Содержание к диссертации
Введение
1 Вполне изотропные подпространства набора билинейных кососимметрических форм 16
1.1 Определения и формулировка результатов 16
1.2 Предварительные сведения об алгебраических многообразиях 18
1.3 Доказательство теорем 1.1 и 1.2 25
2 Конечно порожденные нильпотентные группы 36
2.1 Определения и формулировка результатов 36
2.2 Нижняя оценка функции /2(п) 37
2.3 Верхняя оценка функции /2(п) 39
3 Нильпотентные ступени 2 алгебры и группы Ли 42
3.1 Определения и формулировка результатов 42
3.2 Сведение теорем 3.1 и 3.2 к случаю нильпотентных ступени 2 алгебр Ли 43
3.3 Доказательство теорем 3.1 и 3.2 для функции 12к(п) 47
4 Произвольные алгебры и группы Ли 53
4.1 Определения и формулировка результатов 53
4.2 Комплексные алгебры Ли 55
4.3 Вещественные алгебры Ли 59
4.4 Ассоциативные алгебры 62
4.5 Нижние оценки функций 1^(п) и а}к(п) 66
Список литературы 68
Список основных обозначений 72
- Предварительные сведения об алгебраических многообразиях
- Нижняя оценка функции /2(п)
- Сведение теорем 3.1 и 3.2 к случаю нильпотентных ступени 2 алгебр Ли
- Вещественные алгебры Ли
Введение к работе
Исследование коммутативных подгрупп и подалгебр является одной из классических алгебраических задач, вызывавшей интерес ученых уже в начале прошлого века. И. Шуром [31] в 1905 году были найдены абелевы подгруппы максимальной размерности группы всех невырожденных матриц. Этот результат был перенесен А.И. Мальцевым на произвольные полупростые группы. В его работе [12] 1945 года найдены коммутативные подалгебры максимальной размерности всех простых комплексных алгебр Ли.
Целая серия работ посвящена исследованию абелевых подгрупп максимального порядка в простых конечных группах. В нескольких последовательных статьях [22], [23], [32] и [33] Барри и Уонг получили порядки и строение унипотентных абелевых подгрупп максимального порядка в классических конечных группах Шевал-ле. Далее, в работе Е.П.Вдовина [2] были найдены верхние оценки порядков абелевых подгрупп во всех конечных простых группах. В работах [3], [4] этого автора найдены порядки больших унипотентных абелевых подгрупп в максимальных унипотентных подгруппах конечных исключительных групп Шевалле, и завершено описание абелевых подгрупп максимального порядка в конечных группах Шевалле.
Функцию, ограничивающую минимальное число порождающих конечной р-группы в зависимости от числа порождающих ее абелевых подгрупп, или близкую к ней функцию F, такую что pF^ — максимально возможный порядок конечной р-группы, у которой порядок любой абелевой подгруппы не превосходит рп, рассматривали Бернсайд [25], Альперин [21], Томпсон (см. [27, стр. 343]) и Паттерсон [29]. Наконец, А.Ю. Ольшанским [14] было установлено, что порядок роста этих функций квадратичен.
В работах Брауна и Колла [24], Куртера [26] и Паза [30] изучались максимальные коммутативные подалгебры матричных алгебр.
Настоящая работа посвящена оценке максимальных размерностей коммутативных подгрупп и подалгебр в конечно порожденных нильпотентных группах, группах Ли, ассоциативных алгебрах и алгебрах Ли. Особое внимание уделяется нильпотентным ступени 2 группам и алгебрам.
Основные результаты, полученные в диссертации, следующие:
Дана нижняя квадратичная оценка функции, ограничивающей ранг без кручения конечно порожденной нильпотентной группы, в терминах рангов ее абелевых подгрупп.
Доказано, что функции, ограничивающие размерность нильпотентных ступени 2 ассоциативных алгебр (алгебр Ли) над произвольным полем, у которых ограниченны размерности коммутативных подалгебр, имеют квадратичный порядок роста. Аналогичный результат получен для нильпотентных ступени 2 групп Ли.
Вычислено точное значение функций, ограничивающих размерность конечномерных нильпотентных ступени 2 ассоциативных алгебр (алгебр Ли) над алгебраически замкнутым полем, у которых ограничены размерности коммутативных подалгебр. Аналогичный результат получен для нильпотентных ступени 2 комплексных групп Ли.
Установлено, что функции, ограничивающие размерность конечномерных ассоциативных алгебр (алгебр Ли) в зависимости от размерности их коммутативных подалгебр, имеют квадратичный рост. Как следствие, получены также аналогичные оценки для размерности группы Ли с ограниченными размерностями абелевых подгрупп Ли.
Диссертация состоит из введения, четырех параграфов, списка литературы и списка основных обозначений. Для удобства основные определения и теоремы собраны в начале каждого параграфа в отдельный пункт. Полный объем диссертации — 74 страницы. Библиография включает 37 наименований.
