Введение к работе
Актуальность темы диссертации Центральной задачей любой содержательной математической теории является задача о разумной клафифика-ции и конструктивном описании тех исследуемых в ней объектов, которые наиболее полезны в различных приложениях. Реализация такой задачи всегда связана с разработкой новых методов исследования, которые в конечном счете составляют основное идейное богатство данной теории. Такая тенденция ярко проявилась на примере развития теории конечных непростых групп в последние три десятилетия. В монографии Л.А.Шеметкова "Формации конечных групп"(М.: Наука, 1978) отмечалось, что хотя теория конечных групп никогда не испытывала недостатка в общих методах, идеях и нерешенных проблемах, все же обилие полученных результатов с неизбежностью привело к необходимости разработки новых методов и систематизирующих точек зрения.
Одной из таких систематизирующих и, как оказалось, весьма перспективных точек зрения явилась идея Гашюца о том, что внутреннее строение конечной группы удобно исследовать по отношению к некоторому фиксиро-
hrhwimv кпясг\' rnvrrrt HR^nflHuriMv Гягтттпшг тіпїгятттлтй гЬпт/гяігарй
Напомним, что локальной формацией конечных групп называется класс конечных групп, замкнутый относительно гомоморфных образов, подпрямых произведений и фраттиниевых расширений. Такой подход к изучению строения конечных групп привлек внимание многих специалистов по алгебре, и исследования, связанные с локальными формациями, составили одно из до-минирующгос направлений современной теории классов групп.
С середины шестидесятых годов задача конструирования и классификации локальных формаций запимает одно из центральных мест в исследованиях по теории классов конечных групп. К концу 70-х годов благодаря работам таких известных алгебраистов, как Гашюц, Кегель, Хоукс, Брайс, Косей, Л.А.Шеметков, сформировался круг проблем, связанных с общей задачей классификации локальных формаций.
Отметим, что данная проблематика дала естественный толчок к анализу общей проблемы классификации локальных формаций. В настоящее время реализация этой задачи идет в основном по пути выделения и описания различных типов локальных формаций, важных для приложений.
Одной из первых проблем, вызвавшей бурное развитие классификационного направления в теории локальных формаций, была следующая проблема Хоукса.
Проблема 1 (Хоукс, 1070 г., [1]). Описать разрешимые наследственные формации Фиттпнга.
Первый шаг в решении данной проблемы был сделан самим Хоуксом в работе [1], в которой было получено описание метанильпотентных наследственных формаций Фиттинга. Затем Врайсу и Косей [2] в 1982 г. удалось доказать, что любая разрешимая каследственная формация Фиттинга является насыщенной. Этот результат позволил им получить схему построения таких формаций с помощью объединения цепей некоторых формаций и доказать, что любая наследственная формация Фиттинга из класса W (разрешимых групп нильпотентной длины не выше п, где п — натуральное число) может быть получена с помощью операций произведения и пересечения формаций &Vi всех разрешимых 7Г{-групп для некоторых наборов щ простых чисел (2). Дальнейшее продвижение в решении проблемы Хоукса связано с использованием понятия n-кратно локальной формации, введенного А.Н.Скибой [3].
Всякая формация считайся 0-кратно локальной. Формация называется n-кратно локальной, если она имеет такой локальный экран, все непустые значения которого являются (п-І)-кратно локальными формациями. Формация называется тотально локальной, если она п-кратно локальна для любого натурального числа п.
Используя результаты работы [2], нетрудно показать, что класс разрешимых наследственных формаций Фиттинга совпадает с классом разрешимых тотально локальных формаций.
Следующий важный шаг в развитии классификационного направления теории локальных формаций связан с известными проблемами Кегеля и Л.А.Шемсткова.
Согласно классической теореме Виландта [4], множество всех субнормальных подгрупп в любой конечной группе образует решетку. Развивая этот результат, Кегель установил, что множество всех 3-достижимых подгрупп в любой конечной группе образует решетку, если J ~ наследственная формация, замкнутая относительно расширений, [5]. В теории классов групп понятия У-достижимости и ^-субнормальное являются расширением понятия субнормальности. В этой работе Кегель поставил следующую проблему.
Проблема 2 (Кегель, 1978 г., [5j). Найти классы групп ^, обладающие тем свойством, что в любой конечной группе множество всех #-достижимых подгрупп образует решетку.
