Введение к работе
Актуальность темы исследования. Задача получения формул для числа представлений формы А положительно определенной квадратичной формой Q является одной из центральных в теории чисел. Если отождествить квадратичную форму с ее матрицей, то удобно говорить о решении матричного уравнения
Q[X] = lXQX = А, X Є Matn>m{Z). , (1)
Для m = 1 задача сводится к рассмотрению представления числа квадратичной формой.
В решении проблемы выделяется два подхода: арифметический и аналитический. Целью арифметического направления является получение точных формул для числа решений уравнения (1) и соответствующей системы диофантовых уравнений. Развивая аналитические методы в теории квадратичных форм, которые были введены Л. Дирихле, К. Зигель (см. [1]) пришел к общим формулам для числа представлений формы от меньшего числа переменных родом форм. Применяя операторы Гекке, А.Н. Андрианов (см. [4]) для произвольных размерностей т получил усреднение числа представлений формы А родом [Q]. В 90-е гг. Й. Китаока (см. [2], [3]), используя локальные плотности и зигелевы модулярные формы, получил качественные и оценочные результаты о представлении формы А формой Q размерностей п > 2т + 2 и п ^ 2т4-3(т ^ 2). В 1996 г. В.Г. Журавлев (см. [7]) доказал общую формулу для веса примитивных представлений формы А родом [Q] положительно определенных форм Q, которая в совокупности с масс-формулой и каноническими 2-символами локальных форм Конвея-Слоэна (см. [8]) позволяют вычислять вес примитивных представлений в терминах локальных инвариантов.
Задача о представлении форм квадратичными формами существенно
различается для случая четной и нечетной коразмерности, поскольку им
соответствуют тета-ряды полу целого и целого веса соответственно. Случай
нечетной коразмерности был всесторонне изучен В.Г. Журавлевым (см. [7])
и его учениками (В.Е. Крылов, СВ. Федорова, А.В. Хорошева).
Четная коразмерность в большей степени рассмотрена для случая пред-ИМ;. НАЦИОНАЛЬНАЯ ІІІБЛ ПОТЕКА
ST9dffl
ставлення натурального числа квадратичной формой. В диссертации получены формулы для веса представлений формы А родом [Q] для любых положительно определенных форм А и Q размерностей т = п — 2ип соответственно с взаимно простыми определителями. А.Дж.Эрнест (см. [5]) исследовал представимость бинарных квадратичных форм положительно определенными кватернарными формами и доказал существование конечного числа классов примитивных 2-регулярных положительно определенных квадратичных форм размерности четыре. В диссертации получены не только условия существования, но и формулы для веса представлений бинарной формы родами четных и нечетных кватернарных форм.
Усилиями ряда специалистов (Линник, Малышев, Фоменко, Голубева, Иванец) был разработан аналитический подход, в результате чего ими были получены асимптотические формулы для количества целых точек на целочисленном эллипсоиде с числом переменных I > 4. В работе О.М. Фоменко и Е.П Голубевой (см. [6]) получены результаты о равномерной распределенности для трехмерных эллипсоидов. Задача, решенная в диссертации, позволяет рассматривать угловое распределение целых пар векторов на трехмерных эллипсоидах, которое, как оказалось, не равномерно.
Таким образом, основные направления исследований были сосредоточены на изучении представлений родом [Q] квадратичных форм А нечетной коразмерности. В основе диссертационного исследования лежит рассмотрение мало изученного случая четной коразмерности и получение точных формул для веса представлений формы родом квадратичных форм. Более того, полученные результаты позволяют расширить представления о распределении целых точек на n-мерных эллипсоидах.
Цель работы. Найти условия существования представлений для р -элементарных форм аА размерности m = п — 2, где параметр а - целое число, (а, detA) = 1; получить формулы для веса рп(аА; [Q]) примитивных представлений и для веса п(аА; [Q]) всех представлений в случае, когда определители форм Q и аА взаимно простые; рассмотреть приложение формул к задаче об угловом распределении пар целых точек на трехмерных эллипсоидах.
Методы исследования. В основе исследований лежит локальный метод Минковского-Хассе, аддитивный метод склейки форм, теория р-адических
символов и метод дополнения Конвея и Слоэна.
Научная новизна диссертационного исследования состоит в следующем. Впервые получены точные формулы для веса примитивных представлений родом квадратичных форм коразмерности п — та = 2 (т > 2). Определен вес примитивных и всех представлений бинарной формы аА родом [Q] кватернарных форм Q при условии, что (det(aA),detQ) = 1. А также введено понятие углового распределения на различных эллипсоидах, которое в отличие от распределения по мере не равномерно.
Практическая и теоретическая ценность. Полученные в диссертации результаты носят теоретический характер и могут быть использованы в арифметической теории квадратичных форм для решения диофантовых уравнений и систем; в теории равновесных кодов; в дискретной геометрии (многомерные решетчатые упаковки и геометрические дизайны) и в кристаллографии.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на IV Международной конференции "Современные проблемы теории чисел и ее приложения"(Тула, 2001 г.), на V Международной конференции "Алгебра и теория чисел. Современные проблемы и приложения"(Тула, 2003 г.), а так же докладывались и обсуждались на научных конференциях ирофессорско-преподовательского состава ВГПУ (1999 - 2005 г. г., секция "Алгебра и теория чисел"), на научных семинарах по "Теории чиссл"ВГПУ под руководством доктора физико-математических наук, профессоров Н.М. Тимофеева (1999 - 2000 г.г.), В.Г. Журавлева (2000 - 2005 г.г.).
Публикации автора. Основные результаты диссертации опубликованы в шести работах [10] - [15].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих двенадцать параграфов и изложена на 126 страницах машинописного текста. Список литературы содержит 62 наименования, включая работы автора.
