Содержание к диссертации
Введение
1. Обсуждение проблематики и обзор результатов, предшествующих диссертации (3)
2. Постановки задач (5)
3. Обсуждение результатов диссертации (10)
4. Апробация и публикации (11)
5. Структура диссертации (11)
1. Предварительные сведения 13
1.1. Абстрактные решетки (13)
1.2. Решетки разбиений (15)
1.3. Тождества полугрупп (16)
1.4. Многообразия полугрупп (17) 1.5. Коммутативные многообразия (21)
1.6. Надкомму-тативные многообразия (23)
2. Модулярные и нижнемодулярные элементы в некоторых решетках многообразий полугрупп 27
3. Решетка всех многообразий полугрупп 31
3.1. Периодичность специальных элементов всех типов (31)
3.2. Модулярные элементы (33)
3.3. Нижнемодулярные элементы (34)
3.4. Дистрибутивные и стандартные элементы (35)
4. Решетка коммутативных многообразий 44
4.1. Модулярные элементы (44)
4.2. Нижнемодулярные элементы (47)
4.3. Дистрибутивные и стандартные элементы (48)
4.4. Нейтральные элементы (52)
5. Решетка надкоммутативных многообразий 55
5.1. Тождества и квазитождества (55)
5.2. Специальные элементы (61)
Список литературы
- Обсуждение результатов диссертации
- Решетки разбиений
- Модулярные и нижнемодулярные элементы в некоторых решетках многообразий полугрупп
- Дистрибутивные и стандартные элементы
Обсуждение результатов диссертации
Вначале уточним используемую терминологию и обозначения. Для записи тождеств используются слова — элементы свободной полугруппы над счетным алфавитом, обозначаемой через F. Символом F1 обозначим полугруппу F с присоединенной единицей, трактуемой как пустое слово. Поскольку символ = используется для записи тождеств, отношение равенства на F1 будем обозначать через =. Длина слова и обозначается через {и). Множество всех букв, входящих в слово и, называется содержанием этого слова и обозначается через с(и). Через {и) обозначается длина слова и, через х(и) - число вхождений буквы х в слово и. Вместо х.(и) будем также писать І(и). Эндоморфизмы полугруппы F есть не что иное, как подстановки (слов вместо букв алфавита), автоморфизмы - перестановки букв в алфавите. Группа перестановок на множестве X будет обозначаться через S(X). На практике в качестве множества X почти всегда будет выступать конечное подмножество алфавита. Если а — произвольная перестановка множества с(и), то через а (и) будет обозначаться результат соответствующего переобозначения букв в слове и. Слово и делит слово v, а v содержит образ слова и, если v = a((u)b для некоторых а, Ъ Є F1 и некоторой подстановки (. Отношение делимости слов является отношением квазипорядка на F1. Это отношение будем обозначать через . Используя терминологию теории упорядоченных множеств (например, слова “антицепь” или “сравнимость”) применительно к полугруппе F1, мы будем подразумевать данное отношение квазипорядка. Запись и \\ v будет означать, что слова и и v несравнимы.
Будем говорить, что тождество и = v непосредственно вытекает из тождества s = t, если либо и = a((s)b и v = a((t)b, либо и = a((t)b и v = a((s)b, для некоторых а, Ъ Є F1 и некоторой подстановки (. Тождество и = v непосредственно вытекает из системы тождеств Е, если оно непосредственно вытекает из некоторого тождества этой системы. Выводом тождества и = v из системы Е называется последовательность тождеств Wo = W1 = Wk, каждое из которых непосредственно вытекает из системы Е, причем wo = и и Wk = v. Число к (т.е. число тождеств в последовательности) называется длиной вывода. Удобно считать, что тривиальное тождество и = и обладает выводом длины 0. Выводом тождества и = v из тождества s = t называется его вывод из системы {s = t}. Тождество и = v является следствием системы Е тогда и только тогда, когда у него существует вывод из этой системы. Этот базовый факт будет в дальнейшем использоваться без явного упонинания. В частности, пересечение многообразий X и У удовлетворяет тождеству и = v тогда и только тогда, когда существует его вывод из системы Е, где Е состоит из всех тождеств, выполненных хотя бы в одном из многообразий X и у. В этом случае каждое тождество соответствующего вывода само выполняется в одном из многообразий ХиУ.
Символическое тождество w = 0 является сокращением для системы тождеств wx = xw = w, где буква х не входит в слово w. Данное обозначение объясняется тем, что любая полугруппа, удовлетворяющая этим двум тождествам, является полугруппой с нулем и слово w тождественно равно нулю в этой полугруппе. Тождества вида w = 0, равно как и многообразия, ими задаваемые, называются -приведенными. Тождество называется уравновешенным, если каждая буква входит в обе его части одинаковое число раз. Тождество и = v называется подстановочным, если с(и) = ф) и слово и получается из v переобозначением букв.