Такая же задача для ^-субнормальных подгрупп предложена Л.А.Ше-метковым.
Проблема 3 (Л.А.Шеметков, 1978 г., [6]). В каких случаях множество всех ^-субнормальных подгрупп группы G образует решетку?
Частное решение данных проблем для наследственных локальных формаций в разрешимом случае получили Баллестер-Болинше, Дерк и Перец-
Рамош [7] .
В попытках решения этих и других классификационных проблем выяви-тась особая рать критических групп, т.е. групп, не принадлежащих некоторому классу #, но все собственные подгруппы которых принадлежат #. Еще в 1929 году С.А.Чунихин [8] поставил задачу изучения свойств конечной группы в зависимости от населяющих ее критических подгрупп. Развивая данную едею С.А.Чунихина, Л.А.Шеметков на восьмом (Суммы, 1982 г.) и девятом [Москва, 1984 г.) Всесоюзных симпозиумах по теории групп отметил особую золь критических групп при изучении не только отдельной группы, но и при етисании классов конечных групп.
Критическую группу по отношению к формации J будем называть также чинимальной не З-гругтс-й- Изучение минимальных не 3-групп, где # — локальная формация, всегда находилось в поле зрения алгебраистов. Большой жлад в изучение таких групп для конкретных локальных формаций (ниль-тотентных, сверхразрешимых, разрешимых и др.) внесли такие известные математики, как О.Ю.Шмидт, С.А.Чунихин, А.И.Старостин, Хупперт, Дерк, Гомпсон, Ито, Картер, Фишер, Хоукс и др. Важнейшую роль в теории конечных групп играют группы Шмидта, т.е. минимальные ненильпотентные груп-—В-работе-[9] -СтАтЧунихин доказал, что минимальная не р-разложимая группа является группой Шмидта. Ито [10J установил, что минимальная не э-нильпотентнаятруппа также является группой Шмидта. Эти и другие результаты подобного рода привели к следующим классификационным прооле-
Проблема 4 (Л.А.Шеметков, 1984 г., [Hj). Найти все локальные наследственные формации ^ с тем свойством, что минимальные не ^-группы являются группами Шмидта, либо группами простого порядка.
Проблема 5 (Л.А.Шеметков, 1982 г., [11]). Найти все локальные наследственные формации $ с тем свойством, что минимальные не ^-группы <оторых бипримарны.
Проблема 6 (Л.А.Шеметков, 1998 г.,[11]). Описать наследственные спер-срадикальные формации.
Перечисленные выше проблемы являются ключевыми в классификации иокальных формаций. Данные проблемы вызвали большой интерес математиков как у нас в стране, так и за рубежом. В работе [12] испанские математики Баллестер-Волинше и Перец-Рамош предложили термин "формация Ше-четкова". Согласно [12], формация называется формацией Шеметкова, если тюбая минимальная не ^-группа либо является группой Шмидта, либо имеет простой порядок. В последние годы А.Н.Скибой [13], С.Ф.Каморниковым [14], Валлестером-Болиише и Перец-Рамош [12],Васильсвым А.Ф. [17] был полу-
чен ряд интересных результатов о формациях Шеметкова, которые показал* важную роль таких формаций в общей теории формаций конечных групп.
Таким образом, задача классификации и конструирования наследственных и нормально наследственных локальных формаций и классов Фиттинп занимает одно из центральных мест в современной теории классов групп.
Связь работы с крупными научными программами, темами. Диссертация выполнена в рамках госбюджетной темы "Структурная теория формаций и других классов алгебр "Гомельского госуниверситет* им.Ф.Скорины. Тема входит в план важнейших научно-исследовательскю работ в области естественных, технических и общественных наук по Респу блике Беларусь, утвержденный решением Президиума НАН Беларуси N 8S от 23 ноября 1995 г.(номер госрегистрации в БелИСА - 19963987).
Цель и задачи исследования. Построение общей теории разрешимы) критических групп и ее использование для решения ряда классификационных проблем теории классов конечных групп, а именно:
- конструктивное описание разрешимых наследственных классов Фит типга;
~ классификация и описание различных типов локальных Формаций важных для приложений.
Объект и предмет исследования. Объетом исследования являюто критические группы и локальные формация, а предметом исследования из структура и конструктивные свойства.
