Об одном классе линейных представлений луп Муфанг Логинов, Евгений Коистантнпович

Введение к работе

Актуальность теми.

Луш Муфанг возникли при исследовании в 30-х годах недезарговых плоскостей. Сама Муфанг тогда же доказала основную теорему о таких лупах: п лупе Муфанг любые два элемента порождают ассоциативную подлупу (т.е. группу). В 40-х годах подверглись интенсивному изучению коммутативные лупы Муфанг, строение которых оказалось близким к строению абеловых групп. Итоги 50-летнего развития теории коммутативных луп Муфанг подведены в обзоре Смита¹.

В некоммутативном случав положение гораздо более сложное. Уке выяснение строения конечных луп небольших порядков требует значительных усилий. Чейн и Пфлюгфэльдер² нашли наименьшую неассоциативную лупу Муфанг. Эта лупа порядка 12 с тремя образующими. Чейн³ перечислил все лупы Муфанг порядков <64. Обнаружено, что в них справедлива теорема Лагранжа и существуют силовские подлупы.

В последние годы активно изучались лупы, обладающие неассоциативными альтернативными луповыми кольцами над некоторым кольцом коэффициентов Л характеристики "2 (так називавше Л/(-лупы Муфанг). Чейн и Гудер* показали, что если ЯЛ-лупа Муфанг периодическая, то 'она представима в виде прямого произведения абелевой группы и неразложимой (т.е. не прэдставнмой в виде прямого произведения собственных подлуп) пи-лупы Муфанг, а любая неразложимая периодическая пи-лупа Муфанг является 2-лупой.

Основополагающей работой теоріпі аналитических луп Муфанг

1. Smith J.D.H. Commutative Houfang loops: the first БО years // Algebras, Groups ала Gcom. 1985. V.2, N3. P.209-234.

2. Chein 0., Pflugfelder H.O. The smallest Moufang loop // Aroh. Math. 1971. V.22, N6. P.573-57B.

3. Chein 0. Moufang loops of small order. II // Memoirs of the

Amer. Jfath. Soo. 1978. V.13, N197. P.1-131.

4. ChoJn 0., Goortaire E.G. Loops whose loop rings are
alternative // Ccmmiin. Algebra. 1986. V.14, N2. P.293-310.

является статья Мальцева⁵. В ней показано, что касательная алгебра аналитической лупы Муфанг не обязана быть алгеброй Ли: вместо тождества Якоби в касательной алебре аналитической лупы Муфанг имеет место, более общее тождество, называемое теперь тождеством Мальцева.

Кузьмин⁶ доказал, построив формальную лупу Муфанг» что любая конечномерная алгебра Мальцева над R может служить касательной алгеброй некоторой локальной лупы Муфанг.

Результат Кузьмина был усилен Кердманом⁷. Любая локальная аналитическая лупа Муфанг оказывается локально изоморфной некоторой односвязной аналитической лупе Муфанг в целом. Последняя разлагагся в полупрямое произведение односвязной полупростой подлупы и односвязного разрешимого нормального делителя.

Общее понятие представления линейной алгебры восходит к С.Эйленбергу⁸. Введенное понятие оказалось весьма полезным при изучении строения альтернативных, йордановых и мальцевских алгебр. Достаточно вспомнить работы Шафера, Джекобсона, Маккриммона, Ямагути, Жевлакова, Кузьмина, Филиппова, Карлсон, Гришкова, Элдуке⁹.

Напротив, теория представлений квазигрупп по существу не разработана. Известные автору попытки построения такой теории

5. Мальцев А.И. Аналитические лупы // Матем. сб. 1955. Т.36, N3. С.569-576.

6. Кузьмин Е.Н. О связи между алгебрами Мальцева и аналитическими лупами Муфанг // Алгебра и логика. 1971. Т.10, N1. С.3-22.

7. Кердман Ф.С. Об аналитических лупах Муфанг в целом // ДАН СССР. 1979. Т.249, N3. С;533-Б36.

8. Ellenberg S. Extensions of general algebras // Arm. Soo. Polon. Mat. 1948. V.21, N1. P.125-134.

9. Кузьмин Е.Н., Шестаков И.П. Неассоциативные структуры //
Итоги науки и техн. Совр. проОл. .матем.. / ВИНИТИ 1990. V.57.
С.179-271.

(Баталии¹⁰, Нестеров и Степаненко¹¹, Паал¹²) предпринимались, в значительной мере, в связи-с возможностью примонешя квазигрупп в геометрии и физике, и не затрагивали вопросов строения квазигрупп.

Поэтому введение понятия линейного представления квазигруппы, аналогичное понятию представления линейной алгебры, и применение теории представлений к изучению строения луп Муфанг, естественно и актуально.

Цель работы: изучение линейных представлений луп Муфанг.

На защиту выносятся следугздів основные результаты:

1. Описаны все точно представимые (т.е. обладающие точным представлением) лупы Муфанг. Доказано, что неассоциативная лупа Муфанг в вкладывается в лупу обратимых элементов алгебры Кэли-Диксона тогда и только тогда, когда лупа в обладает точным конечномерным неприводимым представлением.

2. Проведена классификация неассоциативных F-регулярных луп Муфанг (т.е. неассоциотившх луп Муфанг, обладающих г-регулярннм представлением в классе всех луп Муфанг).'

3. Для конечных F-регулярных луп Муфанг построена теория, содержащая в себе основные положения теории представлегаїй конечных групп. Описаны формальные линейные оболочки таких луп.

4. Найдена связь между линейными представлениями локальной аналитической лупы Муфанг и ее касательной алгебры Мальцева. Доказано, что всякая компактная разрешимая аналитическая лупа Муфанг является абелевой группой.

Диссертация имзет теоретическое значение. В ней

10. Ba'telin I.A. Quasigroup oonstruotion and iirst оіавв ocnstraintu // .Т. Uath.Phys. 1981. V.22, МЭ. P.1837-1850.

11. Нестеров А.И., Стенанэнко В.A. 0 метолах не ассоциативной алгобры р гэокетртга п физике // Институт физики СО АН СССР. Препринт N4001*. Красноярск, 1D36. 48с.

13. Паол Э.Н. Ве5дониє н Нуфанг-симмэтрию // Институт физики АН Эстонской ССОР. Пропринт Р-42. Тарту, 1987. 69с.

определяется понятие линейного представления лупи Муфанг, которое оказивается полезным при изучешш строения луп Муфанг и их формальних линейных оболочек. Все теоремы в диссортаціш новие, доказаны впервые.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались:

1. на Третьей Международной конференции по алгебре памяти М.И.Каргаполова в Красноярске (23-28 августа 1993 г.);

2. на конференции "Гравитация и электромагнетизм" в Шшске (25-27 июня 1991 года);

3. на заседании математического общества г.Иваново (1993 г.);

4. на семинаре "Избранные вопроси алгебри" в МГУ (1992 г.);

5. на семинаре "Геометрия и физика" в МГУ (1991 г.);

6. на семинаре "Нелинейная геометрическая алгебра" в институте Дружбы народов (1991 г.),

7. на алгебраическом семинаре в МИТУ (1990, 1993 гг.).

Публикации.