЪ,г) +(*,y,z9) , (4) х- х = О
где $ ~&(b>v) - отображение Хь» (x,u,v) , X.i.'Z.u^V-
произволыше элементы ИЗ ft = 7g
Бинарно-тернарная алгебра ft с тождествами (4) называется (правой) алгеброй Бола. Любая конечномерная вещественная
алгебра Бола $ является касательной алгеброй некоторой локальной аналитической лупы Бола. Таким образом, категория локальных аналитических луп Бола эквивалентна категории алгебр Бола.
Первые три тождества в (4) записываются в терминах тернарной операции ( , , ) (и сложения), они показывают, что относительно этой операции алгебра Бола & является лиевой тройной системой (л.т.с), которую мы обозначаем через 6Т » -хорошо известный класс алгебр, который был введен Н.Джекобсо -ном в связи с построением структурной теории конечномерных йор-дановых алгебр [8*1. В дальнейшем л.т.е. нашли важные применения в теории алгебр Мальцева [з],[э] и, особенно, в теории симметрических пространств [іо],[іі]. Соответствие 6 ~* 6 т можно рассматривать как "забываидии" функтор из категории алгебр Бола в категорию л.т.с. Хорошо разработана структурная теория конечномерных л.т.с. над полем $ характеристики О ІІ2],[іЗ] , включая такие классические вопросы как расщепление л.т.е. в полупрямую сумму разрешимого радикала и полупростой подалгебры (подсистемы), сопряженность полупростых факторов в случае алгебраически замкнутого поля Д (аналог теоремы Леви - Мальцева - Хариш-Чандра), теория когомологий. Существен -ную роль в теории л.т.с. играет стандартное (и универсальное) вложение произвольной л.т.с. Т в алгебру Ли L-L (Т) ( L С Т) ) » Щ>и котором операция ( , , ) для элементов х, v,2 Т выражается через операцию умножения в L по формуле
При этом L=T + fT,T] , и элементы из Т харак-теоризуются как кососимметрические относительно некоторой инволюции (Г алгебры L . Аналогичное стандартное (и универ -сальное) вложение в алгебру Ли L допускает и алгебра Бола ( . К равенству (5) в этом случае добавляется равенство
** = С*']}* (6)
где її - проекция L ^& ч- Гб, 6] на 8 .ядро которой И--К-ет-Х является подалгеброй в i, . Таким образом, алгебры Бола тесно связаны с разнообразными классическими объектами современной алгебры: лупами Бола, лиевыми тройными системами, алгебрами Ли и, опосредованно, с симметрическими пространствами. Частным случаем алгебр Бола являются алгебры Мальцева. Однако структурная теория алгебр Бола, в отличие от теории ал -гебр Мальцева, делает пока лишь первые шаги.
Цель работы состоит в построении основ структурной теории конечномерных алгебр Бола (главным образом, над полем характеристики 0), а также описании алгебр Бола малых размерностей, dim ft з .
Общая методика исследований. В работе используются методы нэассоциативной алгебры, теории алгебр Ли, теории матриц (в главе о классификации). Применяются и некоторые теоретико-числовые результаты.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации -новые.
Практическая ценность. Результаты и методы диссертации
дают вклад в структурную теорию конечномерных алгебр Бола. Они могут быть использованы в теории аналитических луп Бола. Классификация двумерных и трехмерных алгебр Бола дает, с одной стороны, представление о разнообразии свойств этого класса алгебр, а с другой стороны - дает подход к описанию аналитических луп Бола размерности ^ 3.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Третьей международной конференции по алгебре памяти М.И.Кар-гаполова (Красноярск, 23-28 августа 1993 г.), на семинаре "Алгебра и логика" при Новосибирском государственном университете, на семинаре "Теория колец" им. А.И.Ширшова при Институте математики Сиб. отд. РАН.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [20] - [23] .
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и библиографии.