Введение к работе
Актуальность темы- исследования. Теория многообразий ал-ебр в настоящее время представляет собой довольно обширную и ктивно развивающуюся часть теории колец. Ядром этой теории вляется хорошо развитая теория многообразий ассоциативных ал-ебр, в рамках которой получено много глубоких результатов. Среди ольшого круга вопросов теории многообразий важное место занимает [зучение строения идеалов тождеств различных многообразий, нахож-;ение и исследование систем порождающих (базисов) этих идеалов. Так ; теории многообразий алгебр долгое время оставалась открытой и анимала центральное место следующая проблема Шпехта: верпо ли, [то всякое многообразие ассоциативных алгебр над полем характерис-икн 0 задается конечным базисом тождеств.
Хорошо разработанная структурная теория ассоциативных алгебр ущественно облегчает развитие теории тождеств или теории многообразий ассоциативных алгебр. И наоборот, результаты, полученные в рамках еории многообразий ассоциативных алгебр находят свое отражение в лубоких структурных свойствах.
Для ассоциативных алгебр важной оказалась опубликованная в і946 г. работа Дж. Левицкого [7], в которой было дано положительное )ешение ограниченной проблемы А.Г. Куроша о локальной нильпотентности алгебр, удовлетворяющих тождеству xn = 0, и локальной конечномерности алгебраических алгебр ограниченной степени. Вместе с опубликованной в 1948 году работой И. Капланского [8] о строении примитивных
ассоциативных алгебр, удовлетворяющий нетривиальному полиномиаль ному тождеству, работа Дж. Левицкого положила начало последующие исследованиям структуры ассоциативных алгебр, удовлетворяющих не тривиальному полиномиальному тождеству (PI-алгебр) и изучению тож деств ассоциативных алгебр.
Из других результатов в этом направлении следует отметить опубли кованные в 1957 г. теоремы Ш. Амицура о локальной нильпотентності радикала Джекобсона в конечно порожденной Pi-алгебре и о совпадешь радикала Джекобсона в относительно свободной Pi-алгебре с идеалов тождеств некоторой полной матричной алгебры над полем, а также теорему Шнршова о высоте, которая дала конструктивное решение ограниченной проблемы А.Г. Куроша.
В то же время не ослабевает интерес к проблеме конечной базируемое-ти тождеств в многообразиях ассоциативных алгебр. В 1977 году В.Н. Латышев и независимо Г.Генов и А.Попов доказали, что любая ассоциативная алгебра над полем характеристики 0, удовлетворяющая тождеству вида
[хд, ... , xj[yj, ... , уДи^ ... , zj = О имеет конечный базис тождеств. Из этих результатов, в частности, следует шпехтовость многообразия, порожденного алгебрами треугольных матриц произвольного порядка над полем характеристики 0. В 1982 году А.В. Яковлев анонсировал следующий результат: полные алгебры матриц любого порядка над полем характеристики 0 имеют конечный базис тождеств.
И, наконец, в 1988 году проблема Шпехта была положительно решена
А.Р. Кемером [б]. Этот успех, естественно, стимулировал попытки найтн положительный ответ на подобный вопрос для других многообразий алгебр. Так через год А.Я. Вайс, Е.И. Зельманов установили шпехтовость многообразия, заданного конечно порожденной йордановой Р1-алгеброй.
В многообразиях с хорошо развитой структурной теорией особый интерес представляют подмногообразия, порожденные конечномерными алгебрами. В 1970 году М.Воон-Ли построил пример конечномерной алгебры Ли над бесконечным полем характеристики 2, не имеющей конечного базиса тождеств, а в 1974 В. Дренски получил подобный результат для бесконечного поля произвольной простой характеристики. Однако, конечномерная алгебра Ли над конечным полем, оказалось, всегда имеет конечный базис тождеств. Это было доказано Ю.А. Бахтури-ным и А.Ю. Ольшанским. Значительные результаты для аналогичного вопроса для поля характеристики нуль были получены Ю.П. Размысло-вым, шпехтовость многообразия, порожденного конечномерной лиевой алгеброй для поля характеристики нуль была доказана в 1991 году А.В. Ильтяковым.
Пример конечноіі алгебры, не имеющей конечного базиса тождеств, был построен в 1974 году СВ. Полиным.
Изучение конечнобазируемости конечномерных алгебр, естественно, затронуло и другие классы алгебр, аналогичнве результаты были получены для представлении групп (СМ. Вовси), ассоциативных (И.В. Львов), альтернативных (И.В. Львов), правоальтернативных (И.М. Исаев), типа (-1, 1) (СВ. Пчелинцев ), йордановьгх (Ю.А. Медведев) и других многообразий алгебр.
Наиболее общий подход в решении проблем конечной базируемости и шпехтовости, по-видимому, может быть реализован в терминах решеток многообразий алгебр относительно операций пересечения и объединения многообразий. В самом деле, в изучении данного многообразия и, в особенности, в изучении тождеств, справедливых в этом многообразии, существенную помощь может оказать возможность разложения многообразия ( в объединение 21 и 33 - многообразий, определяемых более простыми тождествами.
Естественный интерес представляет и обратная задача, по тождествам, определяющим многообразия 21 и ЗЇ, описать тождества, задающие их объединение. Эта задача, как и первые, в общем виде представляет значительные трудности.
Такая постановка проблемы и вопросы наследования свойств в решетках многообразий алгебр появилась в 70-е годы в работах Г.В. Дорофеева [1,2]. Были построены системы определяющих тождеств объединения многих классических многообразий алгебр, доказано, что объединение пшехтовых многообразий алгебр является шпехтовым многообразием и построен пример многообразия алгебр, обладающего бесконечным базисом тождеств, которое разлагается в объединение конечноба-зируемых многообразий алгебр. Эти примеры очертили в классе всех многообразий те границы, в которых следует искать многообразия, обладающие конечным базисом тождеств.
Очевидно, что многообразие ассоциативных алгебр неразложимо в объединение, СВ. Пчелинцев построил решетки подмногообразий многообразия алгебр типа (-1, 1) конечного ранга, В.Т. Филиппов исследовал
решетки, порожденные многообразиями мальцевских и альтернативных алгебр. М.В. Зайцев [4] доказал, что объединение многообразий всех нильпотентпых алгебр с любым конечнобазпруемым многообразием алгебр обладает конечным базисом тождеств.
Цель работы: исследовать наследование свойств конечной базиру-емости в решетках многообразий алгебр относительно операции объединения многообразий.
Методы исследования. Получают некоторое развитие методы Г.В. Дорофеева; используются методы линейной алгебры и комбинаторные методы неассоциативных алгебр.
Научная новизна. Основные результаты диссертации новые. Они получены лично автором и опубликованы.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в дальнейших научных исследованиях, связаных с изучением проблем конечной базпруемости иногообразий алгебр.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на V сибирской школе по многообразиям алгебраических систем (г. Барнаул, 1988), на семинаре по теории колец при ИМ СО РАН (г. Новосибирск, 1995), на алгебраических семинарах в Московском педуниверситете и Орском пединституте.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в четырех работах.
Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 70 страницах. Состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержа-