Содержание к диссертации
Введение
1 Введение и необходимые сведения по теории многообразий и их скелетам 3
1.1 Введение 3
1.2 Необходимые сведения по теории многообразий и их скелетам 13
2 Скелеты конгруэнц-модулярных многообразий 21
2.1 Скелеты локально-конечных неразрешимых многообразий . 21
2.2 Фактор-линейная упорядоченность счетных скелетов .... 32
3 Решеточные свойства счетных скелетов дискриминаторных многообразий 36
4 Скелеты многообразий решеток 57
4.1 Полурешеточные свойства счетных скелетов многообразий решеток 57
4.2 Проблема покрытия 62
4.3 Независимость отношений вложимости и эпиморфности . . 68
- Необходимые сведения по теории многообразий и их скелетам
- Скелеты локально-конечных неразрешимых многообразий .
- Решеточные свойства счетных скелетов дискриминаторных многообразий
- Полурешеточные свойства счетных скелетов многообразий решеток
Введение к работе
Актуальность темы. При изучении строения различных классов алгебраических систем можно выделить два основных подхода: построение и изучение различных представлений систем из этого класса и изучение самого класса или систем из него при отождествлении изоморфных алгебраических систем. Такое отождествление, т. е. рассмотрение изоморфных алгебраических систем как единого объекта, типа изоморфизма, происходит в большом числе вопросов теории моделей и современной алгебры. В качестве одного лишь примера подобного вопроса назовем проблему спектра класса, т. е. нахождение числа неизоморфных систем данного класса, имеющих фиксированную мощность. А. Тар-ским, в монографиях [33,36], была поставлена задача изучения различных операций и отношений, которые возникают между типами изоморфизма алгебраических систем данного класса при перенесении на типы изоморфизма "алгебраически значимых" операций и отношений между алгебраическими системами. При изучении строения многообразий, в силу теоремы Г. Биркгофа [28], описывающей многообразия как классы алгебр, замкнутые относительно подалгебр, гомоморфных образов и декартовых произведений, важнейшая роль принадлежит изучению отношений "быть подалгеброй", "быть гомоморфным образом" и операции декартова произведения. Решению задачи А. Тарского служит изучение так называемых скелетов многообразий алгебраических систем, введенных в систематическое изучение А. Г. Пинусом [10]. С решением отмеченной выше задачи А. Тарского и связана данная диссертация.
Введем некоторые обозначения. Готическими буквами 21, , 5) с верхними и нижними индексами будем обозначать алгебры. Букву S (с индексами) используем только для булевых алгебр. Классы алгебр будем обозначать буквами Я, fft (возможно с индексами). Для любого кардинала К и любого класса алгебр Я через Я# обозначаем совокупность Я-алгебр мощности, не большей чем N.
Если Я — некоторый класс алгебр, то через ЗЯ обозначим совокупность типов изоморфизма Я-алгебр. Заметим, что традиционный вопрос о спектре класса Я является вопросом о мощностях множеств 9ЯК. Здесь Ян = ( Є Я : |Я| = Щ. Если а,с ЗЯ, т. е. являются типами изоморфизма некоторых Я-алгебр Я, , то пусть а< с (а<с) имеет место тогда и только тогда, когда алгебра Я изоморфна некоторой подалгебре алгебры (Я является гомоморфным образом алгебры ). Для любого класса алгебр Я отношения <, <С являются отношениями квазипорядка
на S#.
Скелетом вложимости многообразия ЯЛ (скелетом эпиморфнос-ти ЯЛ) назовем квазиупорядоченный класс ($ЯЛ; <) ((Э9Я; <)); N-ограниченным скелетом вложимости (эпиморфности) многообразия ЯЛ будем называть (ЭЯЛк;<) ((ЭЯЛк; <)). В частности, счетным скелетом вложимости (эпиморфности) многообразия ЯЛ называется квазиупорядоченное множество (9ЯЯк0;<) ((ЗЗИко;^))-
Дважды квазиупорядоченный класс (ЙЯЛ; <, <5С) называется двойным скелетом многообразия ЯЛ. Будем говорить, что отношения вложимости < и эпиморфности <С независимы (финитно независимы) на многообразии ЯЛ если любое (любое конечное) дважды квазиупорядоченное множество (Л;<і, <г) изоморфно вложимо в двойной скелет многообразия ЯЛ.
