Представления простой супералгебры В(1,2) Трушина, Мария Николаевна

Введение к работе

Актуальность темы, Изучение алгебр и их представлений (модулей) является классическим направлением алгебраических исследований. Линейные представления играют важную роль при изучении конечных групп [14], компактных топологических групп [10] , тождеств, выполняющихся в данной алгебре [12]. На протяжении фундаментальных исследований многих выдающихся алгебраистов (Ф.Э.Молин, Ф.Фробениус, Д.Веддерберн, Э.Картан, Р.Д.Шейфер, А.А.Алберт, А.И.Мальцев и др.) в рамках структурной теории конечномерных алгебр был выработан общий подход к их изучению. Для важнейших классов алгебр (ассоциативных, лиевых, альтернативных, мальцевских и йордаковых) доказано, что каждая конечномерная алгебра над хорошим полем является прямой суммой разрешимого радикала и полупростой подалгебры; полупростая компонента является прямым произведением простых идеалов.

Заметим, что радикал алгебры (как и произвольный ее двусторонний идеал) является модулем над полупростой компонентой.

Первым классом неассоциативных алгебр, подвергшихся серьезному и систематическому изучению, являются алгебры Ли. Описание простых конечномерных алгебр Ли можно найти, например, в монографии [2]. Хорошо известна теорема Г.Вейля о полной приводимости представлений любой полупростой конечномерной алгебры Ли над полем характеристики 0. Аналог этого замечательного результата справедлив и для других многообразий алгебр, в частности, альтернативных и йордановых.

Классическим примером альтернативной неассоциативной алгебры является алгебра чисел Кэли, построенная еще в 1845 г. Эта алгебра и ее обобщения — так называемые алгебры Кэли-Диксона — играют важную роль в теории альтернативных алгебр: конечномерная простая альтернативная алгебра либо ассоциативна, либо есть алгебра Кэли-Диксона над своим центром [22]. Р.Д.Шейфер [21] и Н.Джекобсон [17] описали строение альтернативных бимодулей над конечномерными альтернативными алгебрами: если А — конечномерная альтернативная алгебра, М — точный неприводимый альтернативный .А-бимодуль, то либо М — ассоциативный бимодуль над ассоциативной алгеброй, либо М — регулярный бимодуль над алгеброй Кэли-Диксона, либо М — бимодуль Кэли над алгеброй обобщенных кватернионов.

Структура неприводимых представлений простых йордановых алгебр была описана около 50 лет назад Н.Джекобсоном [18].

Таким образом, всякий модуль над простой конечномерной алгеброй является прямой суммой неприводимых компонент, структура которых полностью описана. К настоящему времени по модулю простых ассоци-

ативных описаны простые альтернативные, мальцевские и йордановы алгебры без ограничения на размерность [3], [13], [4].

В последние два десятилетия наметился серьезный интерес к изучению суцерсЦіг^брг-Каждая--еудералгебра--двля&т&я-обьект-ом, состоящим-из обычной алгебры и модуля над ней. Особый интерес представляют простые супералгебры, в которых соединены некоторым естесственным образом простая алгебра и ее неприводимое представление. Целесообразность изучения супералгебр в значительной степени связана с возможностью их использования при решении известных теоретико-кольцевых проблем. Так с помощью супералгебр А.Р.Кемер [8] решил проблему Шпсхта(появилась возможность сводить полилинейные тождества к тождествам от меньшего числа переменных). Е.И.Зельманов решил проблему А.И.Ширшова о разрешимости йордановых ниль-алгебр ограниченного индекса над полем характеристики 0 [5], показав, что не существует соответствующих первичных супералгебр. В работе [6] Е.И.Зельманов и И.П.Шестаков доказали нильпотентность квазирегулярного радикала свободной альтернативной алгебры над полем нулевой характеристики (проблема К.А.Жевлакова). Также супералгебры используются для построения контрпримеров [15]. С.В.Пчелинцев доказывал нетривиальность тождеств, опровергая их с помощью некоторой вспомогательной супералгебры [11],

Для решения проблемы Шпехта [8] потребовалось описание простых ассоциативных супералгебр. Для решения проблемы Жевлакова [6] оказалось необходимым описание первичных альтернативных супералгебр. Задача изучения представлений простых супералгебр в различных многообразиях была сформулирована И.П.Шестаковым в Днестровской тетради [1].

