Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Ограниченно точно транзитивные группы 15
1.1. Общие сведения об ограниченно точно n-транзитивных группах 15
1.2. Определение n-псевдополя и общие следствия 22
1.3. Построение групп ограниченно точно n-транзитивных 26
1.4. Построение n-псевдополя по группе 40
1.5. Примеры п-псевдополей 45
1.6. Построение категорной эквивалентности 46
Глава 2. Псевдоматричное умножение 49
2.1. Построение примера псевдоматричного умножения 49
2.2. Определение псевдоматричного умножения и его свойства 71
Глава 3. Алгебраические системы феноменологически симметричных геометрий 78
3.1. Определение алгебраической системы феноменологически симметричной геометрии и её свойства 78
3.2. Эквивалентность категорий 85
Заключение 88
Список литературы 89
- Построение групп ограниченно точно n-транзитивных
- Построение категорной эквивалентности
- Определение псевдоматричного умножения и его свойства
- Эквивалентность категорий
Построение групп ограниченно точно n-транзитивных
Рассмотрим группу В\ = {В\\ , е\), которая действует на множестве А, А П В\ = 0. Будем рассматривать правое действие группы В\ на А. Действие элемента Ь Є В\ на элемент а Є А обозначим символом а Ь Є А. Продолжим это действие на множество В = A U В\, по правилу:
Таким образом, операция является частичной операцией на множестве В. В дальнейшем символ «» в операции умножения иногда будем опускать.
Пусть на множестве В действуют инволюции ц : В — В, і = 1,... , п, причём (/?i = icL Каждая из инволюций (/?j разбивает множество на непересекающиеся подмножества. Обозначим А{ С А, В{ С _В1 — инвариантные относительно (fi подмножества, т. е. Afl С Ai, Bfl С Д. Обозначим Aj, Д — дополнения соответствующих множеств: А{ = А \ АІ, В І = В\\ВІ. Заметим, ЧТО (Af = Вг И А = 0. Определение 4. Алгебраическую систему Bn = ( ;-,-1, ( 2, , Лг, Єї) с частичной операцией (1.9) будем называть п-псевдополем, если справедливы аксиомы: (АО) tf = id; (Al) (pi((pi(x) -(Pi(y) ) = РІ(Х (Рііу-1) ) -у, хЄ В, уєВ{,і = 2,...,п; (А2) для произвольных і = j Є {2,..., п} выполняется равенство (pitpjtpi = Pj Pi Pj; (A3) для а І = tp i PW i справедливы равенства О І(Х у) = О І(Х) &і(у), где і = 3,..., п и х Є В, у Є В\; (A4) 4 i4 j{ei) = (Pj{ei) при і ф j Є {2,... ,n}. Если определить отображения 7у = (pitpjtpi, то для произвольных, попарно различных г, J, к Є {2,... , п} выполняется коммутативность PiVjk = &jk Pi- (1.10) В дальнейшем будем рассматривать класс n-псевдополей Вп обозначив его символом КШп. Лемма 1. В п-псевдополе Мп, если х Є ВИ то х-1 Є Bb для г = 2,..., п. Доказательство. Действительно, если в (А1) для у Є В{ выполняется у-1 Є Д;, то правая часть тождества (А1) не определена. П Лемма 2. В п-псевдополе Мп эквивалентны следующие утверждения: 1) для любых х Є АІ и у Є В{ справедливо х у Є А,ь; 2) для любых х Є В{ и у Є Bb справедливо х у Є Bb; 3) В{ — подгруппа группы В\. Доказательство. Для произвольных х Є В,пу Є Bb выполнено ху Є В\ = Д; U В{. Из леммы 1 следует, что если у Є Ві} то (рі(у-1) Є Д. Покажем сначала, что из 1) следует 2). Пусть выполнено утверждение 1) леммы. Допустим, что найдутся такие х Є В І, у Є Вп для которых справедливо Х(рі(у-1) Є Д. Тогда для левой части тождества (А1) справедливо (fii(x) Є А{. Следовательно, с учётом 1) и леммы 1: (рі(х)ірі(у) Є Л . Это приводит к тому, что в левой части (рі((рі(х)(рі(у)) Є В{.