Буква называется простой в слове и, если она входит в это слово ровно один раз, и называется кратной в слове и, если она входит в и больше одного раза. Слово называется линейным, если все его буквы — простые. Нетривиальное тождество называется перестановочным, если обе его части — линейные слова от одних и тех же букв. Ясно, что правая часть такого тождества получается из левой некоторой перестановкой букв. Группу перестановок чисел 1,..., т (т. е. группу S({1,..., т})) обозначим через Sm. Образ числа к под действием перестановки а будем записывать как ка. Итак, всякое перестановочное тождество от т букв с точностью до обозначения букв имеет вид для некоторой перестановки а Є Sm. Последнее тождество будем обозначать через рт [а]. Лемма 1.11 ([35]). Пусть а - перестановка из Sn такая, что 1а ф 1 и па ф п. Тогда существует натуральное число N п такое, что тождество рп[а] влечет любое перестановочное тождество от N букв.
Многообразие, заданное системой тождеств Е, обозначается через varE. Решетку вполне инвариантых конгруэнций полугруппы S обозначим через FIC(S). Вполне инвариантная конгруэнция на F, соответствующая многообразию V (т. е. эквациональная теория многообразия V, рассматриваемая как бинарное отношение на F), будет обозначаться через V. Соответствие V .- у является антиизоморфизмом между решетками SEM и FIC(F). Через End(S) мы будем обозначать полугруппу эндоморфизмов полугруппы S, через Aut(S) - группу ее автоморфизмов. Для произвольного многообразия X слова и и v назовем Х-эквивалентными, если и х v, и X-идентичными, если и х o (v) для некоторой перестановки а множества c(v) (или, что то же самое, и х (v) для некоторого автоморфизма Є Aut(A )). Слово и назовем Х-неустойчивым, если тождество и = а (и) не выполняется в ни для какой нетривиальной перестановки т множества с(и). Слова, не являющиеся А -неустойчивыми, будем называть А -устойчивыми. Через F(X) будем обозначать полугруппу, свободную в многообразии X, т.е. фактор-полугруппу F/ . Для элементов полугруппы F{X) отношение квазипорядка определяется так же, как и для слов: U V (где U, V Є F{X)), если V = A(V)B, где Є End(F(X)), А, В Є Fl(X). Известно, что если многообразие X надкоммутативно, то оно удовлетворяет лишь уравновешенным тождествам (см. лемму 1.13 ниже). Следовательно, значения (и), х(и), с(и) одинаковы для всех представителей и Є F фиксированного класса U Є F{X). Эти значения будут обозначаться через (U), X(U) и c(U) соответственно. Подмногообразие многообразия X, заданное внутри него системой О-приведенных тождеств, назовем -приведенным в X. Зафиксируем обозначения для некоторых конкретных многообразий, необходимые нам в дальнейшем. Для полноты продублируем некоторые из уже введенных обозначений.
Решетки разбиений
Будем вести доказательство индукцией по длине вывода. База индукции очевидна: если к = 1, то тождество и = v выполняется в одном из многообразий V V У и V V Z, а значит, и в их пересечении. Пусть теперь к 1.
Тождество и = v выполняется в многообразии V. Поскольку это многообразие является О-приведенным, в V выполняются тождества и = v = 0. Если Wi = 0 в V для некоторого 0 і к, то в V выполняются тождества и = и і и u i = v. При этом последовательности Wo = W\ = = Wi и Wi = Wi+\ = = Wk являются соответственно выводами тождеств и = Wi и Wi = v из тождеств многообразий У и Z, и длины этих выводов меньше к. По предположению индукции, тождества и = Wi и Wi = v выполняются в (V V У) A(WZ). Тогда и и = v выполняется в (V V У) А (V V Z). Поэтому далее можно считать, что каждое из слов w\,W2, ,Wk-i либо линейно, либо совпадает со словом х1.
Данный параграф посвящен задачам 5-9. В пункте 4.1 исследуется задача 9, в пункте 4.2 — задача 5, в пункте 4.3 — задачи 6 и 7, в пункте 4.4 — задача 8. Все соглашения, упомянутые в первом абзаце п. 1.5, считаются действующими на протяжении данного параграфа.
Основным результатом данного пункта является следующее необходимое условие для модулярных многообразий.