Остановимся подробнее на полученных результатах.
Аналогом понятия размерности в конечно порожденных ниль-потентных группах служит полициклический ранг или ранг без кручения, равный числу бесконечных циклических факторов в полициклическом ряде группы.
Так как элементы конечного порядка в нильпотентной группе образуют нормальную подгруппу, то всегда можно перейти к фактор-группе по периодической части, которая уже не будет иметь кручения. Поэтому, говоря о полициклическом ранге, достаточно рассматривать только группы без кручения.
Обычно нильпотентные группы содержат достаточно большие абелевы подгруппы, то есть подгруппы, ранг которых близок к полициклическому рангу всей группы. Поясним это на следующих стандартных примерах.
Пример 1. Рассмотрим группу C/Tn(Z) унитреугольных матриц порядка п с целыми коэффициентами. Ее полициклический ранг равен n(n2+1). Множество всех матриц вида (Ек А \0 Ei где к +1 = п, \к — l\ : 1, А — произвольная подматрица размера кхі, Ек, Ei — единичные подматрицы рангов к и / соответственно,
, ЧТО а О — нулевая, образует коммутативную подгруппу ранга составляет примерно половину ранга UTn(Z).
Пример 2. Группа Гайзенберга, заданная копредставлением (oi,..., ап, b\,...,bn, с\ [сц, bi] = с, [щ, a,j] = [bj, bj] = [сц, bj] = e, [di, C] = [Ьі, с]=Є, i,j =1,...,71, Іф j), имеет ранг 2n-\-1, а ее коммутативная подалгебра, порожденная элементами щ (г = 1,..., п) и с — ранг п + 1, что также составляет примерно половину ранга всей группы.
Пример 3. Пусть G — свободная нильпотентная ступени с группа с п порождающими, т.е.
Согласно формуле Витта ([19, теорема 5.7]), центр группы G имеет ранг ikZ(G) = -^^)^, где /j,(d) — функция Мебиуса, равная (—1)г, если d — есть произведение г (г ^ 0) различных простых чисел, и нулю в противном случае. Имеем также к=1 d\k
Таким образом, при п —* оо ранг центра является асимптотически равным рангу группы G.
С другой стороны, хорошо известна верхняя оценка ранга произвольной конечно порожденной нильпотентной группы. А именно: rkG^?*5+i), где п — это ранг некоторой максимальной нормальной коммутативной подгруппы группы G.
В 1982 вопрос о взаимоотношении между рангом без кручения конечно порожденной нильпотентной группы и рангами ее абе-левых подгрупп был записан Дж. Уилсоном в "Коуровскую тетрадь" ([9, вопрос 8.76]). В издании [10] "Коуровской тетради" 1992 года этот вопрос был сформулирован им более строго: "Дать реалистическую верхнюю оценку для ранга без кручения конечно порожденной нильпотентной группы в терминах рангов ее абеле-вых подгрупп. Более точно, для каждого целого п обозначим через /(п) наибольшее целое число h, для которого существует такая конечно порожденная нильпотентная группа ранга без кручения h, что ранги без кручения всех ее абелевых подгрупп не превосходят п. Легко заметить, что число f(n) ограничено сверху величиной "(n2+1). Описать поведение /(п) при больших п. Ограничена ли функция f(n) снизу нелинейной квадратичной функцией от п?"
Примеры 1-3 дают только линейную оценку снизу для функции /(п). Тем не менее, в 2 получен положительный ответ на последний вопрос Уилсона:
Теорема 2.1. Функция /(п) удовлетворяет неравенству п2 -1 1{п) > —g— + п.
Ранее аналогичное утверждение для конечных р-групп было получено А.Ю. Ольшанским [14]. Идея доказательства теоремы 2.1 близка к доказательству Ольшанского. Однако, из-за невозможности прямого подсчета, как в конечном случае, понадобились некоторые идеи алгебраической геометрии.
Интересно, что примеры групп "большого" ранга с "маленьки- ми" абелевыми подгруппами находятся уже среди нильпотентных ступени 2 групп. То есть теорема 2.1 следует из более сильной теоремы 2.2, в которой даются верхняя и нижняя квадратичные оценки функции /2(п), равной максимальному числу h, для которого существует нильпотентная ступени 2 конечно порожденная группа без кручения полициклического ранга h, не содержащая абелевых подгрупп с рангом большим, чем п.
Теорема 2.2. Для функции /2(п) справедлива следующая оценка:
Для доказательства этой теоремы мы используем соответствие между конечно порожденными нильпотентными группами без кручения и наборами целочисленных билинейных кососимметриче-ских форм. При этом абелевым подгруппам соответствуют вполне изотропные для всех форм из набора Z-подмодули.
Ключевым шагом доказательства теоремы 2.2 является теорема 1.1 (см. 1), где показано, что множество наборов билинейных кососимметрических форм, имеющих "большое" общее вполне изотропное подпространство содержится в некотором замкнутом в топологии Зарисского подмножестве, размерность которого строго меньше размерности пространства всех наборов. Поэтому множество наборов, соответствующих группам с "маленькими" коммутативными подалгебрами не пусто. Таким образом, конкретные примеры таких групп не приводятся, а только доказывается их существование.
