Содержание к диссертации
Введение
1 Основные определения и факты 6
2 Разложения простых супералгебр Ли типа sl(m,n) 13
2.1 Некоторые замечание о разложениях простых алгебр Ли 13
2.2 Разложение супералгебры s/(ra, га) в сумму подалгебр типов sl(p,k) и osp(l,q) 19
2.3 Разложение супералгебры sl(m,n) в сумму Р(к) (Q(k))nsl(l,q)(osp(l,q)) 48
2.4 Разложение супералгебры sl(m,n) в сумму Р(к) (Q(k)) и P(l) (Q(l)) 75
3 Разложения простых специальных йордановых алгебр 79
3.1 Простые конечномерные йордановы алгебры 79
3.2 Предварительные замечания 80
3.3 Разложения йордановых алгебр типа H(TZn) 82
3.4 Разложения йордановых алгебр типа H(Qn) 89
- Разложение супералгебры s/(ra, га) в сумму подалгебр типов sl(p,k) и osp(l,q)
- Разложение супералгебры sl(m,n) в сумму Р(к) (Q(k)) и P(l) (Q(l))
- Предварительные замечания
- Разложения йордановых алгебр типа H(Qn)
Введение к работе
Данная работа посвящена изучению простых разложений некоторых типов неассоциативных алгебр и супералгебр Ли в сумму простых подалгебр. Под простым разложением мы понимаем разложение простой алгебры в сумму двух собственных простых подалгебр, причем сумма в разложении не обязательно прямая.
Задача о классификации простых разложений впервые изучалась Онищиком для случая комплексных и вещественных групп Ли. В его работе [7] была получена полная классификация всевозможных факторизации редуктивных групп Ли. Рассматривая касательные пространства к простым группам Ли, из этой классификации можно получить классификацию разложений простых алгебр Ли над полем комплексных и вещественных чисел в сумму двух собственных редуктивных подалгебр.
В работе [16] Бахтуриным и Кегелем было показано, что не существует разложений простой ассоциативной алгебры в сумму простых подалгебр над произвольным алгебраически замкнутым полем.
В настоящей работе рассматривается вопрос о нахождении простых разложений в простой супералгебре Ли sl(m,n) и простых специальных йордановых алгебрах H(Rn), H(Qn) над алгебраически замкнутым полем F, которое имеет нулевую характеристику, в первом случае, и произвольную характеристику отличную от двух, во втором случае.
Первая глава является кратким изложением необходимых определений и фактов, в частности, классификации простых супералгебр Ли и йордановых алгебр.
Во второй главе изучаются разложения простых супералгебр Ли над алгебраически замкнутым полем F характеристики нуль в сумму двух собственных простых подалгебр. Напомним, что супералгеброй Ли называется -градуированная алгебра, то есть — CQ ф А, удовлетворяющая следующим тождествам:
1. Тождество суперкоммутативности
[х,У] = -(-1) [у,х]
2. Обобщенное тождество Якоби
[[x,ylz] = [x,[y,z]]-( l) ly,[x,z]].
где х € «, у Є Ср и z Є .
В частности, произвольную алгебру Ли можно рассматривать как супералгебру Ли с тривиальной градуировкой.
В настоящей работе при расмотрении супералгебр термин "подалгебра"означает Z2-rpa,nyHpoBaHHafl подалгебра.
Основное внимание в главе 2 мы уделяем разложениям супералгебры Ли sl(m,n) в сумму собственных простых подалгебр Ли классического типа.
Основным результатом этой главы является описание простых разложений супералгебр Ли sl(m,n) в сумму двух собственных классических простых подалгебр с точностью до типа разложения. Под типом разложения имеется в виду следующее. Если С = Сх+Съ где i, 2 простые подалгебры, то тип разложения есть пара (1, 2) с точностью до изоморфизма подалгебр \, С . Изучение всевозможных вложений подалгебр (1, 2) данного типа в не являлось целью даной диссертации.
Основным методом исследования простых разложений супералгебры Ли типа sl(m,n) является изучение структуры о-модуля С\ для подалгебры , учавствующей в разложении. Для этого используется аппарат теории представлении полупростых алгебр Ли, в особенности, теория старшего веса.