Теорема 4. Если коммутативное многообразие V модулярно в Com, то либо V = СОМ, либо V = Я, либо V = Я М SC, где Я - коммутативное нильмногообразие, заданное в СОМ системой Q-приведенных и подстановочных тождеств.
Доказательство. Предложение 3.2 и следствие 1.1 сводят доказательство теоремы к доказательству того, что любое коммутативное нильмногообра-зие может быть задано в СОМ системой О-приведенных и подстановочных тождеств. Предположим, что коммутативное нильмногообразие V модуляр-но в Com и рассмотрим произвольное тождество и = v, выполненное в V. Предположим, что тождества и = 0ии = 0не выполнены в V. Нужно доказать, что тождество и = v следует из тождества ху = ух и некоторого подстановочного тождества, выполненного в V.
Согласно лемме 1.18, существует многообразие Q периодических групп такое, что g w = gvzR(v). Положим X = уаг{жу = ух, и = 0}, У = var{xy = yx,v = 0} и Z = X\lQ. Многообразие Q удовлетворяет тождеству хпу = у для некоторого п, а потому и тождеству хпи = и. Это тождество также выполнено в X, поэтому оно выполнено в Z и, следовательно, в V Л Z. Будучи нильмногообразием, V Л Z удовлетворяет тождеству и = 0, согласно лемме 1.20. Тождество и = v выполняется в V, поэтому и = v = 0 выполняется в V Л Z, т. е.
Таким образом, (ZR(V) Л X) V С? С у V д. Тождество v = vxn выполняется в У V д, а потому и в (ZR(V) Л X) V д, и в ZR(V) Л X. Поскольку ZR(V) Л X является нильмногообразием, оно удовлетворяет тождеству v = 0 по лемме 1.20. Следовательно, найдется вывод w0 = = wk этого тождества из тождеств многообразий ZR(V) и X. Будем считать, что среди всех таких выводов выбран кратчайший. В частности, ни одно из многообразий ZR(V) и А не удовлетворяет тождеству Wi = 0 ни для какого г Є {1,... ,к — 1} и тождество Wi = u i+1 не выполняется в обоих многообразиях ZR(V) и X одновременно. Пусть г Є {О,..., к - 1}. Поскольку многообразия ZR(V) и ЛГ являются О-приведенными в СОМ и ни одно из этих многообразий не удо влетворяет тождеству Wi = О, тождество Wi = Wi+1 выполняется в СОМ., а потому и в обоих многообразиях ZR(V) и X, противоречие. Следовательно, п = 0. Тогда тождество и = 0 выполняется в одном из многообразий ZR(V) и X. Но это тождество нарушается в ZR(V), поскольку оно нарушается в V. Таким образом, v = 0 в X. Аналогично, рассматривая многообразие У V Q вместо X V Q, можно доказать, что тождество и = 0 выполняется в у. Это означает, что X = У, поэтому системы {ху = ух, и = 0} и {ху = ух, v = 0} эквивалентны. В силу леммы 1.23 слова и и v СОТИ-идентичны. Следова тельно, найдется автоморфизм такой, что тождество и = (г;) выполняется в СОЛ4 тождество и = (v) уравновешено и выполняется в V. Тождество v = (v) выполняется в V, поскольку тождества и = V и и = (v) выпол няются в V. Если c(v) ф c((f)), то V удовлетворяет тождеству V = 0 по лемме 1.20. Но это не так, поэтому ф) = с((и)). Следовательно, тожде ство v = (f) является подстановочным. будучи уравновешенным, тожде ство и = (г ) вытекает из тождества ху = ух. Из тождеств и = (v) и v = (f) вытекает и = v. Следовательно, тождество и = v вытекает из тож деств v = (г ) и ху = ух. Поскольку тождество v = (v) подстановочно и выполняется в V, утверждение доказано. Таким образом, для модулярных в Com многообразий, как и для модулярных в SEM, имеется необходимое условие (теорема 4) и близкое к нему достаточное условие (предложение 1.2). Как и для модулярных в SEM многообразий, данное необходимое условие не является достаточным, а достаточное - не является необходимым. Иначе говоря, среди нильмногообразий, заданных в многообразии СОМ только О-приведенными и подстановочными тождествами, но не только О-приведенными, встречаются как модулярные так и не модулярные. Подтверждением этому служат следующие два предложения.
Модулярные и нижнемодулярные элементы в некоторых решетках многообразий полугрупп
Импликации (а)—(б) и (г)—(в) очевидны. Импликация (в)— (а) следует из того факта, что любое нетривиальное решеточное тождество нарушается в некоторой конечной решетке (см., например, [13], лемма V.3.2). Остается проверить импликации (б)— (д)— (г).