Теорема 1.1. Пусть числа k, tun таковы, что
2п < t(k -1) + 2k.
И пусть V — n-мерное векторное пространство над алгебраически замкнутым полем К. Тогда существует набор Ф = {ipi,..., ipt} билинейных кососимметрических форм на V такой, что никакое k-мерное подпространство не является вполне изотропным для всех форм ipi,...,(ft одновременно. Более того, для любого фиксированного базиса пространства V и любого бесконечного подмножества Т поля К формы ipi,...,(pt можно выбрать так, что они будут задаваться в этом базисе матрицами с коэффициентами из Т.
Верхняя оценка для функции /2(п) получается асимптотически вдвое лучшей, чем для /(п), так что /2(п) имеет достаточно близкие верхнюю и нижнюю оценки.
Строение нильпотентных ступени 2 конечномерных алгебр Ли и ассоциативных алгебр очень схоже со строением нильпотентных ступени 2 конечно порожденных групп. Поэтому можно рассмотреть аналоги функции /2(п) для этих объектов.
Для каждого целого п будем обозначать через 12к(п) (соответственно а2к(п) или g2K{n) ) наибольшее число h такое, что существует нильпотентная ступени 2 алгебра Ли (ассоциативная алгебра или группа Ли) размерности h над полем К, у которой все коммутативные подалгебры (подгруппы Ли) имеют не превосходящую п размерность. (В случае групп Ли К — в поле комплексных или вещественных чисел.)
Изучению этих функций посвящен параграф 3. Теорема 3.1 является аналогом теоремы 2.2. Она утверждает, что новые функции также имеют квадратичный порядок роста и для них справедливы те же оценки, что и для функции /2(п).
Теорема 3.1. Пусть h —это одна из функций 12к, а\ или д\. Тогда, если поле К конечно, то h удовлетворяет неравенству g ^ h{n) ^ — + п.
Если же поле К бесконечно, то
7Ї — 1 71 — Ь п < h(n) < — + п.
Вторая теорема параграфа 3, теорема 3.2, дает формулу для вычисления функций 1%(п), а2к(п) и g2K(n) в случае, когда поле К алгебраически замкнуто. Оказывается, что их значение совпадает с нижней оценкой, приведенной в теореме 3.1.
Теорема 3.2. Если поле К алгебраически замкнуто, то определенные выше функции можно вычислить по следующей формуле:
,2п--1, 1 < п ^ 7; п2+4 8 lK{n) = а*к{п) = gc(n) = + 71, 71 ^ 8.
Заметим, что в силу соответствия между подгруппами группы Ли и подалгебрами ассоциированной с ней алгебры Ли, 9к(п) = 1к(п) (предложение 3.1). Также, проводя аналогию между способом задания нильпотентных ступени 2 ассоциативных алгебр и алгебр Ли наборами билинейных форм, нетрудно показать, что а2к{п) = 1%(п) (предложение 3.2). Исходя из этого, теоремы 3.1, 3.2 остается доказать только для случая алгебр Ли (пункт 3.3). Доказательство первой из них переносится со случая конечно порожденных нильпотентных групп практически дословно. Во второй для получения верхней оценки, совпадающей с уже известной нижней, используется теорема 1.2 о существова- ний достаточного большого" общего вполне изотропного подпространства набора билинейных кососимметрических форм, которая является обращением теоремы 1.1. Как и в теореме 1.1 такое подпространство не предъявляется явно, а только показывается его существование.
Теорема 1.2. Пусть натуральные числа к, t и п таковы, что
2п ^ t(k -1) + 2k, t>2.
И пусть V — n-мерное векторное пространство над алгебраически замкнутым полем К. Тогда для любого набора Ф = {(pi,...,
Теоремы о вполне изотропных подпространствах набора билинейных кососимметрических форм расположены в 1. Они доказываются методом подсчета размерностей многообразий, используемым в алгебраической геометрии. В пункте 1.2 собраны необходимые предварительные сведения из алгебраической геометрии, а в пункте 1.3 излагаются непосредственно сами доказательства. В конце этого пункта приведен пример, показывающий, что теорема 1.2 не верна, если основное поле не является алгебраически замкнутым (пример 4).
В 4 рассматриваются аналоги выше определенных функций для произвольных ассоциативных алгебр, алгебр с единицей и алгебр и групп Ли.
Для каждого целого п будем обозначать через 1к(п) (соответ- ственно ак(п), alK(n) или дк(п)) наибольшее число h такое, что существует алгебра Ли (ассоциативная алгебра, алгебра с единицей или группа Ли) размерности h над полем К, у которой все коммутативные подалгебры (подалгебры с единицей, подгруппы Ли) имеют не превосходящую п размерность. (Здесь также, как и выше, в случае групп Ли К — поле комплексных или вещественных чисел.)