Хорошо известно, что если в матричной алгебре Mat(n) вместо операции матричного умножения XY рассмотреть операцию коммутирования [-ЛГ, У] = XY — YX, то мы получим алгебру Ли. С другой стороны, если вместо операции коммутирования рассмотреть следующую операцию X 0 У = XY + YX, то мы получим йорданову алгебру.
Далее, возникает естественный вопрос о классификации простых разложении в простых йордановых алгебрах.
Глава 3 посвящена доказательству теоремы, описывающей все типы простых разложений в простой специальной йордановой алгебре J одного из двух типов H(Rn) и H(Qn) (см. определение в главе 1).
В алгебре Н(Ип) существует только три типа неизоморфных простых разложений: Н(71п) = А + В, где A = H(Fn) и В изоморфна одной из следующих алгебр: H(Fn-.i), H(Fn) или H(7ln-i). Построение этих примеров основывается на следующей идее: подалгебру А мы рассматриваем в каноническом виде, то есть в виде множества симметрических матриц соответствующего порядка, а В есть образ канонической реализации для алгебр (Fn_i), H{Fn) или H(7Zn-i) под действием автоморфизма алгебры Н(Кп) вида р(Х) = D-lXD + &2L&X(&)-1, где D — невырожденная матрица с коэффициентами из поля F, 71 имеет вид F 0 vF.
Наконец, алгебра H(Qn) допускает разложения только в сумму подалгебр Ли В, обе из которых имеют тип H(1Zn).
Все упомянутые результаты работы являются новыми.
Автор хотел бы выразить глубокую благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н. профессору Ю.А.Бахтурину за постановку задач, полезные советы, постоянное внимание к работе, ценные обсуждения и комментарии.
Список научных работ автора
1. Bahturin Yu., Tvalavadze М., Tvalavadze Т. Sums of Simple and Nilpotent Lie Subalgebras., Comm. in Algebra, vol. 30, 2002, 9, pp. 4455-4471
2. Твалавадзе M.B, Твалавадзе T.B. Разложения простых специальных йордановых алгебр., депонир. в ВИНИТИ, 2287-В2002
3. Твалавадзе Т.В. Разложения простых алгебр и супералгебр в сумму простых подалгебр, депонир. в ВИНИТИ, 1174-В2004
Разложение супералгебры s/(ra, га) в сумму подалгебр типов sl(p,k) и osp(l,q)
Пусть F — алгебраически замкнутое поле характеристики нуль. Начнем изучение разложений в специальной линейной супералгебре с доказательства леммы о взаимосвязи индексов супералгебры «S = К 4- С с индексами подалгебр /С и С. Лемма 2.2.1 Пусть простая супералгебра Ли S, равная sl(m,n) при т ф п (или psl(m, т) при т = п), раскладывается в сумму двух собственных простых подалгебр /С = sl(p,k) при р ф к (или /С = psl(p,p) при р = к) и С = sl(l, q) при I ф q (или С = psl(q, q) при I — q). Тогда либо р — т и q = п, либо I = т и к = п. Доказательство. Рассмотрим четную часть супералгебры «S и обозначим ее «So. Известно, что четная часть супералгебры sl(m,n) при п ф га, п, т 1, имеет вид sl(m) ф sl(n) W, а при п — т 2 изоморфна полупростой алгебре вида sl(m)(Bsl(ri), где в обоих случаях sl(m) и sl(ji) — простые алгебры Ли, а Ы — одномерная алгебра Ли. Таким образом, при п ф т алгебра «So представляется в виде прямой суммы трех идеалов V, Q и U, то есть «So = V ф Q ф 14, а при п = т алгебра «So представляется в виде прямой суммы идеалов V и Q, то есть «So = V ф Q, где V = s/(ra), Q sl(n). Далее, определим две проекции (гомоморфизма) 7Гі и 7Г2 алгебры «So на ее идеалы V и Q, соответственно, 7Гі : «So — V и П2 : «So — Q. Рассмотрим теперь четную часть супералгебры К. Как было отмечено выше, /Со изоморфна sl(p) ф sl(k) ф Ы при р ф к и s/(p) ф s/(fc) при р = к. То же самое справедливо и для подалгебры , то есть Со изоморфна sl(l) ф sl(q) ф / при 1/ди изоморфна sZ(/) ф s/(g) при р = к. Следовательно, в обоих случаях алгебры /Со и о являются редуктивными подалгебрами (как прямая сумма редуктивных подалгебр). Значит проекции 7Гі(/Со), 7Гі( Со), 7Г2(о) 7Г2(о) также являются редуктивными как гомоморфные образы редуктивных алгебр. Нам известно, что алгебра S является суммой алгебр /С и С, S — К + , следовательно, четная часть SQ является суммой алгебр /Со и Со, So = /Со + Аь Из последнего разложения Следует, ЧТО 7Ti(«S0) = Яі(/Со) + 7Г!(о) И 7Г2(50) = 7Г2(/С0) + 7Г2(0) Более того, 7Гі(5о) == V и 7Г2((5о) = Q, где Риб простые алгебры Ли изоморфные sl(m) и s/(n), соответственно. Таким образом, мы получили разложение простых алгебр Ли V и Q в сумму двух редуктивных подалгебр. В предложении 2.1.2 отмечается, что не существует разложений простой алгебры sl(n) в сумму собственных подалгебр данного типа. Следовательно, в каждом из этих разложений одна из подалгебр совпадает со всей алгеброй. Рассмотрим сначала разложение алгебры V. Без ограничения общности, можно считать, что в разложении V = 7Гі(/Со) + ж\{С) подалгебра 7Гі(/Со) совпадает с V. Следовательно, алгебра 7Гі(/Со) изоморфна алгебре sl(m). Но, с другой стороны, алгебра 7Гі(/Со) является гомоморфным образом /Со, которая имеет вид sl(p) ф sl(k)U или sl(p)sl(k). Следовательно, простыми гомоморфными образами алгебры /Со могут быть только алгебры следующих видов: sl(p), si (к) и U. Согласно вышеуказанным соображениям, р — т или к — т. Без ограничения общности, пусть р = т.
Рассмотрим теперь разложение второй алгебры Q в сумму подалгебр 7Г2(/Со) и 7Г2(о)- Заметим, что подалгебра Я2(/Со) не может совпадать с алгеброй Q. Действительно, пусть 7Г2(/Со) = Q — sl(n). Ввиду того, что /Со — sl(m)(Bsl(k)(&U (/Со = sl(m)(Bsl(k)), то либо т = п, либо к = п. Предположим, что к фп. Следовательно, т = п. Значит 7Гі(/Со) = sl(m) и Я2(/Со) — sl(m). Ввиду того, что Ко й ф Я ф U (/Со = Є «), где JF S /(m), - й /( ) и к ф т получаем, что Кі{Т) =?и 2( ) = Q. В силу того, что [Г,Н] = 0 получаем, что [М?),щ(П)] = 0 и [тг2 (. ),7 ()] =ь 0. Значит ігі(Н) — 0 и 7 (7-/) = 0, что невозможно. Следовательно к — п. Так как /С й sl{p,k) (или ps/(p,p)), «S = sl(m,n) (или psl(m,m)) и р = m, то из классификации простых супералгебр Ли следует, что /С = «S, то есть /С является несобственной подалгеброй, что невозможно. Следовательно, 7Г2(о) совпадает с «So? то есть изоморфна sl(n). Рассуждая так же как в случае алгебры V, получаем, что I = п или q = п. Не теряя общности, мы можем считать, что q = п. Лемма доказана. Рассмотрим теперь разложение специальной линейной супералгебры Ли S в сумму простых подалгебр /С и , изоморфных osp(p,k) и sl(l,q) (или ps/(g, g)), соответственно. Лемма 2,2.2 Пусть специальная линейная супералгебра Ли S, равная sl(m,n) при т ф п (или psl(m,m) при т = п), раскладывается в сумму двух собственных простых подалгебр К == osp(p, к) и = sl(l, q) при 1ф q (или С — psl(q, q) при I = q). Тогда, без ограничения общности, можно считать, что р — т, I = т — 1 и q = п.
