Содержание к диссертации
Введение
1. Сжимаемые модули я теоремы плотности 16
1.1 Сжимаемые модули 16
1.2 Слабо примитивные кольца с точными критически сжимаемыми правыми идеалами 29
1.3 Расширенная теорема плотности 35
2. Слабо примитивные суперкольца 40
2.1 Суперкольца и супермодули 40
2.2 Суперкольца частных 44
2.3 Расширенный центроид суперкольца 51
2.4 Теорема плотности Джекобсона для суперколец 56
2.5 Расширенная теорема плотности для суперколец 64
2.6 Расширенная теорема плотности для градуированных колец . 77
Библиография 86
- Слабо примитивные кольца с точными критически сжимаемыми правыми идеалами
- Суперкольца частных
- Теорема плотности Джекобсона для суперколец
- Расширенная теорема плотности для градуированных колец
Введение к работе
Актуальность темы
Теорема плотности является одним из центральных результатов теории примитивных колец и имеет большое количество приложений. В классических монографиях Джекобсона1, Ламбека2 и Херстейна3 эта теория подробно изложена, а теорема плотности приведена в нескольких вариантах. Важную роль в исследовании данного вопроса играют кольца эндоморфизмов неприводимых (простых) модулей над произвольным телом. В теории ассоциативных колец вопросу об изоморфизме колец эндоморфизмов модулей уделено большое внимание (см. работу А.В.Михалева4). Помимо самих колец эндоморфизмов интерес представляют их плотные подкольца. Данная теория имеет и топологическую интерпретацию, где термин "плотный"приобретает привычное значение. Точнее, теорема плотности дает описание примитивных колец как плотных подколец колец эндоморфизмов векторных пространств над телами, где само понятие плотности фигурирует как в алгебраическом, так и в топологическом смысле.
Огромное значение теории примитивных колец привело к многочисленным попыткам обобщения теоремы плотности. Большинство подходов основано на изучении более широкого класса модулей (в классической теории - это класс неприводимых модулей). Особое внимание уделяется свойствам колец эндоморфизмов таких модулей. Также было обобщенно понятие примитивного кольца.
Стоит отметить, что большинство исследований в этой области не были выведены за рамки теории первичных колец. Так, Джонсон и Вонг5 рассматривали первичные кольца с нетриви-
1Н.Джекобсон, "Строение колец", Издательство иностранной литературы, Москва, 1961.
2И.Ламбек, Кольца и модули, Москва, Мир, 1971.
3И.Херстейн, Некоммутативные кольца", Москва, Мир, 1972.
4А.В.Михалев, Изоморфизмы колец эндоморфизмов модулей, близких к свободным // Вестник МГУ, 1989, N 2, 20-27.
5R.E.Johnson, E.T.Wong, "Quasi-injective modules and irreducible rings", J. London Math. Soc, 36 (1961), 260-268.
иотычл і
РОС НАЦИОНАЛ! '-
БИБЛИОТЕКА і
СПетеї OS
альными минимальными правым и левым первичными идеалами, а Кох и Мьюборн6 распространили результат Джонсона на еще более широкий класс колец - первичные антисингулярные справа кольца с однородным правым идеалом, а также кольца с правым почти максимальным идеалом.
Самый широкий подкласс первичных колец был исследован в работах Зельмановица7, где он ввел понятие критически сжимаемого модуля, а кольцо, обладающее точным критически сжимаемым модулем, назвал слабо примитивным. Также им была доказана расширенная теорема плотности.
В работе Амицура8 используется понятие несингулярного униформного (однородного) модуля, которое, как выясняется, тесно связано с понятием критически сжимаемого модуля.
О.Д.Авраамова9 доказала теорему плотности для обобщенных слабо примитивных ортогональных полных колец.
Следующим шагом в этом направлении стало исследование аналогичных градуированных объектов. Общая теория градуированных колец и модулей подробно изложена в классической монографии Настасеску и Ойстайна10. Теорема плотности для градуированных примитивных колец была доказана в работе Лиу, Бити и Фанга11. В работе Гомеса и Настасеску12 рассматривались gr-полупростые модули. И.Н.Балаба13 в свою очередь
eK.Koh, A.C.Mewborn, "Prime rings with maximal annihilator and maximal complement right ideals"// Proc. Amer. Soc, 1965, Vol.16, N 5, 1073-1076.
7J.Zelmanowitz, "Weakly primitive rings", Comm.Algebra, 1981, v.9, N1, 23-45.
8 S.A.Amitsur, "Rings of quotients and Morita context", J. Algebra 17, 273-298 (1971).
9О.Д.Авраамова, "Обобщенная теорема плотности"// Абелевы группы и модули, Вып.8, Томск, Издательство Томского Университета, 1989, 3-16.
10C.Nastasescu, F.V.Oystayen, "Graded ring theory", Mathematical Library, Vol. 28, Amsterdam, North-Holland, 1982
uLiu Shaoxue, M.Beatie, Fang Honjin, Graded division rings and the Jacobson density theorem // Journal of Beijing Normal University (Natural Science), 1991, Vol. 27, N 2, 129-134.
12 J.L. Gomez Pardo, C.Nastasescu. Topological aspect of graded rings // Coram. Alg, 1993, vol. 21, N 12, p.4481-4493.
13И.Н.Балаба, "Градуированные слабо-примитивные кольца"// Тезисы
докладов III Международно*конференции "Современные проблемы теории
*' > >«;.»*«» .; ;>> і
провела исследование градуированных слабо-примитивных колец. СВ.Зеленое14 доказал обобщенную теорему плотности для колец, градуированных по полугруппе, и модулей, градуированных по полигонам над этими полугруппами.
В совместной работе А.В.Михалева15 с уже упомянутыми авторами и автором данной диссертации собраны несколько последних вариантов теоремы плотности для градуированных объектов, а также разработан подход к этой проблеме для суперколец и супермодулей.
Теория суперколец и супермодулей, являясь частным случа
ем общей теории градуированных объектов, достойна отдельного
внимания. В частности, многие результаты для супер-объектов
имеют более точный или даже несколько иной вид. Так, в рабо
те Расина16 изложены некоторые результаты для примитивных
' суперколец. Автором данной диссертации были проведены до-
полнительные исследования в этой области.
Цель Работы
Данная диссертация посвящена исследованию сжимаемых модулей и супермодулей, а также слабо примитивных суперколец. Основная цель данной работы - доказательство расширенной теоремы плотности, а также подробное исследование всех объектов, связанных с теорией слабо примитивных суперколец. Большое внимание уделено неградуированным структурам (слабо примитивным кольцам и сжимаемым модулям), а также отдельно изучена специфика расширенной теоремы плотности для колец, градуированыых по коммутативной группе.
чисел и ее приложения", Тула, 1996, С.12
14С.В.Зеленов, "Теорема плотности Зельмановича для колец, градуированных по полугруппам", Фундаментальная и прикладная математика, 2001, Т.7, вып.2, стр. 373-385.
15И.Н.Балаба, С.В.Зеленов, С.В.Лимаренко, А.В.Михалев, "Теоремы плотности для градуированных колец", Фундаментальная и прикладная математика, 2003, Т.9, В.1, стр. 27-49
leM.L.Racine, "Primitive superalgebras with superinvolution", Journal of Algebra 206, 588-614, 1998.
Научная новизна
В работе получен ряд новых результатов, основными из которых являются следующие.
[1] Исследованы свойства сжимаемых модулей, среди которых выделены критически сжимаемые и изоморфно сжимаемые модули, изучена связь между несингулярными однородными (униформными) модулями и критически сжимаемыми, найдены принципиальные отличия между ними.
[2] Исследованы свойства слабо примитивных колец, уделено особое внимание слабо примитивным кольцам с точными критическими сжимаемыми правыми идеалами. Изучена связь между областями Оре и слабо примитивными кольцами, являющимися точными критически сжимаемыми модулями над собой.
[3] Доказана расширенная теорема плотности для суперколец. Теорема сформулирована в терминах ровной однородности, что привело к ослаблению одного из условий теоремы и дополнительному исследованиям данной проблемы. Изучена специфика всех задействованных суперструктур, включая сжимаемые супермодули, слабо примитивные суперкольца и суперкольца частных. Также представлен аналог классической теоремы плотности для суперколец в алгебраической и геометрической формах.
[4] Доказана расширенная теорема плотности для колец, градуированных по коммутативной группе. Теорема также сформулирована в терминах ровной однородности, как и в суперслучае.
Основные методы исследования
В работе использованы методы и результаты теории колец и модулей, а также теории градуированных и суперструктур.
Практическая и теоретическая ценность
Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы как в теории первичных колец, так и в теории суперколец и супермодулей. В частности, применение могут найти различные варианты теоремы плотности, доказанные в работе.
Апробация результатов
Основные результаты диссертации многократно (май 2000 г., ап
рель 2001 г., октябрь 2002 г., ноябрь 2003 г., октябрь 2004 г.,
апрель 2005 г.) докладывались на семинаре "Кольца и моду
ли "кафедры высшей алгебры МГУ, а также на следующих кон-
р ференциях:
[1] Международный алгебраический семинар, Москва, МГУ, 2000.
[2] IV Международная конференция "Современные проблемы теории чисел и ее приложения", Тула, 2001. і
[3] 63-th International Workshop in Algebra (AAA63) and Conference of Young Algebraists (CYA), Kaiserslautern University, 2002.
[4] 65-th International Workshop in Algebra (AAA65) and Conference of Young Algebraists (CYA), Potsdam University, 2003.
[5] Международная алгебраическая конференции, посвященная 250-летию Московского Университета, Москва, МГУ, 2004.
Публикации
Основные результаты опубликованы в 5 работах, список которых приведен в конце автореферата [1-5].
Структура диссертации
Диссертация состоит из оглавления, введения, двух глав и списка литературы, который включает 40 наименовании.
Слабо примитивные кольца с точными критически сжимаемыми правыми идеалами
Далее будет полезно следующее соображение, ранее уже упоминавшееся немного в ином виде: пусть в модуле Мл существует ненулевой элемент m такой, что его аннулятор не является существенным правым идеалом в кольце Я, тогда существует нетривиальный правый идеал Im кольца R (возможно, это все кольцо) такой, что никакой его элемент не аннулирует m (тривиальное пересечение именно с этим правым идеалом приводит к несущественности аннулятора т); тогда 1т и mlm изоморфны как правые Л-модули; действительно, отображение, действующее по правилу г і— тг есть изоморфизм этих модулей. Пользуясь этим фактом, можно получить некоторые важные утверждения. Начнем с предложения общего плана. Будем говорить, что какое-то условие Cond на модуль переносится на подмодули, если из того, что этому условию удовлетворяет сам модуль, следует то, что этому условию удовлетворяет и любой его ненулевой подмодуль, т.е. имеет место импликация Предложение 1.2.1. Пусть модуль MR удовлетворяет некоторому переносимому на подмодули условию Cond, пусть таксисе существует элемент т Є М с несущественным анпулятором (другими словами, сингулярный подмодуль не совпадает со всем модулем). Тогда в кольце R существует ненулевой правый идеал, удовлетворяющий условию Cond (как правый R-модулъ). Доказательство. В кольце существует правый идеал /,„. Тогда mlm есть ненулевой подмодуль в Мд, причем он изоморфен 1т как правый Я-модуль. Пользуясь переносимостью условия Cond на подмодули, получаем требуемый результат. В качестве Cond можно рассматривать следующие условия: - неприводимость; - сжимаемость; - критическая сжимаемость; - униформность; - артиновость.
Прежде всего нас будут волновать два следствия, в которых в качестве Cond фигурируют неприводимость и критическая сжимаемость соответственно. Предложение 1.2.2. Следующие условия на примитивное кольцо эквивалентны: (г) оно обладает точным несингулярным неприводимым (правым) модулем (И) оно обладает минимальным правым идеалом. Доказательство, (и) =Ф- (г) Пусть / — минимальный правый идеал кольца Я, тогда именно он и будет точным несингулярным неприводимым правым Я-модулем. Точность и неприводимость этого идеала часто используются в классической литературе. Мы же покажем лишь несингулярность. Допустим, что имеет место сингулярность идеала /. Тогда /, будучи минимальным, совпадает со своим сингулярным подмодулем. Следовательно, произвольный элемент г Є / имеет существенный аннулятор в кольце Л, что, в свою оче редь, влечет нетривиальность пересечения Аттд(г) Г\І ф 0. Снова используя минимальность /, получаем Аппц(г) ПІ = I. Итого, в силу произвольности г, I2 = 0, что противоречит первичности примитивного кольца. Предложение 1.2.3. Следующие условия на слабо примитивное кольцо эквивалентны: (і) оно обладает точным несингулярным критически сжимаемым (правым) модулем; (И) оно обладает точным критически сжимаемым правым идеалом. Доказательство, (и) = (г) Остается показать несингулярность точного кри тически сжимаемого правого идеала первичного кольца, коим и является слабо примитивное кольцо; это будет сделано в доказательстве следующего утверждения. Замечание 1.2.1. В предыдущем предложении условие слабой примитивности кольца можно заменить на условие его первичности. Теорема 1.2.1. Пусть R — первичное кольцо, тогда следующие условия на правый идеал I равносильны. (і) I — несингулярный униформный правый идеал в R. (и) I — точный критически сжимаемый правый идеал в R. Доказательство, (і) = («) В предыдущем разделе было уже показано, что несингулярный униформный правый Д-модуль при условии существования нетривиального гомоморфизма в каждый собственный подмодуль критически сжимаем. Поскольку кольцо R первично, то каждый его правый идеал / точен. Так как кольцо R первично, то для любого правого идеала J С I существует такой элемент г J, что rl ф 0 (иначе J2 С Л = 0). Гомоморфизм правых Д-модулей І —ї J, действующий по правилу левого умножения на тот самый элемент г Є J, будет ненулевым, что и требовалось.