Формально, из определения не следует, что данные функции заданы корректно, так как они не обязаны принимать конечные значения. Тем не менее, в 4 будет показано, что в случае поля комплексных или вещественных чисел, а также в некоторых других случаях они конечны и, более того, имеют квадратичный порядок роста (теорема 4.1). Более точно, верхние квадратичные оценки получены для вещественных и комплексных алгебр и групп Ли и для ассоциативных алгебр, в том числе и алгебр с единицей, над алгебраически замкнутым полем или полем нулевой характеристики. А нижние квадратичные оценки справедливы для каждой из только что определенных функций и для любого ПОЛЯ К.
Теорема 4.1. Определенные выше функции имеют квадратичный порядок роста. Точнее, справедливы неравенства: п2-1 , . s ^ п2 + 11п—-— + п ^ 1с{п) ^ - ; п2 - 1 ^ . ч ^ п2 + 17п —— + п < дс{п) < ; п — 1 71 —-— + п ^ ас(п) < — + 5п;
2га2 + га ^ lR(n) ^ 4га2 + 18га; 2га2 + га < gR(n) < 4га2 + 18га; га — 1 га — h га ^ а*(п) ^ — + 5га; если иоле if имеет нулевую характеристику, то . N Зга2 + га ак{Щ ^ 2 ' 1 , . Зга2 + га аИ) < 2 ' если иоле if алгебраически замкнуто, то га2 a*r(n) ^ у + 5га,
4г(п) ^ у + 5га; если поле К конечно, то
1к(п) > , . га2 + 4га - 5 ак(п) ^ , а>к\п) > —g—; если поле К бесконечно, то га2-1 1к(п) ^ —-— + п, га2- 1 ак(п) ^ —-— + га, і / ч . п2 + 6га ак(п) > —g—
Очевидно, что также, как и в случае нильпотентных ступени 2 групп и алгебр, функции для групп Ли и для алгебр Ли над одним и тем же полем совпадают (предложение 4.1), а оценки для алгебр с единицей следуют из оценок для произвольных ассоциативных алгебр (теоремы 4.4' и 4.6). Поэтому основными являются случаи алгебр Ли и ассоциативных алгебр.
Естественно, нижние квадратичные оценки, по определению, следуют из аналогичных оценок для нильпотентных ступени 2 алгебр. Для вещественных алгебр Ли оценку можно улучшить, используя в качестве примеров "больших" алгебр с "маленькими" размерностями коммутативных подалгебр простые вещественные алгебры Ли (теорема 4.5). Отметим, что для комплексных алгебр Ли этого сделать невозможно, так как для полупростых комплексных алгебр существует линейная зависимость между размерностью алгебры и размерностями ее максимальных абелевых подалгебр (лемма 4.4).
Для получения верхних оценок используются стандартные результаты о строении алгебр и групп Ли, такие как классификация простых алгебр, теоремы о разложении алгебр в полупрямую сумму полупростой и разрешимой подалгебр и т.д.
Основные сведения о строении групп и алгебр Ли, используемые в тексте, можно найти в [1] и [5]. Также могут быть полезны [7], [13] и [16].
Вопрос о точной асимптотике изучаемых функций, т.е. о вычислении предела Щг при п —> со, пока остается открытым. (Исключение составляют функции, вычисленные в теореме 3.2.)
Основные результаты работы неоднократно докладывались на следующих семинарах МГУ им. М.В. Ломоносова: на "Научно-исследовательский семинаре по алгебре", на семинаре "Теория групп" под руководством профессоров Шмелькина А.Л., Ольшанского А.Ю. и доцента Клячко А.А. и на семинаре "Группы Ли и те- ория инвариантов" под руководством профессоров Винберга Э.Б. и Онищика А.Л.; а также на "Topology & Group Theory Seminar" университета Vanderbilt (Нэшвилл, США, 2004 г.), на Международной алгебраической конференции, посвященной 250-летию Московского университета и 75-летию кафедры высшей алгебры, (Москва, 2004 г.) и на Международной алгебраической конференции "К 100-летию со дня рождения П.Г. Конторовича и 70-летию Л.Н. Шеврина" (Екатеринбург, 2005 г.)
Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах автора [34]-[37].
Пользуясь случаем, автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю А.Ю. Ольшанскому за постановку задачи и постоянное внимание к данной работе, Шмелькину А.Л. за внимание к работе, Куликову В.С, Клячко А.А., Аржан-цеву И.В., Тимашеву Д.А., Гутерману А.Э., Вдовину Е.П. и Ми-носяну А. за полезные обсуждения, а также Семенову Ю.С. за прочтение рукописи и найденные неточности.