Разложение супералгебры sl(m,n) в сумму Р(к) (Q(k)) и P(l) (Q(l))
Рассмотрим разложение простой супералгебры Ли «5 изоморфной sl(m,n) в сумму простых подалгебр /С и , где /С = Р(&) (Q(k)), а S Р(0 (Q(/)). Покажем сначала, что т = п. Действительно, при тфп четная часть «So изоморфна sl(m) s/(ra) 0U. Ввиду того, что /Со — s/(fc), 0 = sl(l), очевидно, что «So не может являтся суммой /Со и CQ. Известно, что размерность нечетной компоненты супералгебры Q(m—1) равна т2 —1, а размерность нечетной компоненты алгебры V(m — 1) равна ш2. Следовательно, dim /Сі Ar2, a dimi I2. Ввиду того, что dim «Si dim/Ci+dimi и dim «So = 2m2 получаем, что m = fc + l=Z + l. Более того, /С = Р(т — 1), а С S F(m — 1). Следовательно, в некотором базисе пространства V алгебра /С состоит из матриц вида где X — произвольная матрица порядка т со следом нуль, а С и D матрицы порядка т. Заметим, что супералгебра /С типа Р(т — 1) не может состоять из матриц вида (2). Действительно, известно, что для /С = Р(т — 1), /Co-модуль /Сі является прямой суммой двух неприводимых подмодулей размерности т{т—1)/2 и ш(т+1)/2. С другой стороны, согласно лемме 2.3.5, К\ содержит неп содержит ненулевой элемент. Любой автоморфизм sl(m) можно представить в виде: 1. р(Х) = С{-Хг)С 1 2. р(Х) = СХС 1, где С произвольная невырожденная матрица порядка m . Согласно приведенным выше аргументам, супералгебра типа Р(т — 1) не может иметь вид (2). Следовательно, второй случай невозможен. Рассмотрим первый случай. Алгебра CQ принимает вид: и алгебра Ко имеет вид: где матрицы X, У, С были определены выше. Обозначим след матрицы С через s, тогда элемент F — C — sI ф О принадлежит sl(n). Покажем, что элемент G вида принадлежит подалгебрам /Со и CQ. Очевидно, что G принадлежит /Со- Рассмотрим элемент вида по определению принадлежащий CQ. Имеем: Следовательно G принадлежит CQ. НО т? = dim So dim/Co+dimo = dim/Co+dimo—dim(/Cono) = га2+т2—1 т2. Противоречие. Следовательно S = sl(m,n) не раскладывается в сумму Р( ) (Q( )) и P(l) (Q(0). Пусть супералгебра = sl(m,n) = С\ + г гДе А, 2 — простые классические подалгебры в С, не являющиеся исключительными. Объединяя предыдущий результат, теорему 2.2.2, пример 2, пример 3, замечание 2.2.5 и лемму 2.3.10, получаем следующую теорему: Теорема 2.4.1
Пусть супералгебра С = sl(m,n), где т п 0. Если т,п — нечетные числа, то С не раскладывается в сумму Сі и Сі. Если т,п — четные числа, то С допускает два разложения, в которых С\ = osp(m,n), Сі =5= sl(m,n — 1) и Сі == osp(n,m), Сі — sl(m — l,n). 2?с/ш n — четное число, am— нечетное число, то С допускает одно разлолсение, в котором Ci = osp(m, п), Ci = s/(m, я — 1). ifo/m m — четное числа, an — нечетное число и т — 1 ф п, то С допускает одно разлолсение, в котором Сі = osp(n,m), Сі = sl(m — l,n). Наконец, если m — четное число, а п — нечетное число и т — 1 = п, то С не раскладывается в сумму Сі и Сі. Пусть супералгебра С = psl{m,m), где т 1. сли m — нечетное число, то С не раскладывается в сумму Сі и Сі- Если т — четное число, то С допускает одно разлолсение, в котором Ci == osp(m, га), Сі == s/(m, m — 1). риводимый подмодуль размерности т2 — 1, что невозможно. Тогда, в этом же базисе подалгебра С, состоит из всех матриц вида: где Y — матрица со следом 0, (р автоморфизм алгебры sl(m), а С и D матрицы порядка т. Рассмотрим пересечение алгебр /Со и CQ и покажем, что оно содержит ненулевой элемент. Любой автоморфизм sl(m) можно представить в виде: 1. р(Х) = С{-Хг)С 1 2. р(Х) = СХС 1, где С произвольная невырожденная матрица порядка m . Согласно приведенным выше аргументам, супералгебра типа Р(т — 1) не может иметь вид (2). Следовательно, второй случай невозможен. Рассмотрим первый случай. Алгебра CQ принимает вид: и алгебра Ко имеет вид: где матрицы X, У, С были