Прямые пределы полупростых алгебр Ли Жданович, Дмитрий Валентинович

Введение к работе

Актуальность темы.

В настоящее время теория конечномерных полупростых алгебр Ли является развитым разделом алгебры. Методы этой теории довольно успешно применяются к некоторым классам бесконечномерных алгебр Ли таких, как алгебры Каца-Муди, алгебры токов, алгебра Вирасоро. К таким классам относится и класс локально полупростых алгебр Ли, то есть алгебр Ли, которые могут быть получены в результате взятия прямого предела тех или иных индуктивных систем полупростых алгебр Ли. Однако до недавнего времени такие алгебр Ли оставались в тени, за исключением, быть может, единственной алгебры Ли 3100(C)(1).¹

Всё более и более возрастающий интерес к локально полупростым алгебрам Ли возник после работы [2]², в которой было показано, что запас локально простых алгебр Ли довольно большой, с точностью до изоморфизма их не меньше, чем континуум. В работе [З]³ было показано, что эти алгебры Ли не менее интересны, чем 5100(0), с точки зрения теории представлений. В работе [4]⁴ среди всех локально полупростых алгебр Ли был выделен важный класс алгебр Ли, названных диагональными, и приведены достаточно убедительные доводы в пользу его содержательности.

В настоящей диссертации в качестве конкретных примеров тех пли иных возникающих конструкции используются именно диагональные алгебры Ли. В некотором смысле, верно и обратное, а именно то, что построение содержательной теории для недиагональных алгебр Ли потребует гораздо больших усилий. Имеющиеся примеры не диагональных алгебр Ли носят характер скорее контрпримеров. В любом случае,

'[1] V.G. Кае and А.К. Raina, Bombay Lectures on Highest Weight Representations of Infinite Dimensional Lie Algebras, Adv. Series in Math. Phys. 2 World Scientific Publishing Co., Singapore (1987).

²[2] Бахтурин Ю. А., Штраде Г. Локально конечномерные простые алгебры Ли , Мат. Сборник 81(1995), No.l

³[3] Yuri Bahturin and Georgia Benkart, Highest weight modules for locally finite Lie algebras, Proc. Conf. 60-th birthday R.Block. to be published.

⁴[4] A.A. Baranov, Diagonal locally finite Lie algebras., Preprint/ Academy of Sciences of Belarus. Institute of Mathematics.-No 3(515).- Minsk, 1996. -42p..

можно смело сказать, что теория локально полупростых алгебр Ли находится на пороге своего бурного развития.

Цель работы.

1. Описать конкретные множества прямых пределов простых конечномерных алгебр Ли типа А.

2. Описать группы автоморфизмов локально простых алгебр Ли.

3. Описать алгебры дифференцирований локально полупростых алгебр Ли.

4. Описать центральные расширения локально полупростых алгебр Ли.

Методы исследования. Используются комбинаторные методы, методы теории топологических линейных пространств, теории конечномерных простых алгебр Ли.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и носят теоретический характер. Они могут быть полезны специалистам в области алгебр Ли и их представлений.

Апробация. Материалы диссертации докладывались на семинарах механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах 1-2.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на десять параграфов, и списка литературы из 16 названии. Общий объём диссертации 87 страниц.