Далее, опять же в силу первичности, каждый правый идеал кольца R точен как правый модуль над ним. (и) =4- (г) Униформность также была показана раньше для модулей. Дока жем несингулярность. І2 ф 0, по первичности R, поэтому мы можем выбрать t I с условием tl ф 0. Пусть / Є Endn(I) действует по правилу f(r) —tr\ f ф 0 является мономорфизмом. Следовательно, / П Лтгпд(і) = 0, из чего можно сделать вывод t . Z(I), где Z{I) обозначает сингулярный подмодуль модуля 7д. Но In — сжимаемый, поэтому либо Z(l) — /, либо Z(I) = 0. Итак, если / сингулярен, то t ф. /, что противоречит самому выбору t. Возвращаясь к областям О ре, в качестве следствий можно получить несколько интересных утверждений. Следствие 1.2.1. Если S правая область Оре, то S$ — точный критически сжимаемый модуль (как модуль над самим собой)) т.е. S — слабо примитивное кольцо. Доказательство. Используем предыдущую теорему. Остается доказать пер вичность S как кольца, несингулярность и униформность S$ как модуля над самим собой. Все это очевидно. В силу всего выше сказанного, мы можем получить характеризацию некоторого специального класса слабо примитивных колец, а именно Предложение 1.2.4. Следующие условия на кольцо R равносильны:
Суперкольца частных
Для суперколец частных нам понадобятся понятие и свойства плотного суперидеала. Определение 2.2.1. Правый суперидеал J С. R называется плотным, если для произвольных 0 ф r ia, rip из R существует такой гр є Rp, что riarp ф О, Г2$Гр Є Jp+p. Определение 2.2.2. Правый суперидеал J С Я называется слабо плотным, если для произвольных 0 ф ria, Г2а из R существует такой Гр Rp, что ГіаГр ф 0, Г2аГр Є Ja+p То, что первое определение сильнее второго, иллюстрирует следующий Пример 2.2.1. Положим R — супер кольцо верхнетреугольных матриц 2 х 2 с коэффициентами из Z2, т.е. R = {( 5 J )}, #о = {( б 2 )} йі = {( g 5 )} Здесь правый суперидеал /={((] j )} является слабо плотным, но не является плотным. Будем обозначать множество плотных суперидеалов суперкольца Я через D(R). Обозначим (аа : J) = (аа : J)0 + (аа : 7)ь где (аа : J)p = {хр Є Rp \ аахр Є Ja+p}. Далее будем считать R полу первичным, т.е. не имеющим ненулевых ниль-потентных суперидеалов. Для полноты заметим, что суперкольцо R полу первично О- aaRaa ф0У0фааЄНа суперкольцо R первично -ФФ- aaRbp фО V 0 ф аа Є Я«,0 фЬр Є Rp Приведем основные свойства плотных идеалов. Предложение 2.2.1. Пусть I,J,S Є D(R), fy : Ід —ї RR — супергомоморфизм правых супермодулей, тогда (1) f \J) Є D(R); (2) (аа : J) Є V(R) Vaa Є Ra; (S)lnJeD(R); (4) если К правый суперидеал и I С К, то К Є D(R); (5) 1(1) — r(I) = 0, где 1(1) и г(1) соответственно левый и правый аннуля-торы суперидеала І в суперкольце R; (6) если К — правый суперидеал и (аа : К) Є D(R) Vaa є Іа, то К Є D(R); (7) если L — правый суперидеал и gn : Ls — Rs супергомоморфизм правых S-супермодулей, то дїї — супергомоморфизм правых R-супермодулей; Доказательство. (1) Пусть даны 0 ф г\а,Г2$ Є R, тогда существует такой тр Є Rp, что Г\агр Ф 0 и г2ргр Є Jp+p. Аналогично, (rlarp)r l Ф О и Іі(г2рГр)г а Є Jg+y+p+a для некоторого г. Положим гр+а = грг%, тогда riQrp+ r фОп Г20Гр+(г f l(J). (2) Пусть 1Яа — левое умножение на аа, тогда (аа : J) = ї 1 и применяем (1). (3) Пусть і — вложение I — R, тогда IП J = i-1(J) и применяем (1). (4) Очевидно. (5) Пусть 0 ф ар Є г(7), положим Гід — r2jg = ар, тогда существует такой г Ry, что 0 a r7 Є /,3+7- Следовательно, apryRapr7 С Іаргу = 0, т.е. получаем противоречие с полупервичностью й. Пусть теперь 1(1) ф 0. Т.к. R полупервично, то ааЬр ф 0 для некоторых аа,Ьр /(/), следовательно, существует такой тр Є Rp, что aabprp /Ои Ь г Є /0+ . Но ааЬртр 6 aaJ = О, противоречие. (6) Пусть 0 ф г\а, гг/з Є R тогда найдется такой г р є Rp, что r\ar p ф 0 и г20Гр Є Ір+р- Следовательно, (г2ргг : К) Є D(R). Используя (5), получим 1{{т20Гр К)) = 0- Значит существует такой г" Є {тіат р : К")7, что ГіаГрГ" 0 и Гг г г" Є К7 откуда получаем плотность К. (7) Пусть Ха- Є La и т Є Др; (2) дает (т : 5)д Є D{R), (3) дает М = {гр : 5)я П 5 Є D(R). Тогда для произвольного ys Ms Q S$ имеем rpy5 Є iS +rf. Итого, Из (5) следует, что д {хаГр) = дж{ха)тр, (8)