определены выше. Обозначим след матрицы С через s, тогда элемент F — C — sI ф О принадлежит sl(n). Покажем, что элемент G вида принадлежит подалгебрам /Со и CQ. Очевидно, что G принадлежит /Со- Рассмотрим элемент вида по определению принадлежащий CQ. Имеем: Следовательно G принадлежит CQ. НО т? = dim So dim/Co+dimo = dim/Co+dimo—dim(/Cono) = га2+т2—1 т2. Противоречие. Следовательно S = sl(m,n) не раскладывается в сумму Р( ) (Q( )) и P(l) (Q(0). Пусть супералгебра = sl(m,n) = С\ + г гДе А, 2 — простые классические подалгебры в С, не являющиеся исключительными. Объединяя предыдущий результат, теорему 2.2.2, пример 2, пример 3, замечание 2.2.5 и лемму 2.3.10, получаем следующую теорему: Теорема 2.4.1 Пусть супералгебра С = sl(m,n), где т п 0. Если т,п — нечетные числа, то С не раскладывается в сумму Сі и Сі. Если т,п — четные числа, то С допускает два разложения, в которых С\ = osp(m,n), Сі =5= sl(m,n — 1) и Сі == osp(n,m), Сі — sl(m — l,n). 2?с/ш n — четное число, am— нечетное число, то С допускает одно разлолсение, в котором Ci = osp(m, п), Ci = s/(m, я — 1). ifo/m m — четное числа, an — нечетное число и т — 1 ф п, то С допускает одно разлолсение, в котором Сі = osp(n,m), Сі = sl(m — l,n). Наконец, если m — четное число, а п — нечетное число и т — 1 = п, то С не раскладывается в сумму Сі и Сі. Пусть супералгебра С = psl{m,m), где т 1. сли m — нечетное число, то С не раскладывается в сумму Сі и Сі- Если т — четное число, то С допускает одно разлолсение, в котором Ci == osp(m, га), Сі == s/(m, m — 1).
Предварительные замечания
В этом разделе мы вспомним некоторые факты о йордановых алгебрах. Пусть А — конечномерная йорданова алгебра с единицей е над произвольным алгебраически замкнутым полем F характеристики отличной от двух. Если единица алгебры А разлагается в сумму ортогональных идемпотентов е = X iLi е«» то сама алгебра А разлагается в прямую сумму подпространств п А = ф Aj, где где индексы і, j, fc, І попарно различны. Разложение указанного вида называется албертовским, а система идемпотентов = {ei,... ,еп} — расщепляющим множеством. Заметим, что если Л — простая йорданова алгебра и все е,- — примитивные идемпотенты, то компоненты ЛЦ = 8рап(ег), г = 1,...,п, а размерности компонент Aij, і ф j, равны между собой. В отличие от алгебры симметрических матриц (см. теорему 4.3 в [11]), в алгебре H(TZn) существую умножения в TZ. Пример 1. Пусть п 3, тогда H(1Zn) = H(F„) + В, где подалгебра В имеет тип H(Fn). Доказательство. Пусть D = diagjai,...,««}, где щ ф aj ф 0. Тогда положим В = (p(H(Fn)), где (р указанный выше автоморфизм. Таким образом, ip(H(Fn)) состоит из всех матриц вида (Угі)і,і=і,-,п, где yij = (aJlaj Y + аіа )х , хгі = Xji Є F. Несложно убедиться, что dim(jH"(Fn) П (p(H(Fn))) = п, то есть Следовательно, справедливо разложение Н(Лп) = H(Fn) + /?, в котором обе подалгебры имеют тип H(Fn). п Пример 2. Пусть п 3, тогда H(TZ.„) = H(Fn) + В, где В имеет тип H(Fn-i). Доказательство. В данном примере положим D = — а п-1 diag{ai,...,a;n_b/3}- /ЗХХі Eni, где /3 = -а? - . и Е„г — матричная единица с 1 на (п, г)-ом месте. Тогда в качестве подалгебры В выберем подалгебру (#(Fn_i)), состоящую из всех матриц вида (yy)»j=i,...,n, где уц (а 1 — + а.-aj1 = ) -, жу = Xji е F, і ф J ф п, упі = ї=і а 1:Е ь 2/in == 2 / yfr— 1 Q fr #fci == 1}...?W 1, 2/nn == U, t/jj = X,-j, Размерность пересечения dim(#(Fn) П (p(H(Fn-i))) — О, то Пример 3. Пусть n 3, тогда H(lZn) = H(Fn) + В, где подалгебра В имеет тип Я"(#„_і). Доказательство. Положим D — Е + Fnj„_i, где Е — единичная матрица и ЕП}П-\ — матричная единица с 1 на (п,« — 1)-ом месте. Как и в предыдущих примерах, положим В = у?(Л"(7?.п_і)), то есть В состоит из матриц вида: Тогда размерность пересечения этих подалгебр в точности равна (гс-2) 1).