Заметим, что скелеты вложимости и эпиморфности многообразий занимают промежуточное положение между такими традиционными объектами универсальной алгебры как "грубые" решетки подмногообразий с одной стороны и "тонкие" решетки конгруэнции и подалгебр — с другой. Действительно, как нетрудно заметить, для любого многообразия ЯЛ существуют изотонные отображения скелетов эпиморфности и вложимости многообразия ЯЛ на решетку подмногообразий этого многообразия. С другой стороны, для любого бесконечного кардинала К существует антиизотонное отображение решетки конгруэнции ЯК-свободной Н-порожденной алгебры на U-ограниченный скелет эпиморфности ЯЛ (существует изотонное отображение решетки подалгебр Н-универсальной по вложимости ЯЛ-алгебры на К-ограниченный скелет вложимости ЯЛ).
Отметим, что эпизодическое изучение различных вопросов, связанных со скелетами конкретных многообразий и некоторых других классов алгебраических систем, проводилось в целом ряде работ различных авторов. В работах Бонне [29,31] изучался скелет вложимости некоторых подклассов многообразия булевых алгебр. Большое число работ посвящено изучению скелетов вложимости и эпиморфности класса линейно упорядоченных множеств. Среди них работы Фрессе, Поуза, Бонне, Лавера, Ландрайтиса и других. Сводку результатов такого рода можно найти в монографии Фрессе [32]. В ряде работ А. Г. Пинуса [1-6,8,9] также изучались'вопросы, связанные со скелетами вложимости и эпиморфности класса линейных порядков. Наиболее значимым из результатов о скелетах эпиморфности и вложимости класса линейных порядков, по-видимому, является результат Лавера [34,35], давшего положительное решение проблемы Фрессе и доказавшего, что счетный скелет вложи-
мости класса всех линейно упорядоченных множеств является лучшим квазипорядком и, в частности, не содержит бесконечно убывающих цепей и бесконечных антицепей. Большое число результатов о строении скелетов конгруэнц-дистрибутивных многообразий содержится в работах А. Г. Пинуса [7,10-27].
Основное внимание в данной диссертации уделено изучению скелетов конгруэнц-модулярных многообразий. Этот класс многообразий играет заметную роль в современной алгебре. Примерами конгруэнц-модулярных многообразий являются все многообразия групп и колец, булевых алгебр и решеток, весь класс дискриминаторных многообразий, включающий в себя такие многообразия как многообразия алгебр Поста, цилиндрических алгебр, реляционных алгебр, многообразия, порожденные конечным множеством конечных полей, и целый ряд других. Известна решение Балдвином-Маккензи [30] проблемы спеектра для класса конгруэнц-модулярных многообразий: для любого такого многообразия 9Л, любого бесконечного кардинала К число типов изоморфизма Фї-алгебр, имеющих мощность N, максимально и равно 2К. Тем самым, есть основания полагать, что и скелеты вложимости и эпиморфности конгруэнц-модулярных многообразий будут достаточно богаты и обладают развитой теорией.
Скелеты конгруэнц-дистрибутивных многообразий подробно исследовались во многих работах А. Г. Пинуса. Были доказаны многие свойства скелетов, такие как вложимость в несчетные скелеты эпиморфности (а при условии продолжимости конгруэнции, и в несчетные скелеты вложимости) любых квазипорядков соответствующих мощностей, наличие в скелете эпиморфности неуплотняемых цепей порядковых типов множества всех действительных чисел и класса всех ординалов, неразрешимость элементарной теории скелета эпиморфности, финитная независимость отношений вложимости и эпиморфности и т. д. Рассматривался вопрос о решеточных свойствах скелетов. Для любого конгруэнц-дистрибутивного многообразия все несчетные скелеты не являются полурешетками, описаны дискриминаторные многообразия с полурешеточными счетными скелетами эпиморфности, в то же время доказано, что не существует не локально конечных дискриминаторных многообразий с полурешеточными счетными скелетами вложимости. При изучении скелетов конгруэнц-модулярных многообразий естественной представлялась попытка перенесения на них известных свойств скелетов конгруэнц-дистрибутивных многообразий. Кроме того, оставался ряд естественных вопросов о строении скелетов конгруэнц-дистрибу-
тивных и даже дискриминаторных многообразий. Естественным также является рассмотрение такого класса конгруэнц-дистрибутивных многообразий как многообразия решеток, в сопоставлении с дискримина-торными многообразиями.