Пусть даны 0 ф na,r2/j Є R; используя (2), получим L — (r2 : І) Є -D(JR) и по (5) существует такой г7 є 7, что riQr 7 0; далее, существует такой гр Jp) что гіаГ7г 0. Положим г у+р — г г р, тогда гіаг7+р 0 И Г2рГу+р = (г2 ;)г; Є /J п Исходя из этих свойств можно сформулировать равносильное определение плотного суперидеала. Определение 2.2.3. Правый суперидеал J плотный, если l((aa : J)) = 0 Vaa Є То, что правый суперидеал обладает этим свойством, легко увидеть из предыдущего предложения. Докажем обратное утверждение. Пусть 0 ф гіа,Г20 Є R, тогда (г2(з : J) есть суперидеал и 1{{г2& : J)) = 0. Следовательно, либо rla(r2 : J)Q Ф 0, либо riQ(r2 : J)Q ф 0. Пусть rla(r2p : J)/) 7 тогда найдется такой г,, Є (г2/з : J%, что Г\агр Ф 0 и Г2@гр Є J, что и требовалось. Замечание 2.2.1. Правый плотный идеал есть правый существенный, т.е. нетривиально пересекается с любым другим ненулевым правым суперидеалом; действительно, для произвольного aa Е Ra найдется такой г а Е Re, что О ф aar3 Є Ja+3, откуда aar8 Є JC\aaR. Предложение 2.2.2. J — правый суперидеал суперкольца R, /7 : JR — RR — супергомоморфизм правых R-супермодулей, тогда (1) если аа Є Ra и г(аа) D(R), то аа = 0; (2) если Кег( ) 6 D(R), то /7 = 0. Доказательство. (1) Пусть r(aQ) D(R)t тогда aQ Є l(r(aa)), откуда aa = 0. (2) Пусть Ker(fj) e #(Д), тогда для произвольного be Е Ra имеем (Ър : Лег(/7)) Є (#) и /7(Ы( : Ker(fy)) = 0. Поэтому r(/7(6rf) Э (Ь& : Ker(fl))1 откуда r(f1(be)) D(R); таким образом, используя (1), получаем А(ВД = о a Теперь мы готовы дать определение суперкольца частных. Для этого рассмотрим множество Зададим на этом множестве отношение эквивалентности: Множество классов эквивалентности [/а; 7] с операциями образуют максимальное правое суперкольцо частных Qmr(R) = Qo + Qu ГДЄ Qa Предложение 2.2.3. Qmr{R) имеет следующие свойства: (1) R — суперподколъцо в Qmr; (2) Ща Є Qmr 3J Є D{R) : qaJ С R; (3) V$„ Є Qmr VJ Є D{R) : qaJ = О «Ф qa = 0; (4) VJ Є D(R) V/7 :JR-+RR 3?7 Є Qmr : /7(a?) = q7x Vx Є J; Более того, свойства (1)-(4) определяют Qmr с точностью до изоморфизма. Доказательство. (1) Строим вложение по правилу аа (- [1йа; R]. (2) Заметим, что [/ ; J] [laa; R] - [ (Оо); Л], поэтому [fe J] 3і С Л\ (3) Пусть g = [fp;J] и К Є D(R), допустим qpK% — 0; тогда для произвольного аа е J П К имеем 0 = [f$\ J] \laa\ R] = [1/0{аоу, Л], следовательно, /рЫ = 0» т.е. /s = 0. (4) Для любого аа Є Ja справедливо 0 = [/g; J] [ „; Л] — [ ,( )5 Я], положим qp = [fp\ J]. Пусть теперь имеют место (1)-(4) для некоторого Q D R. Определим j : Q — Qmr по правилу (q„y — [lqu; {qv : R)R]. ИЗ свойств (1)-(4) следует, что j — изоморфизм, тождественный на Л. Аналогичным образом строится и двустороннее правое суперкольцо частных Qr(R). Определение 2.2.4. Суперидеал / полупервичного суперкольца R называется плотным, если /(/) = 0. Обозначим множество таких суперидеалов через (Л). Прежде всего заметим, что Х(Л) замкнут относительно конечных пересечений и произведений. ПОЛОЖИМ Г = % + 7Ї, ГДЄ 7а = {{fa J) \ І Є Т, fa I IR -+ RR}- ВВЄДЄМ отношение эквивалентности:
Теорема плотности Джекобсона для суперколец
