Введение к работе
Актуальность теш. Существенное развитие теории вбелевых групп и модулей связано с поиском точных соотношений МЄЖДІ свойствами группы или модуля и свойствами их групп или модулей гомоморфизмов, групп и колец эндоморфизмов. Тот факт, что две периодические абелевы группы с изоморфными кольцами эндоморфизмов изоморфны, был установлен Бэром в 1943 г. 151 в случае ограниченных групп и доказан Капланским в 1952 г. [81 в общем случае. Этот результат Бэра-Капланского послужил началом многочисленных исследований в этом направлении. .Выяснение условий, при которых кольцо (группа) всех эндоморфизмов данной абелевой группы определяет ее. строение, является ванной задачей теории' абелевнх групп ( СП, проблеми 41, 43 ). Аналогом втих известных проблем, поставленных Л.Фуксом , является задача опрвделяемости абелешх групп и модулей группами и модулями гомоморфизмов.
Концентрируя внимание на группах эндоморфизмов End(A) и группах гомоморфизмов Нап(С,А) или Ват(А,С), в отличив от колец эндоморфизмов, мы получаем возможность использовать мощные теоретико-групповые методы, которые позволяют получить в атом направлении новые результаты.
Одним из значительных методов теории абелевнх групп является также изучение свойств модулей над дискретно нормированным кольцом. Впервые это было отмечено в фундаментальных работах Л.Я.Куликова [11, [21 и И.Капланского 191. Результаты этих работ показали, что модули над дискретно нормированными кольцами по своим свойствам близки примарннм абелевым группам, и в то не время является их существенным расяаиренивм. Класс этих модулей включает также большие классы абелевнх смешанных групп а групп
без кручения. Таким образом, одним из ваюшх направлений в теории абелевых групп является углубление теоретико-модульных результатов.
Алгебраическое строение группы Нот. представляет как самостоятельный интерес, так и позволяет решать задачи теории групп, колец и модулей. Нужно отметить, что при решении вопроса об~ определяемости абелевых групп группами гомоморфизмов очень важно знать строение грушш гомоморфизмов одной абелевой группы в другую. Однако точное строение грушш Нст(А,В) известно лишь в некоторых случаях. Один из основных случаев , когда В не имеет кручения, еще мало изучен. Даже в случае, когда В - группа ранга 1, описание строения группы Нат(А,В), для абелевых групп без кручения А, В , представляет собой трудную задачу ( 13], проблема 30 ), которая еще не получила полного решения.
Проблема определения кольцевых структур на аддитивной
группе, впервые поставленная Быомонтом .161, как и проблема
определяемости относится к основным проблемам теории абелевых
» групп и теории колец. Кольца на группе А ( не обязательно
ассоциативные ) ассоциированы с билинейными функциями, которые
образуют аддитивную группу умножений (А). Изучение этой
группы дает определенные сведения о кольцах на группе А .
Цель работы. Исследовать вопрос об изоморфизма абелевых
групп и р-адичаских модулей с изоморфными группами и модулями
гомоморфизмов в основном для групп и модулей без кручения.
Исследовать вопрос об изоморфизме группы гомоморфизмов Нст(А,В)
абелевых групп А и В группа В в случае, когда А и В принадлежат
хорошо известным классам групп ( классу вполне разложимых и
однородно разложимых абелевых групп без кручения и некоторым
.--5-
другим специальным классам групп ). описать строение группы умножений Uult(A) на вполне разложимой абелевой группе без кручения А и выяснить, когда группа ilult(A) определяется группой А.
Метода исследования. В диссертации используются методы теории абелевых групп и модулей, теории категорий, гомологические метода, методы теории чисел и множеств.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Основными результатами работа можно считать следующие :
-
Найдено достаточное условие изоморфизма Hom(A,B)sB для группы без кручения А ранга 1 и любой абелевой группы В без кручения. Описывается класс групп, для которых это услог :е является также и необходимым.
-
Выделены классы абелевых групп, которые определяются группами гомоморфизмов. Решена аналогичная задача для р-адических модулей.
-
Найдены необходимые и достаточные условия на абелеву группу О, чтобы всякий раз из изоморфизма групп гомоморфизмов Hom(G,A)sHcm(C,B) { или Hom(A,C)sHom(B,C) ) для абелевых групп А и В из хорошо известных и специальных классов групп следовал бы изоморфизм самих групп jlsB. Решена аналогичная задача для р-адических модулей.
практическая ценность. Работа имеет теоретическое значение. Результаты данной работы могут быть использованы при изучении групп гомоморфизмов абелевых. групп и модулей над коммутативными кольцами, могут применяться при решении аналогичных задач в теорга* модулей и других алгебраических структурах.
АпроОвцяя работа. Основные результата диссертации доклядавались и обсуждались на III Ыеждународной конференции по
алгебре /Красноярск, 1993 г./, на алгебраических семинарах Московского педагогического государственного университета и Нижегородского педагогического института.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы, список которых приведен в конце автореферата. В совместных работах постановка задачи и выбор метода исследования принадлежат А.Ы.Себельдину. Диссертанту принадлежат формулировки .и доказательства всех теорем.
Структура и объем работы, диссертационная работа выполнена на 93 страницах машинописного текста и состоит из введения и четырех глав. Библиография содержит 36 наименований.