Введение к работе
Актуальность темы. Выполнение тех или иных тождеств является одним из существенных свойств алгебраических систем. Важные классы различных алгебр выделяются по признаку выполнения (или не выполнения) некоторых тождеств. Фундаментом многих исследований являются работы А. И. Ширшова1, доказавшего теорему о свободе подалгебр в свободных алгебрах Ли.
В настоящей работе изучаются тернарные алгебры с некоторыми тождественными соотношениями. Результаты интерпретируются на языке перечисления некоторых тернарных деревьев.
Теория графов — важный раздел современной математики, как с точки зрения внутренних стимулов ее развития, так и для разнообразных и многочисленных приложений.
За последние десятилетия теория графов2'3 превратилась в один из наиболее бурно развивающихся разделов математики. Это связано с тем, что теория графов, родившаяся при решении головоломок и занимательных задач, стала в настоящее время простым, доступным и мощным средством решения вопросов, относящихся к широкому кругу проблем. Особенно важна роль теории графов в современном программировании.
Деревья2'4, классический объект математики, также являются графами, только организованными специальным образом. Большое распространение получили бинарные (двоичные) деревья. Тернарные (троичные) деревья являются естественным обобщением бинарных. Таким образом, тематика данной работы является актуальной.
Основным объектом исследования в данной работе являются многообразия тернарных алгебр, т. е. алгебр с трилинейной операцией. В этом
1 Ширшов А. И. Подалгебры свободных лиевых алгебр. // Математический сборник, т. 33 (75),
N 1.-1953.-с. 441 -452.
2 Ф. Харари, Э. Палмер. Перечисление графов: Перев. с англ. — М.: Мир, 1977. — 326 с.
3Р. Стенли. Перечислительная комбинаторика: Перев. с англ. — М.: Мир, 1990.—440 с.
4Moon J. W. Counting labelled trees.—Canadian Mathematical Monographs N 1, Canadian
Mathematical Congress, 1970. —115 p.
классе в качестве предмета исследования выступают конечно порожденные алгебры, а также рост коразмерностей многообразий абсолютно свободных алгебр, свободных симметричных и кососимметричных алгебр и некоторых других. Для этих целей используются обычные производящие функции, а также экспоненциальные производящие функции (функции сложности).
Цель работы. Целью диссертационной работы является исследование:
алгебраичности производящей функции абсолютно свободной тернарной алгебры, а также функций сложности свободных симметричных и кососимметричных алгебр;
Шрайеровости многообразий тернарных (5-алгебр;
алгебраичности функций сложности разрешимых и вполне разрешимых алгебр в рассматриваемых многообразиях тернарных алгебр;
алгебраичности функций сложности многообразий вполне левониль-потентных и левонильпотентных тернарных алгебр;
интерпретации понятий разрешимости и левонильпотентности для тернарных алгебр в терминах запрещенных поддеревьев.
Методы исследования. В работе использованы методы теории многообразий линейных алгебр, комбинаторные методы, техника производящих функций.
Научная новизна. В диссертации получен ряд результатов для многообразий тернарных алгебр с некоторыми тождественными соотношениями. Все полученные результаты являются новыми.
Научные положения, выносимые на защиту.
Алгебраичность производящей функции абсолютно свободной тернарной алгебры, а также функций сложности свободных симметричных и кососимметричных алгебр;
Шрайеровость многообразий тернарных (^-алгебр;
Алгебраичность функций сложности разрешимых и вполне разреши-
мых алгебр в рассматриваемых многообразиях тернарных алгебр;
Алгебраичность функций сложности многообразий вполне левониль-потентных и левонильпотентных тернарных алгебр;
Интерпретация понятий разрешимости и левонильпотентности для тернарных алгебр в терминах запрещенных поддеревьев.
Достоверность результатов. Достоверность результов, полученных в данной работе, определяется обоснованными теоретическими выкладками и строгими доказательствами, опирающимися на методы теории многообразий линейных алгебр, комбинаторные методы, технику производящих функций.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в результаты могут найти применение в исследованиях по алгебре и комбинаторике.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на XIV Международной конференции "Проблемы теоретической кибернетики" (Пенза, 2005), международной молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения —2005" (Казань, 2005), на VI Международной алгебраической конференции на Украине (Kamyanets-Podilsky, 2007), семинарах кафедры алгебро-геометрических вычислений УлГУ.
Личный вклад автора. В диссертации изложены результаты, полученные как лично автором, так и совместно с научным руководителем проф. В. М. Петроградским. Постановка задачи выполнена совместно с научным руководителем.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ, список которых приведен в конце автореферата, в том числе 1 статья в журнале из списка ВАК.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения,
пяти глав и списка литературы. Содержит 81 страницу машинописного текста, список литературы из 25 наименований.