Теорема 2.4.1 (Теорема плотности Джекобсона для суперколец). Пусть R = Щ + Лі —левое примитивное суперкольцо, V — VQ + V\ — точный неприводимый левый R-супермодулъ, Сеп = Сещ + Сещ — его централизатор, х\а,...,хпа линейно независимые над Сещ элементы Va, Уі/?) . »Уга/з произвольные элементы Vg. Тогда существует такой га+р Є Ra+p, что Га+рХіа Уі&, где г = I...п. Доказательство. Наше доказательство базируется на применении теоремы слабой плотности, поэтому для начала необходимо построить контекст. Положим S R, sN — RV, Сеп централизатор супермодуля дТЛ Нот(МсепР} Ncenp) End(Vcenp) левый Д-супермодуль линейных преобразований, коими являются и левые й-умножения. Т = R — тотальный, т.к. Rva нетривиально ни для какого va Va по неприводимости. V замкнуто по неприводимости и определению Сеп. Определим (Jj)7 = {г7 Є Ry J r7Xja = 0, і ф j} и J = JQ + J\. По теореме слабой плотности, JiX{a ф 0, но тогда Ji%ia = V и мы можем выбрать такой г±а+р, что rija+pXia = у . Осталось ПОЛОЖИТЬ Га+0 — Г\А+$ . . . ГПА+р П Наша следующая цель — топологический вариант теоремы плотности. Пусть дМ — супермодуль, а Сеп — его централизатор. Рассмотрим М как правый Cen -супермодуль. Тогда левое умножение на однородный элемент из R является линейным преобразованием в Мсепр- Введем в супер кольце End(Mcenp) топологию. Пусть / Є End{Mcen ), положим базисом окрестностей точки / множества вида множества можно задать как Здесь мы рассматриваем M как дискретное пространство. Окрестностями фиксированной точки / є End Mcen0 ) являются всевозможные объединения элементов базиса. Далее мы приведем доказательство топологического варианта теоремы плотности, не опирающееся на саму теорему плотности, однако, укажем и короткое доказательство" в некотором частном случае с использованием теоремы плотности. Для начала нам понадобится несколько вспомогательных утверждений, не бесполезных и в следующих параграфах. Лемма 2.4.1. Пусть RM — кеази-ипьектиеный супермодуль такой, что Rma = 0 влечет та = 0. Тогда Аппл(та) Э Р =1 Arm(m»ai) = ma = Доказательство.
Проведем индукцию по . Пусть = 1, т.е. Ann{mQ) D Ann{rn\ai). Постро ИМ flta—a\ -R lai — RlTla ПО правилу Tp7TL\ai (—) ТрТПа. Rm\ai ф 0 по условию (иначе m\ai — 0). /i,Q_ai задано корректно, т.к. если rfimiai = 0, то Гргпа = 0. /і,«-аі продолжаем на все М, при этом R{fi,a-ai{ iai) - тпа) - 0, откуда /i -ai(miai) = mQ, что и требовалось. Пусть теперь наше утверждение верно для t — к, докажем его для t = к -f- 1-Имеем Апп(та) Э {\ г Ann(rriiai)7 положим J = f)i=i Апп(гпіаі) — левый суперидеал. Тогда Апп(та) Э J П Ann(m(k+i)a ). Положим f(k+i),a-a,k+1) : J(k+i),a{k+l) Jrria (если Jm(fe+1)iQ(fc+1) = 0, то выкидываем m{k+1)ta{k+l) из набора и применяем предположение индукции). /(A+i),a-a(jt+1) задано корректно, т.к. если jm( +i),a(s+1)J то jma — 0. Продолжаем f(k+i),a-a{k+1) на все М. Далее, заметим, что J С Ann(ma - /(ft+1)ia_a(t+1)(m(Jfc+1))a(ft+1))), т.к. j(ma - f(k+l) a-aik+l)(m{k+l),aik+1))) = jma - f(k+l),a-a{k+1)(3m{k+l),alk+l)) = jma — jma — 0. Таким образом, имеем Ann{ma - f[k+l),a-a(k+1){m(k+l),a(k+1))) 3 = f)tl Ann(mi i) По ПрЄДП0Л0ЖЄНИЮ ИНДУКЦИИ, НаЙДуТСЯ ТаКИе /ijQri_„, . . . fk,ak-a, что Пример 2.4.1. Пусть R = M i) суперкольцо матриц 2 х 2 с коэффициентами из І?2, М — вектора 2x1, т.е. #0 = ((( )} #і = {( б)} Мо = {( 5 )}і Л і = {( % )} Здесь дМ будет точным неприводимым супермодулем, причем Сещ = Enda = {0,е}, Сещ = Wi = {0}. Лемма 2.4.2. Пусть дМ — точный неприводимый супермодулъ, М\ ф {0}, a EVidi = {0}, тогда для произвольного та имеем Апп(та) ф 0 и для произвольных то и ті Апп{то) % Апп{т\), Апп(та) 2 Апп(ті). Доказательство. Из точности и неприводимости следует, что для произволь ного та ф 0 имеем Rma ф 0.