Алгебра А над полем jP называется супералгеброй, если она предста-вима в виде прямой суммы А = А₀ ф А\ подпространств и AiAj С A;₊j, где i,j Є Z₂. Например, обычная алгебра Грассмана G = Go Ф Gi является супералгеброй, где Go и Gi — линейные пространства, порожденные словами четной и нечетной длины соответственно. Грассмановой оболочкой G(A) супералгебры А называется обычная алгебра G{A) = Ао Go + Ai Gi. Супералгебра А называется альтернативной (йор-даповой), если ее грассманова оболочка G(A) является альтернативной (йордановой) алгеброй. Тем самым, супералгебра А является альтернативной & она удовлетворяет тождествам

(сц,<ц,а_к) = (-l)^t3+1(aj,ai,ak) = (-l)^jfc+l(a;,a_fc,a.,),

(ao,a₀, a;) = 0,

где t,j,fc Є {0,1}, сц Є /Ц

йордановой *=> она удовлетворяет тождествам

^аі^аі = {-lY'a-jai,

(-1)^Л,+Л,(в|О_{>а_к>а_л-) = 0,

где г, j, і, / Є {0,1}, а,- Є Лі.

Приведем примеры неассоциативных альтернативных супералгебр:

1) Супералгебра 5(1,2). Характеристика F равна 3,

Б(1,2) = Ло + Аі — коммутативная супералгебра над F, у которой А₀ = F-l, Ai = F-x+F-y,где 1 — единица супералгебры, игу = —г/г = 1.

2) Супералгебра ?(4,2). Характеристика F равна 3, Ло = Mo(F) —
алгебра 2x2 матриц над F, Ах — F-mj-f F-m₂ — 2-мерный неприводимый
бимодуль Кэли над Ло; т.е., Ло действует на Лі следующим образом

ец mk = Sikirij, і, j, к є{і, 2}₍

та а = 3 та;

где а Є Ао,т Є Лі, а і-> а — симплектическая инволюция в M₂(F). Нечетное умножение на Лі определено равенствами

ml = —е₂1, т., = Є12, mim₂ = ец, m₂mi = — е₂₂.

3) Скрученная супералгебра векторного типа 5(Г, D,y). Ха
рактеристика F равна 3, Г — коммутативная и ассоциативная супер
алгебра над F, D — ненулевое четное дифференцирование Г и 7 Є Го.
Пусть Г означает изоморфную копию векторного пространства Г с ото
бражением изоморфизма а ь-> а. Тогда рассмотрим прямую сумму век
торных пространств В(Г,Б,7) = Г + Г и определим на ней умножение
по правилам

а -Ь= аЬ,

а Ь = ab,

5.6=(-1)

5.6= (-1)1%аЬ + 2Я(а)6 + aD(b)),

где а, Ь Є Го U Гі, аб — их произведение в Г. Градуировка на В(Г, D,y) задается так: Г₀ + Г_х полагается четной частью, а Гі + Г₀ — нечетной частью супералгебры.

4) Супералгебра Кэли-Диксона 0(4,4). Характеристика F равна 2 0(4 4) = Н + vH — алгебра Кэли-Диксона над F с естественной Z₂-градуировкой, индуцированной процессом Кэли-Диксона, примененным

- _к-алгебре-о6о6щенных-кватер«ионов И

5) Двойная супералгебра Кэли-Диксона 0[и]. Характеристика F равна 2, 0[и\ = F{u] _F О = О + Ои, где F[u] = F + Fu,v? ф 0 F, - простая 2-мерная супералгебра с четной частью F я нечетной частью Fu. Градуировка на 0{и] определяется так: О является четной частью, а Ои — нечетной частью супералгебры.

В работе [6] Е. И. Зельманов и И. П. Шестаков описали простые альтернативные супералгебры характеристики ф 2, 3. Они оказались либо ассоциативными, либо с нулевой нечетной частью (четная часть при этом является кольцом Кэли-Диксона). И. П. Шестакову в работе [16] удалось снять ограничение на характеристику. Было получено, что всякая простая неассоциативная альтернативная супералгебра с ненулевой нечетной частью изоморфна одной из супералгебр: l.c/wrF = 3,B(l,2); 2.charF = 3,B(4,2);

-i.charF = 3,В(Г,І),7),где Г = Го - В-простая ассоциативно-коммутативная алгебра над F,0 ф D Є ВегГл Г; 4.cfcarF = 2,0(4,4);

b.charF = 2,0{и].