Цель работы. Исследование вопроса о возможности перенесения ряда результатов о строении скелетов конгруэнц-дистрибутивных многообразий на более широкий класс конгруэнц-модулярных многообразий. Описание дискриминаторных многообразий с полурешеточными счетными скелетами. Исследование строения скелетов многообразий решеток.
Общая методика исследования. При изучении скелетов многообразий ключевую роль играет изучение решеток конгруэнции алгебр этих многообразий. В частности, изучение строения частично упорядоченных множеств главных конгруэнции алгебр, построенных с помощью различных булевых конструкций: булевых, фильтрованных булевых и конгруэнц-булевых степеней. Широко используются в диссертации методы теории булевых алгебр, и пережде всего рассмотрение стоуновских пространств.' Разнообразные применения находят результаты теории коммутаторов для конгруэнц-модулярных многообразий, а также теории линейно упорядоченных множеств.
Научная новизна. Новыми являются все результаты диссертации, а также значительная часть аппарата исследований. Основные результаты диссертации:
-
Ряд свойств скелетов конгруэнц-дистрибутивных многообразий перенесен на класс локально конечных неразрешимых конгруэнц-модулярных многообразий.
-
Описание конгруэнц-дистрибутивных многообразий, имеющих фактор-линейный счетный скелет эпиморфности, расширено до класса неабелевых конгруэнц-модулярных многообразий. Сформулированы необходимые условия того, чтобы конгруэнц-модулярное абелево многообразие имело фактор-линейный счетный скелет эпиморфности.
-
Описаны локально конечные дискриминаторные многообразия конечной сигнатуры, счетные скелеты вложимости которых являются верхними либо нижними полурешетками.
-
Доказано, что для любого нетривиального многообразия решеток ЭЛ счетный скелет вложимости Ж и счетный скелет эпиморфности 9Я не являются полурешетками. Исследована проблема существования покрытий элементов в скелетах эпиморфности многообразий решеток. До-
казана независимость отношений вложимости и эпиморфности на многообразии всех решеток.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты решают ряд естественных вопросов, возникающих при формулировке понятий скелетов эпиморфности и вложимости многообразий алгебр. Решение этих вопросов входит в рамки отмеченной выше проблематики А. Тарского по изучению типов изоморфизма алгебраических систем того или иного класса с отношениями, индуцированными на них "алгебраически значимыми" отношениями между самими системами. Результаты диссертации могут быть применены в универсальной алгебре и теории решеток, а также использованы при чтении специальных курсов по алгебре и математической логике.
Апробация. Результаты диссертации были представлены на первой и третьей международных школах по пограничным вопросам теории моделей и универсальной алгебры (Эрлагол 1995, 1999), на международной летней школе по общей алгебре и упорядоченным множествам (Злин 1999), на международной конференции по математической логике памяти А. И. Мальцева (Новосибирск 1999), на семинарах "Алгебра и логика", "Теория моделей" (Новосибирск 1991, 1993). Результаты диссертации отражены в публикациях автора [37-42]. Работы [40-42] написаны в нераздельном соавторстве.
Объем и структура работы. Диссертация изложена на 79 страницах и состоит из 4 глав. Глава 1 посвящена мотивации работы и некоторым вспомогательным результатам. В главе 2 исследуются скелеты вложимости и эпиморфности конгруэнц-модулярных многообразий, в главе 3 — решеточные свойства скелетов дискриминаторных многообразий и многообразий решеток, в главе 4 рассмотрены скелеты многообразий решеток. Библиография состоит из 58 наименований.
Необходимые сведения по теории многообразий и их скелетам
Прежде чем перейти к изложению результатов, нам необходимо определить те понятия, которые фигурируют в данной работе, а также познакомить читателей с той системой обозначений, которая принята в тексте. Такие алгебраические понятия как алгебра, многообразие, квазипорядок считаются известными. Все рассматриваемые классы алгебр предполагаются абстрактными.
Буквой ЯЛ всегда обозначаем многообразие. Наименьшее многообразие, содержащее класс Л, обозначаем через 9Л(Д), 9Я(21) — многообразие, порожденное алгеброй 21. Через ЗЯ 0 обозначаем множество {21 Є ШНо : 21 1}.
Для квазиупорядоченного множества (А; ) через = обозначим эквивалентность на А, естественным образом связанную с квазипорядком (а = Ь тогда и только тогда, когда а Ь и Ь а). Через (А/ = ; ) будем обозначать результат факторизации квазипорядка (А; ) по эквивалентности = .