Пусть существуют такие не равные нулю QJ"IQ+1 С условием Апп(та) С Ann(ma+i) (если существует та такой, что Апп(та) — 0, то берем его и произвольный ma+i). Тогда определим /і : М - М по правилу rmQ t- rma+i. По условию леммы, определение Теперь мы готовы сформулировать и доказать основной результат этого параграфа. суперкольцо, V — VQ + V\ — точный неприводимый супермодуль, Сеп = Сещ + Сещ — его централизатор. Тогда R — плотное суперпод-колъцо суперкольца линейных преобразований V над Сепор. Доказательство. Достаточно показать, что для любого fa Enda(Mcenp) и любых конечных наборов mio,...,m„o Є Mo, тц,...,тц Є Мі существует такой га Є Ra, что fa и га как линейные преобразования на Mcenf совпадают на всем наборе. Без потери общности можем считать набор Сепор-независимым. Далее приведены два разных доказательства, но первое из них имеет место только в случае Сещ ф {0}. 1. Если Сещ ф {0}, то домножим нечетную часть набора на произвольный С\ Є Сещ, и получим новый Сеп -независимый четный набор. По теореме плотности, найдется такой га Є Ra, что rax;o = fa(xio), г = 1,...,»г и ra(XjiCi) — /«(жрсі), j = 1,...,1. Далее, воспользуемся леммой Шура и получим ra(Xji) - /aOCjl), j = 1,,.. J. 2. Для каждого элемента xj.at определим / как пересечение всех аннуля-торов других элементов набора, h — левый идеал и Ikkak ф 0, иначе, по предыдущей лемме, набор будет Сеп -зависимым. Тогда Ikkak = М. Следовательно, существует такой Гка Ik, что ГкаХкак = fa(xkak)- Осталось ПОЛОЖИТЬ Га = Гіа + . . . + rjfca П Замечание 2.4.1. Если дМ — точный неприводимый супермодуль, то, в силу леммы Шура, линейная Сеп не ависимость элементов супермоду
Расширенная теорема плотности для градуированных колец
Будем считать, что градуировка модуля производится по коммутативной аддитивной группе, а градуировка кольца по той же группе или ее подгруппе. Индексы однородности (элементы группы) будем обозначать строчными буквами греческого алфавита. Гомоморфизм fv градуированного модуля М будем называть однородным, если выполняется условие Градуированный модуль будем называть сжимаемым, если он однородно вкладывается в любой свой ненулевой подмодуль. Однородное вложение модуля в подмодуль означает существование однородного мономорфизма из этого модуля в этот его подмодуль. Сжимаемый модуль будем называть критически сжимаемым, если он не допускает однородного вложения ни в какой свой фактор-модуль, В частности, неприводимый модуль есть критически сжимаемый. Следует заметить, что при (однородном) вложении градуированного модуля MR В NJI (кольцо и градуировка одни и те же у обоих модулей) однородные компоненты могут лишь сдвигаться на элемент группы, равный индексу однородности самого вложения. Отсюда следует, что все однородные компоненты ненулевого градуированного подмодуля сжимаемого градуированного модуля нетривиальны. Отсюда, в свою очередь, следует, что любой циклический подмодуль сжимаемого градуированного модуля нетривиален. Действительно, пусть rripR = 0 для некоторого гпц Є Мц, тогда подмодуль т Ъ + m R имеет ровно один ненулевой однородный компонент с индексом однородности (Л. Приведем без доказательства некоторые необходимые в дальнейшем факты.