Для правой части равенства (А1) выполнено (рі(х(рі(у- )) Є АІ И, следовательно, правая часть равенства принадлежит множеству А{. Получили противоречие, значит из 1) следует 2).
Пусть верно 2), тогда при произвольных х Є А{,у Є В{ для левой части равенства (АІ): (рі((рі(х)(рі(у)) Є Bb. Для правой части тождества (А1): X(pi(y l) Є АІ U A{. Предположим, что найдутся такие х Є А, у Є Д, для которых х(рі(у 1) Є АІ. Тогда в правой части равенства (АІ): (рі(х(р(у 1)) Є АІ и, следовательно, (рі(х(рі(у 1))у Є Л. Пришли к противоречию, значит из 2) следует 1).
Покажем, что из 2) следует 3). Допустим, что найдутся такие ж, у Є Д, для которых ху Є Д, но тогда с учётом 2) и леммы 1 х = {ху)у 1 Є Д. Пришли к противоречию, тогда из 2) следует 3). В обратную сторону утвержде ние очевидно. Непосредственно из доказательства леммы получается Следствие 1. Если выполнено одно из условий леммы 2, то группа Д действует инвариантно на АІ, І = 2,... п. Введём дополнительную запись для операции взятия обратного в группе (Д, ) в виде Е{х) = х . Для последовательного выполнения операций будем использовать бесскобочную запись, например срі(Е(х)) = сріЕ(х). Обозначим LPiEtpi(x) = (fii(x). Для нейтрального элемента е\ группы Д определим элементы ЄІ = ірі{е\). Справедлива Лемма 3. Элементы в{ = (fii(ei) для і = 2,..., п являются левыми нулями п-псевдополя Мп. Доказательство. Для произвольных t Є В,х Є Д,у Є Д справедливо равенство: Pi( Pi( Pi(t)x)y) = Рг Рг( Рг(у)Е р{( р{(х)у) )) Рг( Рг(х)у). (1.11) Действительно, воспользовавшись (АО) и (А1) можно записать:
Построение категорной эквивалентности
В первом параграфе данной главы, состоящем из нескольких подпарагра-фов, строится пример псевдоматричного умножения. В частности, в 2.1.1 при помощи выделенных матриц строится операция умножения и выясняется, когда алгебраическая система над матрицами с таким умножением и обычным сложением матриц будет кольцом. В 2.1.2 выясняется, при каких условиях алгебраическая система с введённой операцией будет изоморфна группе Михайличенко. Доказывается, что группа Михайличенко Gn(M) вложима в группу GLn+i(M.).
В 2.2 даётся строгое определение псевдоматричного умножения и изучаются его общие свойства. В заключении параграфа показана связь между псевдоматричными и ограниченно точно транзитивными группами.
В теории алгебраических систем строятся системы, в которых новые операции конструируются из стандартных. Например, по всякому ассоциативному кольцу К можно построить лиево кольцо L(K), определив умножение равенством а 6 = ab—ba, и йорданово кольцо J {К), определив умножение равенством а о b = ab + ba. Рассматривая конечномерную алгебру, мы можем определить новую операцию умножения, написав таблицу умножения базисных элементов и изучать вопрос о том, когда это умножение ассоциативно (см. [16, 1.5]). Аналогичным образом, в группе G можно определить новую бинарную операцию , положив а b = v(а, 6), где v = v(ж, у) - групповое слово от двух переменных и изучать вопрос о том, когда алгебраическая система (G, ) является группой и как она связана с исходной группой G (см. [5] вопрос 6.47).