Квазиупорядоченное множество (А; ) назовем фактор-линейно упорядоченным, если линейно упорядочено множество (А/ = ; ). Говоря о том, что скелет вложимости многообразия ШЇ является решеткой, будем иметь в виду, что решеткой является частично упорядоченный класс 39Л/ = ; .
Пусть к — кардинал, цепь L называется fc-плотной, если для любых элементов а,Ь Є L таких, что а Ь, интервал (а, Ь) цепи L имеет мощность не меньшую чем к. Цепь L называется неуплотняемой в квазиупорядоченном множестве (А; ), если для любого элемента а Є А такого, что а сравним со всеми элементами с Є L и не является ни верхней, ни нижней гранью для L, имеет место включение а Є L.
Элемент b Є А является покрытием элемента а Є А в квазиупоря-доченном множестве (А; ), если а b, b а и для любого с Є А неравенства а с b влекут одно из равенств с = а или с = Ь.
Пусть (Л; ), (В; ) — квазиупорядоченные множества, тогда (А; ) (В; ) — их лексикографическая сумма; а если а Є А, то записи А\ а и А\ а обозначают соответственно множества {х Є А\х а} и {х Є А\х а} с индуцированным из А квазипорядком.
Приведем еще одно понятие введенное в [22]. Четверку элементов а, Ь, с, d квазиупорядоченного множества (А; ) назовем дырой, если выполнены условия:
class2 Скелеты конгруэнц-модулярных многообразий class2
Скелеты локально-конечных неразрешимых многообразий
Прежде всего мы приступим к доказательству теоремы, которая определяет строение Сопр 21s (/3) для подпрямо неразложимой алгебры 21 с неа-белевым монолитом /3. Она позволяет доказывать утверждения о строении скелетов для некоторых классов конгруэнц-модулярных многообразий.
Пусть 9Я — конгруэнц-модулярное многообразие, алгебра 21 Є Ш подпрямо неразложима, причем монолит /3 алгебры 21 — неабелева конгруэнция. Пусть, далее, 93 — произвольная булева алгебра, и 21s (/3) — конгруэнц-булева степень алгебры 21. Рассмотрим главную конгруэнцию 0аО8)(/ #) на алгебре 21s(/3). Очевидно, если (h, к) Є 0 B (f,g), то (h(x), к(х)) Є 6%(f(x),g(x)) для каждого х Є 93 , в частности, [[/ = д\] С [[Л = Л]].
ЛЕММА 2.1. Пусть в условиях, описанных выше, функции f,g, h,k Є 21s(/3) постоянны на множестве [[h ф к]] и (h(x), к(х)) Є 0%(f(x),g(x)) для всех х Є 93 , тогда (h, к) Є &&»()(/, ?)
Доказательство. Заметим, что если (h(x0), к(х0)) /3 для некоторого #0 Є 93 , то по свойству транзитивности конгруэнции и по определению конгруэнц-булевой степени (h(x), к(х)) /3 для всех х Є 93 . В этом случае по условию леммы функции /, g, h, к являются константами, и утверждение (h, к) Є #аа(,а)(/) ) очевидно. Поэтому будем считать, что (h(x), к(х)) Є /3 для всех х Є 93 .
Обозначим через U открыто-замкнутое множество [[h ф к]] в пространстве 93 и рассмотрим подалгебру 21[/ алгебры 21s (/3), состоящую из тех элементов 21s(/3), которые постоянны на U. По условию /, g,h,k Є 2l[/. Зафиксируем произвольный элемент XQ Є U и введем следующие обозначения:
Решеточные свойства счетных скелетов дискриминаторных многообразий
А. Г. Пинусом было получено описание дискриминаторных многообразий, счетные скелеты вложимости которых фактор-линейны, универсальны в классе всех счетных квазипорядков, являются наилучшими квазипорядками. В работах А. Г. Пинуса [22,27] доказано, что счетные скелеты вложимости дискриминаторных не локально конечных многообразий не являются ни верхними, ни нижними полурешетками. Цель настоящей главы — описание локально конечных дискриминаторных многообразий, счетные скелеты которых суть полурешетки.
Пусть 21 — квазипримальная алгебра. Будем считать, что 211,..., 21 — все подалгебры алгебры 21. По теореме Е любая алгебра из 9Л(21)ц0 пред-ставима в виде фильтрованной булевой степени 21 (2 ,..., 2ln; F1,..., Fn).
