Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТИМЫ. В данной работе рассматривается круг вопросов, связанных со сходимостью последовательностей элементов многомерного полного поля и рядов над многомерными полными ПОЛЯМИ.
Теория многомерных локальных и полных полей стала активно развиваться с середины 70-х годов. По определению, n-мерное полное поле представляет собой поле, полное относительно дискретного нормирования, поле вычетов которого — (п — 1)-мерное полное ііолє. При этом за 0-мерное полное поле принимается произвольное совершенное поле. Понятие многомерного полного поля обобщает понятие многомерного локального поля (отличие в том, что 0-мерное локальное поле — это произвольное конечное поле). Впервые роль многомерных полных полей была понята А. Н. Паршиным, который рассмотрел их как результат процесса пополнения п-мерной схемы в точке1. Тем самым выявилось их значені'!'/ с алгебраической геометрии. С другой стороны, большой класс. дискретно нормированных полей может быть "приближен" многомерными локальными и многомерными полными полями, что делает эти поля хорошим инструментом для исследования различных видов дискретно нормированных полей. Удобство использования многомерных локальных полей в качестве такого инструмента связано с тем, что для этих полей построена теория полей классов, основные теоремы которой были доказаны А. Н. Паршиным2 и К. Като3. В последнее время был состроен вариант теории полей классов многш-триых полных полей с совершенным полем вычетов4. Недавно И. Б. Жуковым получено "чисто локальное" доказательство структурной теоремы А. Н. Паршина для многомерных полных полей5, Теорема
1 Паршин А. Н К арифметике двумерных схем. 1. Распределения и вычеты. — Изв. АН СССР, сер. мат., 1976, -г. 40, с. 736-773.
2Паршин А. Н. Локальная теория полей классов. — Труды МИАН, 1934, т. 165, г. 143-170.
3Kato К. A generalization of local class field theory by using K-gronps, I. — J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. Sect. 1A. Math., 1979. v. 26, p. 303-376. II. — I860, v. 27, p. 603-685.
4Fesenko I. B. Abelinn local p-class field theory. — Math.Ann., 1995, v. 301, p. 561-586.
5Жукоп И. Б. Структурная теорема для похчых пол^й. —- Труды Санкт-Нетерб. Mar. of>iu., 1994, т. З, с. 215-234.
_ 4 —
позволяет классифицировать многомерные полные поля, а также сопоставить любому многомерному полному полю (не всегда канонически) ьекоторое стандартное многомерное полное поле.
Л. Н. Паршиным на многомерных локальных полях введена топология, отличная от обычной топологии дискретного нормирования и учитывающая топологии полей вычетов. Подобным образом топологию можно ввести и на многомерном полном поле. Проверка сходимости последовательностей и рядов в этой топологии является нетривиальной. В то же время вопрос сходимости весьма существенен для решения ряда задач. Даже в случае классического одномерного локального поля нередко требуется обосновать существование некоторых элементов, формально определенных в виде рядов, в которые вместо переменной подставлен заданный элемент поля. Например, примерные элементы классического локального поля нулевой характеристики6 представлены именно таким образом. Эти элементы играют важную роль в задании символа Гильберта. В 1981 году Ги Эньяром в статье, посвященной передоказательству явных формул закона взаимности,7 была предпринята попытка обосновать корректность определения примарних элементов. Однако в его работе содержится существенный просчет. В пункте 5 параграфа 5 при доказательстве сходимости суперпозиции рядов одну и ту же величину он рассматривает последовательно как наименьшую из двух фиксированных величин и как наибольшую из тех же величин, что делает неверными все последующие выкладки. Таким образом, его статья не дала ответа на вопрос корректности определения примарних элементов.
В дальнейшем С' В. Бостоновым8 получена также явная формула для спаривания Гильберта в многомерных полных полях нулевой характеристики с первым полом вычетов положительной характеристики. В этой формуле тоже фигурируют элементы, формально определенные как ряды, в которых вместо переменной подставлен заданный элемент поля. Таким
6Востсжов С. В. Явная форма закона взаимности. — Изв. АН СССР, сер ,мат., 1978, т. 42, с. 1288-132) .
7 Henci&rt G. Sur les bis dereciprocity explicit». I. — J reine und angew. Math., 1981 v. 320, p. 177-202.
вВоегокоя С. В. Спаривание на if-группах многомерных полных полей. -, Трідьг Санкт-Петерб. Маг. общ., 1994, т.3, с. 140-184.
— 5 —
образом, вопрос сходимости рядов актуален и в многомерном случае.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Целью диссертации является:
формулировка и доказательство критерия сходимости последовательностей в многомерном полном поле, данного в терминах нормирований;
формулировка и доказательство признаков сходимости рядов, суперпозиций рядов и бесконечных произведений рядов с коэффициентами из многомерного полного ноля іри подстановке вместо переменной элемента втого поля;
- изучение вопроса сходимости сумм, заданных при помощи
формального группового закона, над некоторыми кольцами,
содержащимися в кольце нормирования многомерного полного
поля;
- обоснование с помощью полученных результатов с-
ходимости рядов, определяющих примарные элементы класси
ческого локального поля нулевой характеристики и многомер
ного полного поля нулевой характеристики с первым полем
вычетов положительной характеристики.'
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. В работе используется структурная теорема для многомерных полных полей, конструкция топологии многомерного полного поля, явная формула для примарних элементов, стандартная техника разложения в степенные ряды.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все основные результаты диссертации являются новыми. Критерий сходимости последовательностей в многомерном полном поле сформулирован в терминах нормирований, а не открытых подгрупп поля К. Сформулированы и доказаны признаки сходимости рядов, суперпозипий рядов и бесконечных произведений рядов с коэффициентами из многомерного полного поля при подстановке вместо переменной элемента этого поля. Введены понятия псевдонормирований, обобщающие понятие нормирования многомерного полного поля.
Кроме того, введены кольца, содержащиеся в кольце нормирования многомерного полного поля и обладающие тем свойством, что ряды над этими кольцами, сходятся при подстановке вместо X произвольного элемента максимального идеала 2Л. Для формальных групп пад этими кольцами сформулирова-
— б —
ны и доказаны признаки сходимости конечных и бесконечных формальных сумм рядов с коэффициентами из многомерного полного полк при подстановке вместо переменной элемента этого поля.
С помощью полученных результатов обоснована сходимость рядов, определяющих примарные элементы классического локального попя нулевой характеристики и многомерного полною поля нулевой характеристики с первым полем вычетов положительной характеристики.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа имеет теоретический характер. Она проясняет топологическую структуру многомерного полного поля, доказывает различные признаки сходимости последовательностей и радов над этим полем, позволяет в дальнейшем использовать формальные группы над введенными кольцами, обосновывает возможность рассматривать примарные элементы специального вида классического локального поля и многомерного полного поля, а также предоставляет инструмент для решения задач, подобных последней, в других случаях.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы докладывались на семинарах кафедры высшей алгебры и теории чисел Санкт-Петербургского Государственного университета, на XIX Всесоюзной алгебраической конференции (Львов, 1987) и на научной конференции '' Инновационная технология для России" (Санкт-Петербург, 1995).
ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано 6 работ, указанных в конце диссертации.
ОБЪЕМ И СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Работа состоит из введения и двух глав, разделенных на 10 параграфов, се объем 106 страницы машинописного текста. Библиография содержит 46 наименований рабст.