Значит Н(Пп) = H{Fn) + В. п Теорема 3.3.1 Пусть Н(ИП) представлена в виде суммы двух собственных простых подалгебр Л и В. Тогда, с точностью до порядка слагаемых, A = H(Fn) и при этом В = H(F„), H(7Zn-i) или #(Fn_i). В следующей лемме алгебру Н(Лп) мы рассматриваем в виде полной матричной алгебры F„ . Лемма 3.3.1 Алгебра H(TZ„) не представляется в виде суммы двух простых йордановых подалгебр Л и В, действующих т разложения в сумму двух собственных простых подалгебр. Например, H(7tn) — H(Fn) + В, где подалгебра В изоморфна одной из следующих алгебр H(7ln-i), H(Fn-i) или H(Fn) (см. ниже). В этом разделе мы докажем, что, в действительности, этими примерами исчерпываются все возможные разложения в сумму двух собственных простых подалгебр в алгебре данного типа. Начнем с построения примеров разложения алгебры типа Н(Лп). Напомним, что композиционная алгебра Л имеет вид F ф vF, где v2 = 1. Рассмотрим автоморфизм р алгебры H(7Zn) вида р(Х) = -D lXD + D XfD )-1, где D - невырожденная матрица с коэффициентами из поля F. Отметим, что - р-и J-jp являются ортогональными идемпотентами относительно умножения в TZ. Пример 1. Пусть п 3, тогда H(1Zn) = H(F„) + В, где подалгебра В имеет тип H(Fn). Доказательство. Пусть D = diagjai,...,««}, где щ ф aj ф 0. Тогда положим В = (p(H(Fn)), где (р указанный выше автоморфизм. Таким образом, ip(H(Fn)) состоит из всех матриц вида (Угі)і,і=і,-,п, где yij = (aJlaj Y + аіа )х , хгі = Xji Є F. Несложно убедиться, что dim(jH"(Fn) П (p(H(Fn))) = п, то есть Следовательно, справедливо разложение Н(Лп) = H(Fn) + /?, в котором обе подалгебры имеют тип H(Fn). п Пример 2. Пусть п 3, тогда H(TZ.„) = H(Fn) + В, где В имеет тип H(Fn-i). Доказательство. В данном примере положим D = — а п-1 diag{ai,...,a;n_b/3}- /ЗХХі Eni, где /3 = -а? - . и Е„г — матричная единица с 1 на (п, г)-ом месте. Тогда в качестве подалгебры В выберем подалгебру (#(Fn_i)), состоящую из всех матриц вида (yy)»j=i,...,n, где уц (а 1 — + а.-aj1 = ) -, жу = Xji е F, і ф J ф п, упі = ї=і а 1:Е ь 2/in == 2 / yfr— 1 Q fr #fci == 1}...?W 1, 2/nn == U, t/jj = X,-j, Размерность пересечения dim(#(Fn) П (p(H(Fn-i))) — О, то Пример 3. Пусть n 3, тогда H(lZn) = H(Fn) + В, где подалгебра В имеет тип Я"(#„_і). Доказательство. Положим D — Е + Fnj„_i, где Е — единичная матрица и ЕП}П-\ — матричная единица с 1 на (п,« — 1)-ом месте. Как и в предыдущих примерах, положим В = у?(Л"(7?.п_і)), то есть В состоит из матриц вида: Тогда размерность пересечения этих подалгебр в точности равна (гс-2) 1). Значит Н(Пп) = H{Fn) + В. п Теорема 3.3.1 Пусть Н(ИП) представлена в виде суммы двух собственных простых подалгебр Л и В. Тогда, с точностью до порядка слагаемых, A = H(Fn) и при этом В = H(F„), H(7Zn-i) или #(Fn_i). В следующей лемме алгебру Н(Лп) мы рассматриваем в виде полной матричной алгебры F„ . Лемма 3.3.1 Алгебра H(TZ„) не представляется в виде суммы двух простых йордановых подалгебр Л и В, действующих приводимо в векторном пространстве V, состоящем из всех п-мерных столбцов. Доказательство. Пусть лемма неверна. Другими словами, существуют две простые подалгебры А и В, каждая из которых действует приводимо в V и H(lZn) = А+В. Сначала предположим, что є Є А и є Є В, где е — единица всей алгебры Н(71п). В силу того, что подалгебры действуют в векторном пространстве V приводимо и того факта, что простая йорданова алгебра обладает единственным с точностью до эквивалентности неприводимым представлением, получаем оценки на размерность подалгебр: 2 2 dim Л \, dim В -. Следовательно, dim H{Tt ) dim.4 + dimB. Если, скажем, е . Л, то тогда Апп(Л) ф {0}. Подалгебры А и В порождают в Fn собственные ассоциативные полупростые