Предварительные сведения об алгебраических многообразиях
Далее до конца параграфа считаем зафиксированным основное алгебраически замкнутое поле К. Доказательство теорем 1.1 и 1.2 построено на некоторых приемах алгебраической геометрии, поэтому целесообразно напомнить некоторые определения. Мы будем придерживаться терминологии, принятой в книге Шафаревича [20]. Рассмотрим n-мерное проективное пространство Рп с однородными координатами (щ : ... : ип). Обозначим через К[щ,...,ип] кольцо многочленов от переменных щ,...,ип с коэффициентами из поля К. Будем говорить, что многочлен / Є К[щ,..., ип] обращается в 0 в точке х Є Р, если /{щ,... ,ип) = 0, как бы ни были выбраны однородные координаты щ точки х. (То есть, если f(\uo,..., \ип) = 0 для всех Л 0, Л Є К.) Замкнутым в топологии Зарисского подмножеством проективного пространства Р" называется множество, состоящее из всех точек, в которых одновременно обращается в 0 конечное число многочленов с коэффициентами из К. Эта система замкнутых множеств определяет в Рп топологию (то есть пересечение замкнутых множеств и объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуты). Заданная таким образом топология на Рп индуцирует топологию Зарисского на любом подмножестве пространства Рп. (Множество У является замкнутым подмножеством множества X С Р", если Y = XDZ для некоторого замкнутого подмножества Z cFn.) Замкнутые подмножества проективного пространства Рп называются также проективными многообразиями, а пересечения открытого и замкнутого подмножеств — квазипроективными многообразиями. Непустое множество X называется приводимым, если его можно представить в виде объединения двух собственных непустых замкнутых подмножеств. В противном случае, X — неприводимо. Утверждение 1.2. Неприводимы многообразия обладают следу ющими простым свойствами: а) Любые два непустых открытых подмножества неприводи мого многообразия имеют непустое пересечение. б)
Открытое подмножество неприводимого многообразия не приводимо. в) Всякое квазипроективное многообразие X можно предста вить в виде объединения конечного числа замкнутых непри водимых подмножеств Х{ так, чтобы Xi . Xj при і j. Это разложение единственно с точностью до перенумерации Х{. Подмножества Х\ из последнего утверждения называются неприводимыми компонентами многообразия X. Далее, пусть / : X —» Рт — отображение квазипроективного многообразия X С f в Рш. Это отображение называется регулярным, если для любой точки х Є X существует окрестность U и набор однородных многочленов одинаковой степени FQ, ..., Fm Є К[щ,..., ип] такие, что для любой точки у Є U с однородными координатами (щ : ... : ип) справедливо равенство причем не все Fi обращаются в 0 в точке х. (Тогда функция / корректно определена, и ее значение не зависит от выбора однородных координат точки х.) Пусть X С Рп — неприводимое квазипроективное многообразие. Совокупность многочленов / Є К[щ,...,ип], обращающихся в 0 во всех точках х X, образует идеал кольца К[щ,.. .,ип]. Обозначим его через 21 . Далее, обозначим через Ох множество рациональных функций от однородных координат щ,..., ип вида / = її, где Р и Q — однородные многочлены одинаковой степени и Q %х- Из неприводимости X следует, что Ох — кольцо. Обозначим через Мх множество функций / Є Ох, для которых Р Є 21х- Тогда фактор кольцо Ох/Мх является полем. Это поле называется полем рациональных функций на многообразии X и обозначается К(Х). Размерностью неприводимого квазипроективного многообразия X называется степень трансцендентности поля К(Х) над полем К. Размерностью приводимого многообразия называется максимум размерностей его неприводимых компонент. Мы будем пользоваться не самим определением размерности непосредственно, а вытекающими из него свойствами, которые мы сформулируем ниже. Утверждение 1.3. а) Размерность n-мерного аффинного или проективного пространства равна п. б) Если X — неприводимое многообразие, и U открыто в X, то dim U = dim X. Также для доказательства теорем 1.1 и 1.2 нам понадобятся следующие утверждения, которые также можно найти в [20]. Утверждение 1.4.