Предложение 2.6.1, Для сжимаемого градуированного модуля MR следующие условия эквивалентны: (1) MR — критически сжимаемый; (2) каждый однородный частичный эндоморфизм в Мл является мономорфизмом. Более того, из любого условия следует нетривиальность пересечения любых двух ненулевых градуированных подмодулей. Расширением градуированного модуля NR будем называть градуированный модуль МЛ, ДЛЯ которого существует однородный мономорфизм аа : NR — MR. Расширение будем называть существенным, если любой его нетривиальный градуированный подмодуль имеет ненулевое пересечение с исходным расширяемым модулем. Свойство инъективности и квази-инъективности градуированных модулей будем формулировать в терминах однородных гомоморфизмов. Так, квази-инъективным будем называть градуированный модуль, допускающий продолжение любого частичного однородного эндоморфизма до полного однородного эндоморфизма. А инъективным будем называть градуированный модуль, допускающий продолжение любого однородного гомоморфизма из произвольного модуля до однородного гомоморфизма из его расширения. Каждый градуированный модуль может быть вложен в наименьший квази-инъективный и наименьший инъективный градуированные модули, называемые квази-инъективной и инъективной оболочками. Инъективная обо лочка есть наибольшее существенное расширение исходного модуля. Обозначим через М, М, М соотоветственно градуированный модуль и его квази-инъективную и инъективную оболочки; положим Л = Епд,{Мв) А = End(MR). Тогда имеют место следующие соотношения: (2) МиМ единственны с точностью до изоморфизма, Предложение 2.6.2. Пусть MR — критически сжимаемый градуированный модуль, D — End(MR), A = End(MR). Тогда элементы из D имеют единственные продолжения до элементов из Д; более того, А — градуированное кольцо с делением. Пример 2.6.1.
Рассмотрим счетномерный свободный S-модуль. Пусть {е{,і Є N} — счетный базис. Обозначим через М подмодуль, натянутый на базис {г е , г Є N}, а через R — подкольцо линейных преобразований исходного Z-модуля, относительно которых подмодуль М инвариантен. Тогда MR — точный критически сжимаемый модуль, М и R можно наделить естественной Z-градуировкой. Покажем сжимаемость. Пусть подмодуль N содержит элемент вида п ejt, где n, к Є N. Существует элемент г кольца R такой, что (п ek)r — п е\. Следовательно, подмодуль NR содержит циклический Л-подмодуль (п еі)Л, который по сути есть п М, т.е. Z-подмодуль модуля М, натянутый на базис {п е г Є N}. Этот циклический Д-подмодуль, очевидным образом, изоморфен MR. Покажем теперь критическую сжимаемость. Для этого докажем, что каждый однородный частичный эндоморфизм fy В MR ЯВЛЯеТСЯ МОНОМОрфиЗМОМ. Действительно, ПуСТЬ f p(n ejfc) 0 для некоторых п, к N, тогда f p(nk ef) = 0 для любого J Є N, на котором он определен, а, следовательно, f i A е/) = 0, поэтому / = 0. Пример 2.6.2. Рассмотрим двумерный модуль над Ъ как левый модуль над верхнетреугольными матрицами с 2 2-градуировкой: Яо = {( Й 2 )}. 1 = {( 8 8 )} М = {( 8 )}, М = {( В )} Единствен-ным градуированным подмодулем модуля дМ является MQ. Поэтому цМ не сжимаемый, но точный. Более того, он является квази-инъективньш. Рассмотрим три условия на градуированное кольцо R: (і) кольцо R слабо примитивно; (іі) существуют точный градуированный модуль Мд, его квази-инъективная оболочка М, градуированное тело Д = Епйц{М) такие, что для произвольного До-независимого однородного набора v\ ..., Vk p Є Му найдется такой 0 ф aa Да, что для произвольного однородного набора П1„, ...,П у Є My Существует Такой Га+і,+(р Да+р+р, ЧТО ОаП = Щфга+у+(р MQ+t, г = 1,..., к; (iii) существуют точный градуированный модуль Мд, его квази-инъективная оболочка М, градуированное тело Д = Endn(M), такие что для произвольного /т 7псд(М) и произвольного однородного До-независимого набора ттіід,..., rrikfj, Є Л/ найдутся такие rp, sT+p Є Я, что тщц$тГ( = mifisT+p и 0 171 , Д/,т V». Теорема 2.6.1. Условия (г) и (и) на градуированное кольцо R равносильны. Доказательство. В работе [26] это утверждение было доказано в одну сторону, вернее было доказано, что из слабой примитивности градуированного кольца R следует существование точного градуированного модуля Мд