Доказательство импликации (б)—(д). Рассуждая от противного, допустим, что свойство (д) нарушается. Докажем, что тогда любая конечная решетка может быть вложена в одну из решеток Con(W\/ fi\(V)). Тогда из следствия 1.2 вытекает, что любая конечная решетка является гомоморфным образом подрешетки решетки Loc(V). Поскольку любое нетривиальное решеточное квазитождество нарушается в некоторой конечной решетке, это даст нам требуемое противоречие. Нужно рассмотреть три случая.
Случай 1. Многообразие V не перестановочно. Рассмотрим разбиение Л = (1,..., 1). Для этого разбиения имеем Gx = Sn. Соответствующее Gx пединиц множество Wx регулярно (т. е. группа Gx действует транзитивно и никакой ее неединичный элемент не имеет в Wx неподвижных точек). В этом случае Con(WA) с Sub(GA) = Sub(Sra), где Sub(G) обозначает решетку подгрупп группы G. Поскольку многообразие V не перестановочно, конгруэнция р\(у) есть отношение равенства на WX, поэтому W\/ip\(V) = Wx. Мы получили, что Con(WAM(V)) Sub(Sra). Каждая конечная решетка может быть вложена в решетку Sub(5n) для некоторого п, поэтому утверждение доказано.
Случай 2. Многообразие V содержит одно из подмногообразий CZ и KZ. Не ограничивая общности, предположим, что CZ С У. Рассмотрим разбиение Л = (т, га—1,..., 2,1) для произвольного т 2. Группа Gx тривиальна, поэтому Con(HV A(V)) = Part(WAM(V)). Поскольку CZ С V, многообразие V не удовлетворяет никакому тождеству и = v, где первые буквы в словах ииу различны. В частности, (xid,Xjb) px(V), если Xid,Xjb Є Wx и іф]. Следовательно, множество Wx/ p\(V) содержит хотя бы т элементов. Любая конечная решетка может быть вложена в любую достаточно большую решетку разбиений, а потому может быть вложена в одну из решеток Con(WAM(V)).
Случай 3. Многообразие V содержит одно из подмногообразий X и Х. Не ограничивая общности, положим, что ДГ С V. Рассмотрим то же разбиение Л, что и в случае 2. Снова получаем Con(Wx/fX(V)) = P&rt(W\/ p\(V)). Поскольку Л С V, по лемме 5.1 многообразие V не удовлетворяет никакому тождеству и = v, где первые буквы в словах и и v различны и вторая буква в и проста. В частности, (xiXma,XjXmb) p\(V), если XiXma,XjXmb ЄЇхи і ф j. Следовательно, множество W\/ p\(V) содержит не менее, чем т - 1 элементов, откуда, как и в случае 2, вытекает требуемое утверждение.
Доказательство импликации (д)— (г). Пусть V - надкоммутативное многообразие, удовлетворяющее условию (д). Рассмотрим подпрямое разложение решетки Loc(V), имеющееся по следствию 1.2. Мы докажем, что мощности подпрямых сомножителей Con(Wx/ px(V)) ограничены. Отсюда будет следовать, что среди этих сомножителей существует лишь конечное число неизоморфных решеток. Решетка ivoc(V) квазиэквационально эквивалентна прямому произведению этих различных сомножителей, поскольку квазитождества сохраняются при взятии подрешеток и прямых произведений. Таким образом, импликация будет доказана.
Зафиксируем разбиение Л. Многообразие V удовлетворяет (16) для некоторого к, согласно лемме 1.12. Можно считать, что Л - разбиение числа, большего, чем 2к + 1. Действительно, существует лишь конечное число разбиений чисел, не больших 2к + 1, поэтому такие разбиения не влияют на существование верхней оценки для \Con(W\/ip\(V))\. Согласно лемме 5.3 и двойственному ей утверждению, многообразие V удовлетворяет тождеству (17) и двойственному тождеству для некоторого п. Рассмотрим множество / всех целых і Є {І,... ,n + 2k — 1} таких, что хотя бы 4к компонент разбиения Л равны і. Для каждого г Є I зафиксируем множество букв Yi такое, что Yi = 4k и Xj = і для j Є Yi. Это означает, что x(w) = г, если х Є Yi и w Є W\. Каждое слово w Є W\ может быть записано в виде w = abc, где {а) = {с) = к. Будем обозначать слова а, Ъ и с через L{w), M{w) и R(w) соответственно. Заметим, что (гіл,ги2) Є A(V), если wx,w2 Є Wx, (Wl) = (w2) и Д(гіл) = R(w2). Рассмотрим следующие два ограничения на слово w Є W\:
Слово w" = dxlexn1-1xnx4fR(w) таково, что L(w") = dxxe, R(w") = R(w) и (w, w") Є ip\(V). Мы исключили одно вхождение буквы х в L(w). Повторяя эту процедуру, можно исключить все вхождения в L(w) букв х таких, что x{w) п + 2к, кроме xi и х2. Двойственным образом можно исключить все вхождения таких букв в R(w).