Свойство подмножества Y С X быть замкнутым в квазипроективном многообразии X является локальным. То есть, если X = UUa, Ua открыто, uYDUa замкнуто в каждом Ua, то Y замкнуто. Утверждение 1.5. Образ проективного многообразия при регулярном отображении замкнут. Утверждение 1.6. Если X С Y, то dimX dim У. Если Y непри-водимо, X С Y, dim X = dim Y и X замкнуто в Y, то X = Y. Утверждение 1.7. Если f : X — Y —регулярное отображение неприводимых многообразий, f(X) = Y, dimX = n, dim У = m, то т -пи
Нижняя оценка функции /2(п)
Пусть V — n-мерное векторное пространство над Q с базисом 01,...,0,1, и Ф = {(fi,..., pt} —набор билинейных кососимме-трических форм на V, которые задаются в этом базисе матрицами с целыми коэффициентами, т.е. (р = (рк(сц,а/) Є Z, Рассмотрим группу G$ , состоящую из элементов вида которые перемножаются по формуле: Корректность умножения, т.е. выполнимость аксиом группы, можно проверить непосредственно. Также из формулы (2.4) следует, что группа G p — нильпотентная ступени 2 и без кручения, подгруппа Z, порожденная элементами b\,..., bt — центральная, причем bi,... ,bt — ее свободные порождающие, а фактор-группа Єф/Z — абелева и свободно порождается элементами a\Z,..., anZ. Поэтому элементы Єф/Z можно естественным образом отождествить с векторами пространства V, имеющими целочисленные координаты в базисе ai,..., а„. Очевидно, ранг без кручения группы Єф равен n + t. Кроме того, из формулы (2.4) получаем: И далее, по линейности коммутатора в 2-нильпотентной группе, и набор целочисленных (в некотором базисе) билинейных косо-симметрических форм Ф = {ipi,...,(ft} на n-мерном векторном пространстве V выбран так, как это позволяет сделать теорема 1.1. Тогда построенная по этому набору группа G$, удовлетворяет условию A(k +1 — 1). Доказательство. Пусть А — абелева подгруппа группы G$,. Тогда, как видно из формулы (2.5), подпространство, натянутое на свободные порождающие группы AZ/Z как на вектора из V, является вполне изотропным относительно (pi,...,ipt. Следовательно, по теореме 1.1,
Тогда s2+4s+7 8 Пусть s — четно. Положим = ,А; = !--1,п= -2п t(k — 1) + 2k, и, согласно лемме 2.1, существует группа G$ , все абелевы подгруппы которой имеют не более s порождающих, в то время как циклический ранг группы Сф равен Аналогично, для нечетного s полагаем t = k = r, n = s +f+2 и получаем, что ранг без кручения группы ( равен Следовательно, /2(s) --1 + s. Рассмотрим произвольную нильпотентную ступени 2 конечно порожденную группу G без кручения. Так как центр нильпотентнои группы без кручения изолирован ([19, следствие леммы 4.7]), то центр Z группы G и фактор-группа G/Z{G) являются свободными абелевыми группами. Обозначим через z\,...,zt свободные порождающие Z, а через а\,..., ап — свободные порождающие группы G по модулю центра. Тогда элементы группы G представляются в виде (2.3), и, в силу дистрибутивности операции коммутирования в нильпотентной ступени 2 группе, коммутатор двух произвольных элементов хну имеет вид (2.5) для некоторых целочисленных КОСОСИММеТрИЧеСКИХ биЛИНеЙНЫХ форм (fi,...,(pt. В данных обозначениях элементы х и у коммутируют тогда и только тогда, когда где х = xZ, у = yZ. Поэтому централизатор С(х\) некоторого ненулевого элемента х\ Є G задается системой из t линейных уравнений, а значит, Следовательно, если п — t 2, то в G существует элемент Х2, непропорциональный х\ по модулю центра и коммутирующий с ним. Далее, по индукции, если выбрано к — 1 линейно независимых по модулю центра попарно коммутирующих между собой элементов xi,..., Xk-i, то их централизатор С{х\,..., Xk-i) задается системой из (к — l)t линейных уравнений (относительно у) и поэтому имеет ранг не менее п — (к — l)t. Если теперь п — (к — l)t к, то в G существует к линейно независимых по модулю центра попарно коммутирующих между собой элемента х\,...,Хк, а, следовательно, и свободная абелева подгруппа ранга к +1, порожденная элементами xi и Z.
Выберем максимальное такое ко, то есть такое, что п — (ко — l)t ко, an — kot /. Тогда G содержит коммутативную подгруппу ранга s = ко +t, и 2 ikG = Последнее неравенство дает необходимую оценку функции /2(п). 3 Нильпотентные ступени 2 алгебры и группы Ли 3.1 Определения и формулировка результатов Все рассматриваемые нами алгебры являются конечномерными, и в дальнейшем мы не будем это каждый раз оговаривать. Определение 3.1. Пусть А — некоторая алгебра Ли или ассоциативная алгебра. Будем говорить, что А удовлетворяет условию А(п), если размерности ее коммутативных подалгебр ограничены числом п. Определение 3.2. Для каждого целого п будем обозначать через 12к(п) наибольшее число h такое, что существует нильпотентная ступени 2 алгебра Ли размерности h над полем К, удовлетворяющая условию А(п). Определение 3.3. Для каждого целого п будем обозначать через а2к{п) наибольшее число h такое, что существует нильпотентная ступени 2 ассоциативная алгебра размерности h над полем К, удовлетворяющая условию А(п). Определение 3.4. Пусть G — группа Ли. Группа G удовлетворяет условию А(п), если размерности ее коммутативных подгрупп Ли не превосходят п. Определение 3.5. Для каждого целого п будем обозначать через д2к(п) наибольшее число h такое, что существует нильпотентная ступени 2 группа Ли размерности h над полем К вещественных или комплексных чисел, которая удовлетворяет условию А(п). Теорема 3.1. Пусть h —это одна из функций 12к, а2к или д\. Тогда, если поле К конечно, то h удовлетворяет неравенству Если же поле К бесконечно, то Теорема 3.2. Если поле К алгебраически замкнуто, то определенные выше функции можно вычислить по следующей формуле:
