Введение к работе
Актуальность темы исследования. Теория многообразий ал-5р в настоящее время представляет собой довольно обширную и :тивно развивающуюся часть теории колец. Ядром этой теории шяется хорошо развитая теория многообразий ассоциативных ал-бр, в рамках которой получено много глубоких результатов. Среди льшого круга вопросов теории многообразий важное место занимает учение строения идеалов тождеств различных многообразий, нахож-ние и исследование систем порождающих (базисов) этих идеалов. Так теории многообразий алгебр долгое время оставалась открытой п яимала центральное место следующая проблема Шпехта: верно ли, ч> всякое многообразие ассоциативных алгебр над полем характерис-ски 0 задается конечным базисом тождеств.
Хорошо разработанная структурная теория ассоциативных алгебр тцественно облегчает развитие теории тождеств или теории многообра-сй ассоциативных алгебр. И наоборот, результаты, полученные в рамках ории многообразий ассоциативных алгебр находят свое отражение в субоких структурных свойствах.
Для ассоциативных алгебр важной оказалась опубликованная в )46 г. работа Дж. Левицкого [7], в которой было дано положительное ішение ограниченной проблемы А.Г. Куроша о локальной нильпотен-гости алгебр, удовлетворяющих тождеству xn = 0, и локальной конечно-эрности алгебраических алгебр ограниченной степени. Вместе с олубли-эванной в 1948 году работой И. Капланского [8] о строении примитивных
ассоциативных алгебр, удовлетворяющий нетривиальному полиномиал ному тождеству, работа Дж. Левицкого положила начало последующ!: исследованиям структуры ассоциативных алгебр, удовлетворяющих в тривиальному полиномиальному тождеству (PI-алгебр) и изучению то: деств ассоциативных алгебр.
Из других результатов в этом направлении следует отметить опубл кованные в 1957 г. теоремы Ш. Амицура о локальной нильпотентнос: радикала Джекобсона в конечно порожденной PI-алгебре и о совпадет радикала Джекобсона в относительно свободной PI-алгебре с идеале тождеств некоторой полной матричной алгебры над полем, а такя теорему Ширшова о высоте, которая дала конструктивное решение огр ничейной проблемы А.Г. Куроша.
В то же время не ослабевает интерес к проблеме конечной базируема ти тождеств в многообразиях ассоциативных алгебр. В 1977 го; В.Н. Латышев и независимо Г.Генов и А.Попов доказали, что люб* ассоциативная алгебра над полем характеристики 0, удовлетворяюще тождеству вида
[хх, ... , xjfrj, ... , yJOj, ... , zj = О имеет конечный базис тождеств. Из этих результатов, в частности, следуі шпехтовость многообразия, порожденного алгебрами треугольных ма риц произвольного порядка над полем характеристики 0. В 1982 го; А.В. Яковлев анонсировал следующий результат: полные алгебры матрв любого порядка над полем характеристики 0 имеют конечный базі тождеств.
И, наконец, в 1988 году проблема Шпехта была положительно решеї
.Р. Кемером [б]. Этот успех, естественно, стимулировал попытки найти >ложительный ответ на подобный вопрос для других многообразий ггебр. Так через год А.Я, Вайс, Е.И. Зельманов установили шпехтовость аогообразия, заданного конечно порожденной йордановой Р1-алгеброй.
В многообразиях с хорошо развитой структурной теорией особый иерее представляют подмногообразия, порожденные конечномерными ігебрами. В 1970 году М.Воон-Лп построил пример конечномерной ггебры Ли над бесконечным полем характеристики 2, не имеющей энечного базиса тождеств, а в 1974 В. Дренски получил подобный ;зультат для бесконечного поля произвольной простой характеристики, цнако, конечномерная алгебра Ли над конечным полем, оказалось, ;егда имеет конечный базис тождеств. Это было доказано Ю.А. Бахтури-ам и А.Ю. Ольшанским. Значительные результаты для аналогичного )проса для поля характеристики нуль были получены Ю.П. Размысло-лм, шпехтовость многообразия, порожденного конечномерной лиевой ігеброй для поля характеристики нуль была доказана в 1991 году А.В. льтяковым.
Пример конечной алгебры, не имеющей конечного базиса тождеств, ал построен в 1974 году СВ. Полиным.
Изучение конечнобазируемости конечномерных алгебр, естественно, ітронуло и другие классы алгебр, аналогичнве результаты были получе-а для представлений групп (СМ. Вовси), ассоциативных (И.В. Львов), гьтернативных (И.В. Львов), правоальтернативных (И.М. Исаев), типа 1, 1) (СВ. Пчелинцев ), йордановых (Ю.А. Медведев) и других многооб-ізий алгебр.
Наиболее общий подход в решении проблем конечной базируемости шпехтовости, по-видимому, может быть реализован в терминах решете многообразий алгебр отноептельно операций пересечения и объединеш многообразий. В самом деле, в изучении данного многообразия < и, особенности, в изучении тождеств, справедливых в этом многообрази; существенную помощь может оказать возможность разложения многоо разия С в объединение 51 и *-8 - многообразий, определяемых болі простыми тождествами.
Естественный интерес представляет и обратная задача, по тождества: определяющим многообразия 21 и 3J, описать тождества, задающие t объединение. Эта задача, как и первые, в общем виде представляї значительные трудности.
Такая постановка проблемы и вопросы наследования свойств решетках многообразий алгебр появилась в 70-е годы в работг Г.В. Дорофеева [1,2]. Были построены системы определяющих тождеи объединения многих классических многообразий алгебр, доказано, чт объединение пшехтовых многообразий алгебр является шпехтовым м» гообразием и построен пример многообразия алгебр, обладающего бескі нечным базисом тождеств, которое разлагается в объединение кояечноб; зируемых многообразий алгебр. Эти примеры очертили в классе все многообразий те границы, в которых следует искать многообразия, обл: дающие конечным базисом тождеств.
Очевидно, что многообразие ассоциативных алгебр неразложимо объединение, СВ. Пчелинцев построил решетки подмногообразий мног< образия алгебр типа (-1, 1) конечного ранга, В.Т. Филиппов исследова
ешетки, порожденные многообразиями мальцевских и альтернативных лгебр. М.В. Зайцев [4] доказал, что объединение многообразий всех илыютентных алгебр с любым конечнобазпруемым многообразием ал-вбр обладает конечным базисом тождеств.
Цель работы: исследовать наследование свойств конечной базиру-мости в решетках многообразий алгебр относительно операции объедине-ия многообразий.
Методы исследования. Получают некоторое развитие методы .В. Дорофеева; используются методы линейной алгебры и комбинатор-:ые методы неассоциатпвных алгебр.
Научная новизна. Основные результаты диссертации новые. Они олучены лично автором и опубликованы.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит тео-етический характер. Полученные результаты могут быть использованы дальнейших научных исследованиях, связаных с изучением проблем онечной базпруемости иногообразий алгебр.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на V си-ирской школе по многообразиям алгебраических систем (г. Барнаул, 988), на семинаре по теории колец при ИМ СО РАН (г. Новосибирск, 995), на алгебраических семинарах в Московском педуииверситете и Ірском пединституте.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в етырех работах.
Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 70 траницах. Состоит пз введения, трех глав и списка литературы, содержа-