Для начала докажем, что если алгебры 2li и 212 сравнимы по отношению вложимости, то существует автоморфизм алгебры 21, переводящий а\ в а2. Это доказательство взято из работы А. Г. Пинуса [20]. Пусть 2І! 212 и ф — вложение 21і в 212. По теореме С фактор алгебры 2lj по любой главной конгруэнции изоморфен самой 2lj. Поэтому если п Є ш таково, что для j п ф(а1) ) = а2, то, факторизуя 212 и ф{%\) по V Л Л ker%2TTi, получаем вложение ф алгебры 21і в 212 такое, что
Пусть b Є 2li и определяется следующим образом: Ь(0) ф а\, а для г 0 b(i) = аг. Тогда если 21о — подалгебра алгебры 2li, порожденная элементами Ь и oj, то 210 = 21. Пусть г Є и таково, что ф (Ь)(г) Ф а2. Тогда так как ф ($1о) — 21 проста, то щ оф — изоморфизм алгебры 21о на 21 и при этом 7Г{ оф (а1) = а2. А так как (210, о?) = (21, а\), то получаем автоморфизм алгебры 21, переводящий а і в а2. Если такого автоморфизма не существует, то, по доказанному, алгебры 2ti и 212 несравнимы.
Добавим к 2li и 212 еще две алгебры, чтобы получить дыру в счетном скелете вложимости (й9Я(21)ц0; ) многообразия 9Я(21). Пусть
Докажем, что если не существует автоморфизма алгебры 21, переводящего ai в а2, то 2li, 212, 21з, 214 — дыра в (S9PT(2t)No; ).
Очевидно, что алгебры 2li, 212 вкладываются и в 21з, и в 2Lj. По теореме С б214 (а?, а2) = 1я4. В то же время все классы разбиения 21з по любой главной конгруэнции конечны. Эти два свойства позволяют утверждать, что 2І4 невложима в 21з Предположим теперь, что ф : 213 —У 214 — вложение алгебры 213 в алгебру 214. Пусть / = ф{{а\, а2)) и п Є ш таково, что для г п и некоторого а Є 21 /(г) = а. Факторизуя 2Ц и ф(Щ) по V Л Л кег тгі, получаем вложение ф алгебры 21з в алгебру 2Ц такое, что ф ((а\, а)) = а0. Выберем элементы Ьі Є 21х и b2 Є 212 так, что bi(0) ф а\, Ь2(0) ф а2 и для г О Ьі(г) = аі, Ь2(0 = а2. Рассматривая подалгебры в алгебре 213, порожденные парами элементов (а?, а) и (ЬІ5 а), (а, а2) и (а?, 62), и повторяя рассуждения, изложенные выше, доказываем существование таких автоморфизмов ф\ и ( 2 алгебры 01, что ф\{а\) = а и ?! 2(а2) = а. Автоморфизм, переводящий а\ в а2, получается композицией ф\ и 1. Мы доказали, что при отсутствии автоморфизма, переводящего а\ в а2, алгебры 2t3 и 2Ц несравнимы. Осталось доказать, что нет "промежуточной"алгебры 215. Пусть для некоторой алгебры 2І5 выполнены условия: 21і 2І5, 212 2Cs и 215 2І4- Докажем, что если 215 213, то существует автоморфизм алгебры 21, переводящий а\ в а2. При выполнении указанных условий заданы вложения ! : 2ti — 2І4, 2 : 2І2 - 2І4- Пусть Д = ф\{а\), /2 = 2(0). Возможны два варианта.
1. Если /і и /2 различны на бесконечном множестве, то они равны лишь на конечном множестве и, следовательно, фактор 2І4/#(/ь /г) конечен. Тем самым, в алгебре 215 существует главная конгруэнция, фактор по которой конечен, а в 21з все классы разбиения для любой главной конгруэнции конечны. Поэтому 2І5 21з 2. Если /і и /2 различны лишь на конечном множестве, то, выбирая п Є и; так, что при і п /і (г) = /2(г) = а, и факторизуя все по
V Л Л ker TTi, получаем вложения ф[ : 211 — 2Ц, V4 : 2 2І4 такие, что "01 (а?) = V H0!!) = а- Повторяя рассуждения, изложенные выше, доказываем существование автоморфизма алгебры 21, переводящего аі в а2. Теорема 3.3 доказана.