Кольцо квадратных матриц Mn{R) над кольцом R естественным образом появляется как кольцо эндоморфизмов модуля над R. Умножение матриц строится при помощи функции / : R — R: п f(xh...,xn,yh...,yn) = 2хгуг = ху\ (2.1) г=1 где х = (жі,... , хп), у = (г/і,... , уп) — строки, а у1 — столбец. Множество всех обратимых матриц из Mn(R) образуют группу GLn(R). Для произвольной матрицы А Є Mn{R) произведение матриц X, Y Є Mn(R), определённое при помощи функции п f(xh...,xn,yh...,yn) = XittijVi = хАу\ (2.2) будем называть псевдоматричным умножением: X-f Y = XAY. (2.3) Аналогично, среди всех квадратных матриц Mn{R) можно рассмотреть и множество матриц GUn (R), образующих группу относительно псевдоматричного умножения (2.2). Предложение 2. Если матрица А є GLn{R), то группы GLn{R) и GL (R), построенные при помощи функций (2.1) и (2.2) изоморфны. Доказательство. Умножение матриц X и У, построенное при помощи функ ции (2.2), записывается при помощи умножения (2.1) в виде (2.3). Тогда изо морфизм задаётся отображением X ь- ХА 1. Если функции (2.1) и (2.2) задают одну и ту же матричную группу СЬП(Д), то возникает естественный Вопрос 1. Можно ли построить функцию / : Rn х Rn — R, задающую умножение матриц с матричной группой, отличной omGLn(R)? Иными словами, необходимо найти такую функцию/ , описывающую умножение строки первой матрицы X и столбца второй матрицы У, при помощи которой можно построить псевдоматричное умножение матриц X -j Y. Положительный ответ на вопрос 1 получим в настоящем параграфе.
Пусть Мп(Р), п 2 - множество квадратных матриц порядкап над полем Р. Стандартное умножение матриц X = (xij) и Y = (г/у) из Мп(Р) определяется формулой п k=l где Z = (zij) = XY. Известно, что относительно обычных операций сложения и умножения Мп(Р) является ассоциативным кольцом с единицей. Определим на множестве Мп(Р) операцию умножения правилом X 0 Y = XAY + XB + CY + D, (2.4) где A,B,C,D - фиксированные матрицы из Мп(Р). Хотим понять, когда алгебраическая система (Мп(Р);0,+) является ассоциативным кольцом. Ответ на этот вопрос дает Теорема 6. Алгебраическая система (Мп(Р); 0, +) является ассоциативным кольцом тогда и только тогда, когда B C D нулевые матрицы Доказательство этой теоремы разобъём на несколько лемм. Вначале рассмотрим вопрос о том, когда умножение 0 ассоциативно. Лемма 8. Умножение, определенное на Мп(Р) равенством (2.4) ассоциативно тогда и только тогда, когда матрицы А, В, С, D удовлетворяют следую щей системе АС = В А, CD = DB, В2 -В = AD, С2-С = DA. Если матрица А невырождена, то эта система равносильна такой: С = А гВА} D = A-\B2-B). Доказательство. Мы должны найти условия, при которых для любых матриц X, У, Z Є Мп(Р) справедливо равенство (XQY)QZ = XQ(YQZ). Расписывая левую часть этого равенства, получим (X 0 Y) 0 Z = XAYAZ + XBAZ + CYAZXAYB+ + DAZ + ХВ2 + CYB + CZ + DB + D, расписывая правую — X 0 (У 0 Z) = XAYAZ + XAYB + XACZ + CYAZ + XAD + ХВ + CYB + C2Z + CD + D.
Приравнивая эти выражения и учитывая, что полученное равенство должно выполняться для произвольных матриц X, У, Z приходим к системе из формулировки леммы. Если матрица А невырождена, то С = ABA и система примет вид (AD)B = В {AD), B2-AD-B = 0, C2-DA-C = 0. Учитывая, что С2 -DA-C = A l{B2 -AD- В)А, последнее равенство следует из второго и его можно отбросить. Переписав второе равенство в виде AD = В2 - Б, легко заметить, что из него следует первое равенство и мы приходим к нужной системе. Из леммы 8 получаем, что если матрица А невырождена, то произведение квадратных матриц, определенное равенством X 0 У = XAY + ХВ + {A-lBA)Y + А 1{В2 - В) ассоциативно. Выясним, когда умножение 0 дистрибутивно, т. е., когда выполняются равенства {Хх + Х2) 0 Y = Хх 0 Y + Х2 0 У, (2.5) X 0 (У: + Y2) = X 0 Yi + X 0 Y2. (2.6) Расписывая левую часть равенства (2.5), получим {Хх + Х2) 0 Y = (Хх + X2)AY + (Хх + Х2)В + CY + D = XXAY + X2AY + ХіВ + X2B + CY + D. Расписывая правую — Xi 0 Y + Х2 0 У = ХіЛУ + Х2ЛУ + ХХВ + Х2Б + 2СУ + 2D. Чтобы выполнялось равенство (2.5), необходимо, чтобы выполнялось CY + D = 0, но, учитывая, что Y - произвольная матрица, видим, что С = D = 0. Аналогичным образом, рассматривая равенство (2.6), приходим к равенствам В = D = 0. Таким образом, справедлива Лемма 9. Умножение 0 дистрибутивно тогда и только тогда, когда В = C = D= 0. Доказательство теоремы 6. Для того, чтобы алгебраическая система (Мп(Р); + , 0) являлась ассоциативным кольцом, необходимо, чтобы алгебраическая си стема (МП(Р); +) являлась абелевой группой, выполнялись аксиомы дистрибу тивности и операция 0 являлась ассоциативной. Очевидно, что первое из этих условий выполнено. Из леммы 9 следует, что для дистрибутивности необходи мы условия В = С = D = 0, но тогда из леммы 8 вытекает, что при этих условиях операция 0 ассоциативна. Известно, что множество матриц Мп{Р) является не только кольцом, но и алгеброй над полем Р. Эта алгебра имеет размерность п , и в качестве базы можно выбрать матрицы Е Є МП(Р), у которых на месте (i, j) стоит единица, а на всех остальных местах - нули. Как следует из теоремы 6, алгебраическая система (МП(Р); 0, +) является ассоциативным кольцом, если операция определена правилом X 0 Y = XAY. Полагая аХ = (axij) для произвольного скаляра а Є Р, получим алгебру над Р, которую будем обозначать через М {Р). В частности, М {Р) - обычная алгебра матриц. Очевидно, что алгебра М {Р) имеет размерность пив качестве базы можно взять матричные единицы E{j,
Определение псевдоматричного умножения и его свойства
В зависимости от ранга ФСГ (параметры m и п) и рассматриваемого множества К. , может иметься несколько неэквивалентных функций/. Далее будем приводить такие функции к функциям псевдоматричного умножения.
Определим псевдоматричную алгебраическую систему и соответствующую категорию. Рассмотрим вопросы эквивалентности псевдоматричных алгебраических систем и дополнительные примеры.
Рассмотрим прямоугольные матрицы А, В Є МТО;П размера т х п, где m — число строк, п — число столбцов матрицы с элементами из множества R. На множестве R может быть задана структура поля, кольца, почти-кольца и т.д. Псевдоматричным умножением двух матриц А и В является матрица С, построенная при помощи функции f:RnxRm R. Элемент Cij матрицы С есть функция / от п элементов г-ой строки матрицы А и т элементов j -ro столбца матрицы В: Cij = f(cLil,CLi2, iCLini Wj, &2j, , bmj). (2.13) Если А Є МТО;П(Л), то символом А{ будем обозначать г-ю строку, а символом А3 — j -й столбец. В этих обозначениях выражение (2.13) можно записать в виде функции произведения строки на столбец: cij = f(Ai,Bj) =Ai-fBj. Псевдоматричное умножение матриц Л и В, построенное при помощи функции /, также запишем в виде А j В = С. Это же обозначение оставим для умножения строки А{ на матрицу В — А{ j В и умножения матрицы В на столбец С3 -B.f С3.
Для того, чтобы различать в написании множество строк и множество столбцов будем записывать множество столбцов в виде Лт, а множество строк в виде nR. Произвольную матрицу можно представить как в виде строки столбцов, так и в виде столбца строк так, что Mm n(R) = n(Rm) = (nR)m.
Введём несколько определений. Для произвольного подмножества матриц G С Mm n{R) определим связанное с ним подмножество строк u\ QR = {Аг є nR\i = 1,... ,m; А є G}, где A \Am і и подмножество столбцов Ед = {А3 Є Rm\j = 1,... ,n; А є G}, где A = (A1,.. .,An).
Будем говорить, что отображение / : Гід Х ЕД — R задаёт псевдоматричное умножение на множестве G, а трёхсортную алгебраическую систему (Гід, Ед, R] /) будем называть псевдоматричной алгебраической системой если выполнены аксиомы: AMI. Для произвольных матрицы А Є G и столбца С-7 Є Ед существует единственный столбец -В-7 Є Ед, для которого справедливо равенство A- j В3 = С3; АМ2. Для произвольных матрицы В Є G и строки СІ Є Гід существует единственная строка А{ Є Гід, для которой справедливо равенство A{-f В = Cf: АМЗ. Умножение матриц ассоциативно. Иными словами, для произвольных А, В, С Є G справедливо равенство (А f В) f С = A j (В j С).