Сведение теорем 3.1 и 3.2 к случаю нильпотентных ступени 2 алгебр Ли
Доказательство. Пусть G — некоторая нильпотентная ступени 2 группа Ли, удовлетворяющая условию A(s), и пусть Q — ее касательная алгебра Ли, которая также будет нильпотентной ступени 2. Рассмотрим произвольную абелеву подалгебру Ь Q- Обозначим через Ч)м ее замыкание Мальцева, то есть наименьшую подалгебру, содержащую () и такую, что существует связная подгруппа Ли Н G с касательной алгеброй \)м. Согласно теореме 1.4.3 [5, теорема 1.4.3], коммутанты алгебр fj и f M совпадают. Следовательно, алгебра f)M, а значит, и группа Я коммутативны, и, по предположению, dimf) dimf)M = dim Я s. То есть все коммутативные подалгебры алгебры Q имеют не превосходящую s размерность. По определению функции l\, dimG = dimg IR(S)-А следовательно, С другой стороны, для любой вещественной (или комплексной) нильпотентной ступени 2 алгебры Ли g существует связная вещественная (соответственно комплексная) нильпотентная ступени 2 группа Ли G с данной касательной алгеброй ([5, теорема 6.2]). Так как касательные алгебры коммутативных групп Ли являются коммутативными, то размерности коммутативных подгрупп Ли группы G ограниченны сверху тем же числом, что и размерности коммутативных подалгебр алгебры д. Поэтому,
Рассмотрим произвольную нильпотентную ступени 2 алгебру Ли g над полем К. Обозначим через з центр д, через z\t..., zt — его базис, а через V некоторое дополнительное к з подпространство с размерностью п. Тогда произведение двух произвольных элементов х = х-\-хиу = у + утд, где х, у Є V, х, у Є і, описывается формулой для некоторого набора кососимметрических билинейных форм Ф = Ф(о) = ( p!,...,(pt) на V. С другой стороны, если з и V — некоторые векторные пространства над полем К, zi,...,zt — базис з, а Ф = (ip\,...,(pt) — набор билинейных кососимметрических форм на К, то на прямой сумме пространств з и V всегда можно задать структуру нильпотентной ступени 2 алгебры Ли g = д(Ф) с центральной подалгеброй з, определив умножение по формуле (3.4). В данных обозначениях элементы х и у коммутируют тогда и только тогда, когда А произвольная подалгебра Ь В является коммутативной тогда и только тогда, когда подпространство ї)/(ї) П з) С V вполне изотропно для всех форм fi,...,lpt. Нильпотентные ступени 2 ассоциативные алгебры обладают очень похожим строением. Поэтому имеет место следующее утверждение. Предложение 3.2. Для любого поля К справедливо равенство Доказательство. Пусть А нильпотентная ступени 2 ассоциативная алгебра, Z — ее аннулятор, то есть идеал алгебры А, состоящий из таких элементов х, что Ах = хА = 0. Пусть, далее, z\,...,zt — базис Z, а V — дополнительное к Z подпространство размерности п. Тогда произведение произвольных элементов х = х + х и У = У + У из А, где х, у Є V, х, у Є Z, описывается формулой для некоторых билинейных форм фі,..., ipt на V. И, аналогично, любому набору билинейных форм = ( 1,..., ) на пространстве V можно сопоставить ассоциативную алгебру А = А(Ф), задав на прямой сумме пространств V и Z умножение по формуле (3.5). Элементы х т у коммутируют тогда и только тогда, когда Пусть функции 4 i,..., t задаются в некотором базисе матрицами C\,...,Ct соответственно, а элементы х и у записаны в этом базисе покоординатно в виде столбцов. Тогда хиу перестановочны тогда и только тогда, когда
То есть тогда и только тогда, когда Поэтому произвольная подалгебра В А является коммутативной тогда и только тогда, когда подпространство В/ {В П Z) является вполне изотропным для билинейных кососимметрических форм, задаваемых матрицами (d — Cj). Максимальные коммутативные подалгебры алгебры Ли 0 (ассоциативной алгебры А) — это в точности те подпространства алгебры, которые разлагаются в прямую сумму з (соответственно Z) и некоторого максимального изотропного для форм щ ( соответственно для форм {СІ — Cj)) подпространства. Таким образом, любой нильпотентной ступени 2 ассоциативной алгебре А с условием A(s) можно сопоставить нильпотентную ступени 2 алгебру Ли той же размерности, также удовлетворяющую условию A(s), а именно, алгебру д(Ф), построенную по набору форм Ф, задаваемых матрицами {C\(A)-C\(A)J,..., Ct(A)—Ct(A)T). И наоборот, для каждой нильпотентной ступени 2 алгебре Ли g с условием A (s) существует нильпотентная ступени 2 ассоциативная алгебра с условием A(s) такой же размерности. В качестве такой алгебры можно взять любую алгебру A(Ci,..., (, такую что матрицы d — Cj задают формы рі(о). Например, можно положить Cfj = ipijio), если і j, и Cij = 0 иначе. Отсюда, по определению, следует, что функции а2к и 12к совпадают. Предложения 3.1, 3.2 сводят доказательство теорем 3.1 и 3.2 к оценке или, соответственно, вычислению функции 1\.