Полурешеточные свойства счетных скелетов многообразий решеток
Поскольку нетривиальные многообразия решеток не являются дискри-минаторными, то приведенные в главе 3 теоремы, в которых описаны дискриминаторные многообразия с полурешеточными скелетами, оставляли открытым вопрос о многообразиях решеток, счетные скелеты которых суть полурешетки. Ответ на него дан в следующей теореме 4.1 и следствии ТЕОРЕМА 4.1. Для любого нетривиального многообразия решеток Ш счетный скелет вложимости многообразия ЯЯ не является полурешеткой.
Доказательство. Для доказательства того, что скелет (ЗЗЯ ; ) не является полурешеткой, достаточно указать в нем дыру. Более того, т. к. каждое нетривиальное многообразие решеток включает в себя многообразие дистрибутивных решеток, то достаточно указать дыру в скелете (Dx0 , ), где D — многообразие дистрибутивных решеток.
Пусть F0 — решетка всех конечных подмножеств множества из, а В\ — решетка всех конечных и ко-конечных подмножеств множества из. Пусть В2 — решетка, полученная из FQ помещением под каждым ее атомом а экземпляра Fa решетки F0 так, что для а ф Ь — атомов F0 Fa П Fb = {0}. Пусть В1 аналогичным образом получается из решетки By, т. е. под каждым атомом а решетки Вг помещаем экземпляр Fa решетки F0 так, что для а ф Ь — атомов В\ Fa П Fj, = {0}. Решетку В2 получаем из решетки FQ помещением под каждым ее атомом а экземпляра Ва решетки В\, отождествляя наибольший элемент решетки Ва с атомом а, и так, что для а ф Ь — атомов FQ ВаП Вь = {0}. Вложения, соответствующие неравенствам В\ В1, В% В2, В\ В2,В2 В1 очевидны. Так как в решетке В\ существует цепь элементов порядкового типа из , а в В2 подобных цепей нет, но, в свою очередь, в В2 существует цепь порядкового типа си + из, в то время как в решетке Вх подобных цепей нет, то решетки ?! и . друг в друга не вложимы. Подобным же образом замечается невложимость друг в друга и решеток В1 и В2. (Надо рассмотреть цепи порядковых типов из + из и из + из.)
Пусть теперь В — некоторая решетка вложимая в решетки В1 и В2 и в которую, в свою очередь вложимы решетки Bi и В2. Пусть фі — это вложение решетки ВІ в В, а. грі — вложение В в В1. Рассматривая вложения 201 и Ф2Ф2 решеток Вх и В2 в решетку В2, без труда замечается существование подррешетки В решетки "ф2(В) такой, что В = В2 и для любых а Є В\ и b Є В , ip2 t \{o) Л фіФі{Ь) = 0. Тем самым, для вложений фі и 2 можно дополнительно предположить, что для любых а Є В\ и 6 Є ?2 0і(о) Л 02( ) = 0- Пусть ІВІ — наибольший элемент решетки В]_ (в частности, под ним есть цепь порядкового типа из ). В силу указанного выше предположения о вложениях фі и ф2 в решетке В существует элемент (01(lj31)) под которым есть цепь типа из и такой, что в В существует счетный набор цепей L,- (і Є из) порядкового типа из таких, что для любых г ф j Є из, любых оц Є Li, bj Є Lj а Лbj — 0 и а; Л і(ІВі) = 0-В силу вложимости В в решетку В1, подобные элемент фі{фі{1ві)) и цепи i(Li) (г Є а;) должны были бы существовать и в решетке В1. Что, как легко убедиться, невозможно. Тем самым, существование решетки В с указанными выше свойствами ведет к противоречию, т. е. четверка решеток Ві, B i, В1, В2 действительно образует дыру в счетном скелете многообразия дистрибутивных решеток. Теорема доказана.
Напомним, что алгебра 21 называется ретрактивной, если для любого эпиморфизма ф алгебры 21 на алгебру существует вложение ф алгебры в алгебру 21 такое, что отображение фф тождественно на , фф = idc ЛЕММА 4.1. Любая решетка, вложимая в ретрактивную булеву алгебру является ретрактивной.
![Многообразия альтернативных алгебр с тождеством [x1,x2,...,x5]=0](/i/i/4467/317899.png "Многообразия альтернативных алгебр с тождеством [x1,x2,...,x5]=0 Ваулин Андрей Николаевич")