Йордановы супералгебры менее изучены, чем альтернативные. И работах В. Г. Каца [19] и Кантора [7] получена классификация простых йордановых супералгебр над алгебраически замкнутым полем характеристики 0: Всякая простая конечномерная нетривиальная (т.е., с ненулевой нечетной частью) йорданова супералгебра над алгебраически замкнутые полем характеристики 0 либо специальная, либо супералгебра Каца, либо супералгебра грассмановых скобок Пуассона.

Над полями положительной характеристики ф 2 классифицированы простые конечномерные йордановы супералгебры с полудростои четной частью [20]. Среди этих супералгебр встречается супералгебра 3(1,2), как супералгебра билинейной формьі,и аналог эрмитовых матриц с коэффициентами из В (1,2) .

Эквивалентные общие понятия модуля над алгеброй и представления алгебры восходят к Зйленбергу. В случае супералгебр они принимают следующий вид. Альтернативным (йордановым) супермодулем над супералгеброй А = А₀ + А_х называется линейное пространство М = М₀ ф М_г над полем F, для которого расщепляемое нулевое расширение R = М А является альтернативной (йордановой) супер алгеброй относительно градуировки Ко = М_й ф Ло, R\ = М\ А\.

Н.А.Писаренко в своей кандидатской диссертации [9] получил описание всех неприводимых конечномерных представлений простых альтернативных супералгебр над алгебраически замкнутым полем характеристики, отличной от 2 и 3. Согласно [9] альтернативные супермодули, не являющиеся альтернативными модулями, возникают только над ассоциативной супералгеброй матриц вида

(::)(!!)

где первое слагаемое - четный элемент, а второе - нечетный, и х,у -скаляры. Эти модули являются 2-мерными над F и имеют один из трех возможных типов: l)M = Fn Fm,

пи = m, ти ~ 0, ип = —2т, вот = —п (5 = 0, а = — 1)

2)М = Fn ф Fm,

пи = т,ти = 2га,ип = 0,итп — п (S = 0,а = 1)

3)М = .Fra Fm,

^{1 + а} г /і \

пи = —;—т,тм = дп,ип = тп,ит = (1 — а)п,

(7

где а 6 F — параметр, 5 - ненулевой корень уравнения ё² + aS + а² = 0.

Указанные модули попарно неизоморфны при различных наборах параметров.

Из приведенного обзора видна актуальность диссертационного исследования.

Дели диссертационного исследования:

1. Получить классификацию неприводимых альтернативных представлений супералгебры (1,2).

2. Получить классификацию неприводимых йордановых представлений супералгебры 5(1,2).

3. Исследовать неразложимые альтернативные представления супералгебры .8(1,2).

4. Исследовать неразложимые йордановы представления супералгеб-ры 5(1,2).

Новизна результатов,

В результате диссертационного исследования получен ряд новых результатов. Выделим следующие из них:

5. Получека классификация конечномерных неприводимых альтернативных представлений супералгебры 5(1,2) над алгебраически замкнутым полем.

6. Получена классификация конечномерных неприводимых йордано-вых представлений супералгебры 5(1,2) над полем характеристики 0.

7. Получена классификация конечномерных неприводимых йордано-вых представлений супералгебры 5(1,2) над алгебраически замкнутым полем характеристики -ф 2.

8. Получен способ пострения неразложимых альтернативных представлений супералгебры 5(1,2), содержащих заданный цоколь.

9. Получен способ построения неразложимых йордановых представлений сулералгебры 5(1,2). Б случае характеристики 3 этим методом получены примеры йордановых неразложимых супермодулей над 5(1,2) любой размерности, кратной 3, не являющихся альтернативными. Также построен пример йорданового неразложимого супермодуля над 5(1,2) в случае характеристики 5.

Методы исследования. Результаты данной работы получены использованием различных методов линейной алгебры. Построение неразложимых супермодулей проводится определенным достраиванием базиса Жордана для некоторого оператора.

Теоретическое и прикладное значение. Работа носит теоретический характер. Применяемые в ней методы могут быть использованы для изучения представлений других супералгебр, в частности 3-мерной супералгебры Капланского.

Апробация работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на IV Международной алгебраической конференции, посвященной 60-летию профессора Ю. И. Мерзлякова в г. Новосибирске (2000 г.), на международном семинаре памяти профессора Л. А. Скорнякова в г.Волгограде (1999 г.), на семинарах кафедры высшей алгебры Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в четырех публикациях. Их список приведен в конце реферата.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, девяти параграфов основного текста и списка литературы, содержащего 26 работ отечественных и зарубежных авторов. Работа выполнена на 62 листах печатного текста.