Введение к работе
Актуальность темы Арифметика квадратичных форм является одним из активно разрабатываемых разделов современной теории чисел. В настоящее время наибольший интерес представляет случай целочисленных тернарных квадратичных форм, поскольку к ним не применимы те аналитические методы, которыми удалось полностью исследовать случай квадратичных форм от четырех и более переменных. Важнейшие результаты в рассматриваемой тематике получили акад. Ю.В. Линник и его школа. Ю.В. Линник для изучения вопроса о представлении целых чисел тернарными квадратичными формами разработал своеобразный аналитико-алгебраический метод, использующий некоммутативную арифметику, и названный впоследствии дискретным эргодическим методом (ДЭМ). Проблема представления чисел тернарными квадратичными формами, поставленная Ю.В. Линником, и имеющая связь и с другими важными проблемами математики, еще далека от своего завершения, хотя в последнее время в этом направлении получен ряд новых результатов, относящихся к случаю изотропных неопределенных тернарных квадратичных форм.
Цель работы: 1) полное завершение исследований по применению ДЭМ к вопросу о представлений целых чисел произвольной изотропной тернарной квадратичной формой; 2) исследование новых приложений ДЭМ в получении результатов, относящихся к арифметике бинарных квадратичных форм.
Общая методика выполнения исследований
В работе применяется матричный вариант ДЭМ.
Научная новизна
В работе имеются следующие новые научные результаты:
-
Получены эргодическая теорема и теорема перемешивания для потоков целых точек на изотропных гиперболоидах общего вида.
-
Получены асимптотические формулы для числа целых точек на изотропных гиперболоидах как по областям на них, так и по классам вычетов по заданному модулю, обобщающие ранее известные результаты в полном объеме.
-
С помощью ДЭМ получены новые асимптотические формулы для числа классов бинарных квадратичных форм заданного определителя с условием делимости первых коэффициентов на заданное число.
-
Получены новые асимптотические формулы для гауссовых родов бинарных квадратичных форм с условием делимости их арифметических минимумов.
Практическая ценность
Работа носит теоретический характер. Результаты и методы диссертации могут быть использованы для дальнейших исследований в аналитической арифметике квадратичных форм, теории квадратичных полей и теории диофантовых уравнений и в ряде других областей математики.
Апробация работы
Результаты работы докладывались на Всесоюзной конференции по теории чисел и ее приложениям (Тбилиси, 1985), Всесоюзной школе по конструктивным методам и алгоритмам теории чисел (Минск, 1989), на Международной конференции по алгебре и анализу (Казань, 1994), на I-V международных конференциях по теории чисел (Тула, 1993, 1996, 2001, 2003), на VI международной конференции по теории чисел (Саратов, 2004), на семинарах по теории чисел МГУ.
Объем работы
Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы и занимает, включая библиографию, 189 страниц. Библиография содержит 95 наименований.