Разложения йордановых алгебр типа H(Qn)
В данном разделе мы покажем, что единственным возможным разложением алгебры H(Qn) в сумму двух простых подалгебр является разложение вида H(Qn) — А + В, где обе подалгебры изоморфны H(R,n). Докажем ряд вспомогательных лемм, в которых V, как обычно, будет обозначать векторное пространство всех 2га-мерных столбцов. Лемма 3.4.1 Алгебра H(Qn) ф А + В, где А не содержит единицы всей алгебры, а В имеет тип H(Qm). Доказательство. Допустим, что H(Qn) = А + В, где обе подалгебры удовлетворяют условиям теоремы. Единица алгебры H(Q„) не принадлежит подалгебре А. В частности, это означает, что существует вектор v Є V, Av = 0. По лемме 3.3.2, dimH(Qn)v — 2п — 1, тогда dimBv = 2га — 1. Более того, подалгебра В действует в V вполне приводимо. Это означает, что V — V\ 0 ... Vr, где BVi С Vf, г = 1,..., г. Тогды мы можем выбрать базис в каждом инвариантном подпространстве Vi таким образом, чтобы подалгебра В представлялась в виде множества матриц: где все диагональные блоки имеют порядок 2т. Если v = v\ -j-... + vr, где V{ Є V{, TO dim Bv dim W\ + ... + dim Wr, где Wi — {Xvi\X Є H(Qm)}. Таким образом, dmiBv (2m—l)r = 2mr—r = n — r n — 1, что неверно. Лемма доказана. Лемма 3.4.2 Если H(Qn) = Л + В, причем Л, В — простые подалгебры и Л не содержит единицы всей алгебры, то степень подалгебры В (число идемпотентов в расщепляющем множестве) равна п. Доказательство. Пусть H(Qn) = Л + В, причем Л не содержит единицы всей алгебры. По лемме 3.6 (см.[11]), подалгебра В содержит единицу всей алгебры и некоторым автоморфизмом приводится к виду (1). Предположим, что степень алгебры В строго меньше га, другими словами, число блоков на диагонали строго больше двух. Пусть т — порядок каждого блока. Известно, что существует вектор v такой, что Av = 0. Тогда dimBv = 2п — 1. Следовательно, существуют коэффициенты а,-, і = 1,..., 2п, что ацц +... + а2пУ2п = 0, где (уи ..., у2п) Bv. Это равносильно равенству у,- = — (—а\у\ — ... — a,_ii/,_i — a,+iy,+i — .. .-а2пУ2п), где (уі,..., 2/г-_1, г/,+1,..., У2п) — произвольный (2га-1)-мерный вектор. Для определенности, положим, что і 2т. Тогда отсюда вытекает, что для любых m-мерных векторов #1 и х% найдется матрица X порядка т такая, что где г і, г 2 — некоторые фиксированные m-мерные векторы; j(X) — Xі, если X — произвольная матрица, либо j(X) = X, если X — симметрическая матрица. Но, согласно доказательству теоремы 4.3 (см. [И]), это невозможно. Следовательно, число блоков на диагонали равно двум, то есть ранг подалгебры В равен п. Лемма Лемма 3.4.3 Если п 3, то тогда H(Qn) не может быть представлена в виде суммы двух собственных простых подалгебр Л и В, одна из которых не содержит единицы алгебры H(Qn). Доказательство. Как обычно, предположим противное, то есть существует простое разложение H(Qn) в сумму А и В, где А не содержит единицы H(Qn). Согласно леммам 3.4.1 и 3.4.2, степень подалгебры В равна п. С другой стороны, это означает, что В имеет тип H(Fn) или H(lZn).