Методология и методы проведенного исследования. Использова лись методы абстрактной теории групп, методы теории формаций конечны? групп.
Научная новизна и значимость полученных результатов. Всі
основные результаты диссертации являются новыми, впервые получены ав тором и имеют теоретическое значение. Они посвящены развитию классифи кациопного направления теории локальных формаций.
Результаты диссертации будут способствовать дальнейшему развитию те ории формаций и классов Фиттинга конечных групп, и могут быть использо наны при чтении спецкурсов в университетах. Отдельные результаты диссер тации неоднократно цитировались и применялись в статьях отечественны) и зарубежных математиков (см., например, [12,15,17,18,19]) и монография) [6,16].
Основные положения диссертации, выносимые на защиту.
-
Общая теория разрешимых критических групп и ее приложение для развития классификационного направления теории классов конечных групп.
-
Конструктивное описание разрешимых наследственных классов Фит-тинга — решение проблемы Хоукса (проблема 1).
-
Описание локальных наследственных формаций $, обладающих решеточным свойсгвом для ^-субнормальных подгрупп — решение проблемы Кегеля и проблемы Л.А.Шеметкова (проблема 2 и 3).
-
Описание разрешимых сверхрадикальных формаций — решение в разрешимом случае проблемы Л.А.Шеметкова (проблема б).
-
Описание локальных наследственных формаций У, минимальные не ^-группы которых бипримарны — решение проблемы Л.А.Шеметкова (проблема 5).
Личный вклад соискателя. В диссертации автором изложены результаты самостоятельных исследований, опубликованных в 1976-2000 гг. в 29 научных статьях, четыре из которых являются совместными. Описание локальных наследственных формаций ^, обладающих решеточным свойством для ^-достижимых (^-субнормальных) подгрупп, получена автором, А.Ф.Васильевым и С.Ф.Каморпиковым в совместной работе [55]. Все остальные выносимые на защиту результаты диссертации получены автором самостоятельно.
Апробация результатов диссертации. Результаты настоящей диссертационной работы неоднократно докладывались автором на семинаре по теории групп кафедры алгебры и геометрии Гомельского госуниверситета ш.Ф.Скорины, на семинаре "Алгебра и логика"(Новосибирск), на Киев-жом и Минском городских алгебраических семинарах. Автор выступал с докладами на VI-XI Всесоюзных симпозиумах по теории групп (Черкас-:ы,1978 г., Шушенское, 1980 г., Сумы, 1982 г., Москва, 1984 г., Гомель, ^986 г., Свердловск, 1989 г.), XIV, XVI-XIX Всесоюзных алгебраических сонференциях (Новосибирск, 1977 г., Ленинград, 1981 г., Минск, 1983 г., Кишинев, 1985 г., Львов, 1987 г.), на Н-Ш Международных конференци-ix по алгебре (Барнаул, 1991 г., Красноярск, 1993 г.), на Международ-юй математической конференции, посвященной 200-летию со дня рождения і.И.Лобачевского (Минск, 1992 г.), на Международной математической конференции, посвященной 25-летию Гомельского госупиверситета (Гомель, 1994 .), на Международной конференции по алгебре и кибернетике, посвящен-юй памяти С.А.Чунихина (Гомель, 1995 г.), на Международной алгебраи-геской конференции, посвященной памяти Д.К.Фаддеева (Санкт-Петербург, 997 г.), на Международных алгебраических конференциях, посвященных
памяти профессора Л.М.Глускина (Славянск, 1997 г.) и памяти профессора Л.А.Калужина (Киев, 1999 г.), на Международном алгебраическом семинаре, посвященном 70-летию кафедры высшей алгебры МГУ (Москва, 1999 г.), на VI-VIII конференциях математиков Беларуси (Гродно, 1992 г., Минск, 1996 г., 2000г.)
Опубликованность результатов. По теме диссертационной работы имеется 54 публикации. Все результаты диссертации опубликованы в 29 научных статьях, из указанных четыре работы являются совместными. Отдельные результаты автора вошли в монографии [6,16]. Общее количество страниц опубликованных материалов — 247.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из перечня условных обозначений, введения, общей характеристики работы, обзора результатов, трех глав основной части, заключения и списка использованных источников, расположенных в алфавитном порядке, содержащего 141 наименований. Объем диссертации — 170 страницы текста.