Введение к работе
Агтуаіьность темы. Как хорошо известно, однородные пространства комплексных групп Ли, являющиеся односвязными троект гвными алгебраическими многообразиями, могут быть охарактеризованы как факторпространства g/p, где р - параболическая подгруппа связное комплексной полупростой группы Ли в. Эти однородные пространства часто называют флаговыми многообразиям!! Топология и геометрия флагоБ'х многообразий хорошо изучена, так как они играют существенную роль в различных раз^^лах математики. В последние года интенсивно изучаются параболические подалгебры простых комплексных супералгебр Ли и связанные с ними однородные комплексные супермно-гоос. лзил. Это, прежде всего, суперграссманианы и супермногообразия флагов, введенные в рассмотрение Ю.И.Маниным СИ. Изучению их строения и свойств посвящены работы Ю.И.Манина, А.А.Воронова, И.Б. Пенкова, А.Л.Оющика, А.А.Серова и др. Интерес к этой тематик вызван, в частности, глубокими связями с теоретической фнзнкЪй.
Одним из важных свойств флаговых многообразий является жесткость, т.е. отсутствие нетривиальных малых деформаций комплексной структуры на них. Оно следует из равенства ^(с/р.в) = о, где е -пучок ростков голоморфных векторных полей, доказанного Боттом в 1957 г. Этот факт в значительной мере связан с тем обстоятельством, что как полупростые комплексные группы Ли, так и параболические подгруппы в них являются жесткими объектами. Свойство жесткости, однако, теряется, когда мы переходим от групп Ли к комплексным супергруппам (или,супералгебрам) Ли. А именно,как показал В.Г.Кац [2], существует семейство простых комплексных супералгебр Ли
D(2,l;
зависящее от одного комплексного параметра. Это позволяет предпо-ожить существование нетривиальных семейств комплексных супермногообразий, допускающих транзитивное действие супералгебр Ли
Г(С,1'СТ2'<'3)-
Цоіь и результаты работы. В Диссертации подробно Изучено СЄ-
мейство компактных комплексных однородных супермногообразий размерности 2|2. соответствующее некоторой махсимальной параболичес-
коЯ подсистеме системы корней супералгебры Ли г(ст1,ст2,о3). Это семейство Р(о1#<72) включает в сесія суперграссманиан g2.2 1,1 « » G(-i,i) и может быть описано как семейство супермногооСразий, имеющих то же присоединенное градуированное супермногообразке, что н этот суперграссманиан (его удобно представлять как двухпараыет-
рИЧССКОе СеМеЙСТВО. ХОТЯ ВбЛИЗИ ЛЮбОЙ ТОЧКИ («VOj) * (0,0) оно
существенно зависит лишь от одного параметра о^/о2). Получены следующие основные результаты:
-
дана явная конструкция супермногообразий g(ct1/(j2) в терминах карт и функций перехода от одних координат к другим;
-
указан явный вид голоморфныхвекторных полей на g(o1(o2) и доказано, что супералгебра Ли всех тагас полей действует на супермногообразии транзитивно;
-
доказано, что супералгебра Ли голоморфных векторных полей
На GfOj,^) при (о^,а2) * (0,0) ИЗОМОрфНЭ Г^.о^.-о^- <>2) (ИЛИ
D{2,i.a1/a2)) и что стабилизатор точки является максимальной параболической подалгеброй;
4) вычислены группы когомо;.-гий супермногообразий в(о1,а2)
в размерностях I и 2 со значениями в пучке росткгв голоморфных
векторных полей;
5) доказано, что аналитическое семейство G(a^,a2) полно в лю-'
бой точке <,ох,о2) є (С и версально в точке (0,0).
Научная новизна. Все перечисленные выше результаты язляются новыми.
кетояи исследования. В работе применяются методы теории ал-гебр и супералгебр Ли, теории пучков, теории деформаций комплексных структур.
Теоретическая и прастичесгая ценность. Работа носит теоретический характер. Методы и результаты могут быть применены к изучению других классов однородных супермногообразий.
Апробация. Результаты диссертации докладывались на семинарах кафедр алгебр Ярославского университета и Ярославского педагогического института и на семинаре по группам Ли и теории инвариантов Московского университета.
пубявгааиа. Основные ^зультаты диссертации опубликован" в работах [4, 5, 6].
Структура диссертации. Диссертация изложена на 60 страницах машинописного текста. Работа сог-оит иг введетш, трех глав и списка литературы, содержащего 19 названий.