Тогда, некоторым автоморфизмом H(Qn) исходное разложение можно привести к виду: где либо j(X) = Xі, в случае В = Н(Кп), или j(X) = X, в случае В = H(Fn). Из соображений размерности, подалгебра А может иметь только тип H(Qk), где к (п — 1). Кроме того, по нашему предположению, А не содержит единицы всей алгебры, то есть имеет ненулевой двусторонний аннулятор. Таким образом, если исходное разложение H(Qn) справедливо, то также справедливо следующее представление H(Qn) где А\ — произвольная матрица порядка к п, В\ и Сі — любые кососимметрические матрицы порядка к п. Без ограничения общности, положим к = п — 1. Нашей целью является доказательство того, что разложение (3) индуцирует представление ассоциативной алгебры F2n в виде суммы двух собственных ассоциативных подалгебр: где i n-i — множество матриц порядка 2гс с нулевой последней строкой и нулевым последним столбцом и (В) — ассоциативная обертывающая алгебры В. Другими словами, F2„ может быть разложена в сумму двух собственных ассоциативных полупростых подалгебр. Согласно [16], такого разложения не существует. Опираясь на явный вид F n-i-, нам достаточно показать, что (В) содержит матрицы, у которых последняя строка и последний столбец — произвольные 2п-мерные векторы. Так как в разложении H(Q„) = А + В, А имеет вид (4), то В содержит следующие где Xi, X2, yi, У2 — произвольные векторы порядка га — 1. Очевидно, (В) содержит все элементы вида (5). Следовательно, достаточно доказать, (В) содержит два элемента Мі и М2, где М\ имеет единицу на (га, 2га)-месте и нуль на (2га,га)-месте, М2 имеет единицу на (га, 2га)-месте и нуль на (2га, га)-месте. Для этого выберем Х\ вида (5), где xi = (1,0,...,0), х2 - yi = у2 = 0 и Х2 вида (5), где yi — (1,0,... ,0) , xi = х2 = у2 = 0. Затем, положим Mi = XiX2. Легко видеть, что Mi искомая матрица. Аналогично, мы находим М2. Лемма доказана. В качестве подалгебры А выберем подалгебру, состоящую из матриц вида где X — произвольная матрица порядка п. Далее рассмотрим автоморфизм (р алгебры H(Qn) такой, что для любого Y Є H(Qn), p(Y) = M lYM, где M = ( Е Е ) , G = diag{ai,...,aB}, оц ф otj ф 0. Положим В — р(А), то есть подалгебра В состоит из матриц вида где E — единичная матрица порядка n, А — произвольная матрица порядка п. Несложно убедиться, что эти подалгебры в сумме составляют всю алгебру H(Qn). Сейчас мы готовы доказать основную теорему в этом разделе. Теорема 3.4.1 Разложение, построенное в примере 1, является единственным возможным разложением H(Qn) в сумму двух собственных простых подалгебр. Доказательство. Предположим противное, то есть существует другое разложение H(Qn) = А+В, где Ли В — простые. Согласно лемме 3.4.3, обе подалгебры содержат единицу всей алгебры. По теореме 3.11 (см.[11]), А #( т), В S H(Vr), где D, D — некоторые композиционные алгебры, га, г 3. Принимая во внимание эти факты, мы получаем следующие утверждения. (1) Если Л #(Fm), то т га, dim Л 1. (2) Если Л = Н(Пт), то т га, dim Л га2. (3) Если Л = H{Qm), то т , dim Л . Эти же рассуждения справедливы и для второй подалгебры В. Снова, из соображений размерности, единственное возможное разложение имеет вид H(Q5) = А + В, где Л = Я(73), В = Я( 3). Более того, сумма в разложении прямая и обе подалгебры содержат 1, противоречие. Теорема доказана.