Рассмотрим предварительно Определение 8. Подмножество матриц G максимально в Mm n(R), если для произвольных А Є G и В}С Є Mm n(R) из того, что A-fB GuC-jA G, следует, что В}С Є G. Тогда справедлива Лемма 17. Если подмножество G в псевдоматричной алгебраической системе (Г2д, д, R] /) максимально, то (G; /) группа. Доказательство. Из аксиом псевдоматричного умножения, с учётом максимальности множества G, следует, что для произвольных матриц Ae(QR)m\G, єп(д)\С, В,СєС, справедливо АВ ф G и CD С В этом случае из аксиом AMI и АМ2 можно построить левое и правое деление для матриц из G так, что (G;-f,\,/) — квазигруппа. С учётом АМЗ данная квазигруппа будет ассоциативной, а значит является группой. От записи группы с сигнатурой {fi\i//} можно перейти к сигнатуре {/, ,е}, поскольку для произвольного х Є G можно записать е = х/х и х 1 = е/х.
Рассмотрим несколько дополнительных примеров псевдоматричных групп. Пример 5. В качестве главного примера псевдоматричного умножения рассмотрим обычное умножение матриц, например, над полемЖ. В этом случае соответствующая псевдоматричная алгебраическая система ( R,SR,IR; /) с функцией f в виде (2.4) строится на подмножестве матриц G = {х Є Rn I det(ir) т 0} и состоит из всех невырожденных матриц из GLn(M.). Множество строк S7R = "Ж. \ {(0,... , 0)} состоит из всех строк nWL, за исключением нулевой строки. Аналогичная ситуация для множества столбцов R = R"\{(0,...,0) }.
Эквивалентность категорий
Доказательство теоремы 6. Для того, чтобы алгебраическая система (Мп(Р); + , 0) являлась ассоциативным кольцом, необходимо, чтобы алгебраическая си стема (МП(Р); +) являлась абелевой группой, выполнялись аксиомы дистрибу тивности и операция 0 являлась ассоциативной. Очевидно, что первое из этих условий выполнено. Из леммы 9 следует, что для дистрибутивности необходи мы условия В = С = D = 0, но тогда из леммы 8 вытекает, что при этих условиях операция 0 ассоциативна.
Известно, что множество матриц Мп{Р) является не только кольцом, но и алгеброй над полем Р. Эта алгебра имеет размерность п , и в качестве базы можно выбрать матрицы Е Є МП(Р), у которых на месте (i, j) стоит единица, а на всех остальных местах - нули. Как следует из теоремы 6, алгебраическая система (МП(Р); 0, +) является ассоциативным кольцом, если операция определена правилом X 0 Y = XAY. Полагая аХ = (axij) для произвольного скаляра а Є Р, получим алгебру над Р, которую будем обозначать через М {Р). В частности, М {Р) - обычная алгебра матриц. Очевидно, что алгебра М {Р) имеет размерность пив качестве базы можно взять матричные единицы E{j,
Будем считать, что операция 0 ассоциативна. Хотим выбрать такое подмножество G С Мп(Р), что алгебраическая система (G; О) является группой. Выясним вопрос о существовании единичного элемента. Если / - единичный элемент этой группы, то для любого элемента X Є G должны выполняться равенства
/01 = ІАХ + IB + CX + D = X, (2.7) І0/ = XAI + XB + CI + D = X. (2.8) Из равенства (2.7) получим (IA + С - Е)Х = -IB - D. Учитывая, что X произвольно, имеем 1А + С = Е, IB = -D. Аналогично, рассматривая равенство (2.8), приходим к системе AI + В = Е, CI = -D. Таким образом, справедлива Лемма 10. Элемент І Є Мп(Р) является единичным относительно умножения 0; если выполнена следующая система равенств: 1А = Е-С, А1 = Е-В, IB = D. В частности, если операция 0 ассоциативна и det А ф 0; то эта система равносильна системе 1=(Е-С)А-\ В = АСА-\ Стандартному произведению матриц из Мп{Р) соответствует билинейная форма f(x,y) = хЕу\ где х = (х\} Х2, хп),у = (г/і,г/2? Уп) Є Рп, а символ t означает транспонирование. Аналогично, матричному произведению 0, определенному равенством (2.4) соответствует п функций: Zij = Zij(Xi, Y ) = Х%АУ3 + Х{В + QY3 + dij, где для квадратной матрицы М символ М{ означает ее г-ю строку, а символ М3 - j -й столбец, dij - элемент, стоящий на месте (i,j) в матрице D. В частности, произведение 0 определяет п различных действий Oj, і = 1, 2,.. . ,п, матрицы Y из Мп(Р) на векторном пространстве Рп: VQiY = v(AY) +vB + QY + Д, ve Pn. Заметим, что это действие можно рассматривать как аффинное преобразование векторного пространства Рп: VQiY = v(AY + В) + C%Y + Д, которое будем записывать как пару {AY + B, dY + Di). При этом матрица AY + определяет линейное преобразование векторного пространства Рп, а вектор CiY + Д определяет сдвиг. Полугруппа С{Рп) линейных преобразований векторного пространства Рп изоморфна полугруппе матриц Мп{Р). Аналогично, полугруппа аффинных преобразований АС(Рп) изоморфна множеству пар (МП(Р),РП). Из приведенных выше рассуждений легко следует Предложение 3. Если операция 0 ассоциативна, то мы имеем п гомоморфизмов Ifi tpi(Y) = {AY + B, СІУ + Д), i = l,2,...,n, полугруппы линейных преобразований (МП(Р), ) векторного пространства Рп в полугруппу аффинных преобразований ((Mn(P), Pn), Qi) векторного пространства Рп.
Рассмотрим множество матриц с произведением типа (2.4) и покажем, что оно является группой, которая при Р = Ш изоморфна группе Михайличенко. Рассмотрим следующее матричное произведение X Y = XVY + XU + U% X, Y є MJP), (2.9) где / О ... О \ U Є MJP nv-1 J 1 V / 0 1 ... 1 - матрица порядка п, у которой все элементы, за исключением элементов последней строки, нулевые, V=(En-U)(En-Ut Еп-1 п — \ I \ -1...-1 где Ek - единичная матрица порядка к. Далее символом Е будем обозначать единичную матрицу порядка п. Можно заметить, что произведение (2.9) определяет единственную функцию строк и столбцов: п— 1 г=1 f(xhx2,...,xn;yhy2,...,yn) = 2(хг -хп)(уі -уп) + хп + уп. Или в матричном виде /(ж, у) = xVyf + хп + уп. Легко заметить, что det(E — U) = det(E — U1) = 0, а потому det V Определим также матрицу 0. I = L I o\ Еп-\ 0 v 0...0 / Є MJP) Следующая лемма устанавливается непосредственной проверкой. Лемма 11. Для определённых выше матриц порядка п 2 справедливы соотношения 1)U = U2; 2) UV = VUf = 0; 3) UH = IU = 0; 4)VI + U = E. С помощью этих равенств легко проверяется Лемма 12. Матричное умножение (2.9) является ассоциативным. Доказательство. В силу леммы 8 достаточно убедиться, что справедлива следующая система равенств VU1 = UV, и2-и = о, ([/ )2 - Ці = о. Первое и второе равенства непосредственно следуют из пунктов 2 и 1 леммы 11. Третье равенство вытекает из второго, а потому также выполняется.
Рассмотрим алгебраическую систему (МП(Р);,+). Нетрудно убедиться, что она не является кольцом, так как не выполняется дистрибутивность. Также нетрудно проверить, что произведение 0X, где 0 - нулевая матрица из Мп{Р) не всегда равно 0.
Возникает естественный вопрос: можно ли вложить множество Мп{Р) в множество матриц большего размера так, чтобы операция индуцировалась обычным матричным умножением? Для ответа на этот вопрос определим множество матриц Gn(P) = {Y є Мп{Р) (1е1(УУ + U) ф 0}. Целью параграфа 2.1.2 является доказательство следующего утверждения. Теорема 7. Множество Gn(P), п 2 является группой относительно операции . При Р = Ш эта группа изоморфна группе Михайличенко, определенной в [11]. Для доказательства теоремы 7 докажем некоторые вспомогательные утверждения.