Вещественные алгебры Ли
Лемма 4.5. Размерность вещественной разрешимой алгебры Ли Q с условием А(п) не превосходит 2п2 + Зп. Доказательство. Выберем в g максимальный идеал і, такой что либо і коммутативен, либо і представим в виде суммы т некоммутативных идеалов ifc со следующими свойствами: Если і коммутативен, считаем, что і = с и т = 0. Для каждого х Є Q положим р{х) = adzi, и покажем, что kerp = с. Так как в силу некоммутативности i и условия (3) с является центром каждого из і , то Кегр П і = с. Предположим, что Кег/9 больше с. Тогда в Кегр/с можно выбрать идеал j/c разрешимой фактор-алгебры Q/C размерности 1 или 2 ([1, следствие 4 теоремы 1.5.1]). Если идеал j коммутативен, положим с = j, і . = i& +j к = 1,...,т, i; = ij Н h i m. Видно, что і есть идеал строго больший і и удовлетворяющий всем необходимым условиям. Если же j некоммутативен, то обязательно dimj/c = 2, так как с содержится в центре j. Полагая im+i = j, і = і + im+i, снова получаем идеал, собственным образом содержащий і и удовлетворяющий тем же условиям. Противоречие. Таким образом, д/с можно рассматривать как разрешимую подалгебру в QIS(Ж), где s = dimi.
Так как любое неприводимое представление разрешимой вещественной алгебры Ли имеет размерность не больше 2 ([1, следствие 4 теоремы 1.5.1]), то в і можно выбрать такой базис, что все элементы из Q/C В ЭТОМ базисе будут представимы "почти треугольными" матрицами, то есть матрицами, у которых вдоль главной диагонали могут стоять ненулевые блоки размера 1x1 или 2 х 2, а под ними только нулевые коэффициенты. Отсюда следует, что dimg/c 3 2 . Заметим теперь, что і содержит коммутативную подалгебру большой размерности. Действительно, так как для любого к согласно условию (1) ifc П Фі кЧ содержится в центре ifc, а значит, совпадает с с, то идеалы i складываются прямым образом по модулю с, и dimi = 2т + dime. Выберем для каждого к = 1,... ,га элемент Хк Є \к \ с, тогда линейная оболочка {х\,...,хт,с) будет абелевой подалгеброй с размерностью t = m + dime . Имеем: Лемма 4.6. Для вещественной простой алгебры д с условием Л(п) справедлива следующая оценка размерности: Доказательство. Для комплексной алгебры Ли и будем обозначать через uR вещественную алгебру Ли, полученную из и путем операции овеществления. Воспользуемся теоремой 5.1.1 из [5], которая утверждает, что вещественная алгебра Ли проста тогда и только тогда, когда она изоморфна либо алгебре вида uR, где и — простая комплексная алгебра Ли, либо вещественной форме простой комплексной алгебры Ли. Предположим сначала, что Q = uR для некоторой комплексной простой алгебры и. Согласно лемме 4.3, в и существует такая абелева подалгебра Ї), что dime и 7 dime Ь- Тогда fyR — абелева подалгебра в uR, и следовательно, так как dining = 2dimc и и dimjR f)R = 2 dime Ц, наша лемма верна.
Далее, пусть g является вещественной формой некоторой простой комплексной алгебры и. Согласно [5, задача 5.4.9], в g можно выбрать коммутативную подалгебру f) такую, что ее комплексифи-кация Ї)(С) будет максимальной диагонализуемой подалгеброй в и, в частности размерность Ї) будет равна рангу алгебры и. Теперь, сравнивая значения ранга и размерности простых комплексных алгебр Ли, приведенные в таблице, легко получаем требуемое неравенство. Лемма 4.7. Полупростая вещественная алгебра Ли g С условием А(п) имеет размерность, не превосходящую 2га2 + 15га. Доказательство аналогично доказательству леммы 4.4. Достаточно дополнительно использовать соображение о том, что сумма квадратов положительных чисел не превосходит квадрата их суммы. Теорема 4.3. Для функции IR(TI) имеет место соотношение: Доказательство дословно повторяет доказательство теоремы 4.2, если вместо лемм 4.2 и 4.4 использовать леммы 4.5 и 4.7. Следствие 4.2. Функция дш(п) удовлетворяет неравенству Лемма 4.8. Если А— некоторая нильпотентная ассоциативная алгебра над произвольным полем, удовлетворяющая условию А(п), то