Теперь мы докажем, что каждое тождество и = v такое, что и, v Є W\ эквивалентно тождеству и = v , где и и v удовлетворяют условию (ii). Поскольку
Комбинируя утверждения в двух предыдущих абзацах, заключаем, что каждое тождество и = v, где и, v Є W\, эквивалентно в многообразии V некоторому тождеству и = v , где слова и и v удовлетворяют условиям (i) и (ii). Это утверждение можно переформулировать в терминах конгруэнций G-множеств. Для этого обозначим через А множество рА(У)-классов всех слов в W\, удовлетворяющих условиям (i) и (ii). Мы доказали, что каждая конгруэнция на W\/ip\(V) порождается некоторым подмножеством А х А. Далее, Lp\(V)-класс слова w определяется словами L(w) и R(w) и не зависит от M(w). Условия (i) и (ii) означают, что все вместе взятые слова L(w) и R(w) для всех таких w могут содержать не более, чем 4к(2п + к — 1) + 2 различных букв: не более, чем Ак букв х, таких, что x(w) = і для всех г Є {1,..., 2п + к - 1}, и не более двух букв х, таких, что x(w) 2п + к. Отсюда \А\ N, где N = (Щ2п + к - 1) + 2)2к. Следовательно,
В силу предложения 5.1, достаточно доказать эквивалентность условий (6) этого предложения и теоремы 9. Многообразия вида S\, очевидно, являются жадными, а потому жадными являются и их пересечения. Обратно, пусть V - жадное многообразие. Если оно удовлетворяет нетривиальному (уравновешенному) тождеству и = V, то оно удовлетворяет и некоторому нетривиальному тождеству s = , где разбиение type(s = t) получается из type(u = v) применением любой из элементарных операций 1) и 2). В случае операции 1) тождество s = t можно получить, домножив тождество и = v слева или справа на букву, не входящую в это тождество, а в случае операции 2) — отождествив в нем две буквы. Из этого наблюдения вытекает, что многообразие V сжимает все трансверсали W , где Л /л, а потому и схлопывает их. Таким образом,
V С S\. Это означает, что многообразие V является пересечением всех мно гообразий S\, содержащих V. Ясно, что из неравенства Лі Аг вытекает включение «SAl С 5Л2. Из этого наблюдения и условия обрыва убывающих цепей в множестве Л вытекает, что многообразие V является пересечени ем всех минимальных многообразий 5Л, содержащих V. Эти многообразия, а потому и соответствующие разбиения Л, несравнимы. Следовательно, их число конечно по лемме 1.24.
Дистрибутивные и стандартные элементы
Для доказательства теоремы нам понадобится следующее утверждение, представляющее и определенный самостоятельный интерес. Предложение 4.3. Всякое -приведенное верхнемодулярное в Com коммутативное многообразие удовлетворяет тождеству х2у = 0.
Доказательство. Пусть V - 0-приведенное в СОМ многообразие коммутативных полугрупп, верхнемодулярное в Com, а W — собственное подмногообразие многообразие многообразия V. Поскольку V - 0-приведенное в СОМ многообразие, содержащее W, оно содержит также многообразие ZR(W). Будучи нильмногообразием, V удовлетворяет хп = 0 для некоторого п. Учитывая, что An/\V = Т и W С ZR(W) С У, и используя лемму 1.18, получаем W С ZR(W) = {An V ZR(W)) Л ZR(W) = (AnVW)A ZR(W) с (АпУ W) AV = (An AV) У W = Г У W = W. Итак, W = ZR(W). Следовательно, W - 0-приведенное в COM многообразие.
Мы показали, что любое подмногообразие многообразия V является 0 приведенным в СОМ. Рассмотрим многообразие X = \ж{х2у = ху2,х3 = xyzt = 0,ху = ух}. Оно не является 0-приведенным в СОМ. Следователь но, X УУ, и потому найдется тождество w = 0, выполненное в V, но не выполненное в X. Слово w с точностью до переобозначения букв являет ся одним из следующих: х, х2, ху, х2у, хух, ух2, хуг (в противном случае w = 0 в X). Следовательно, тождества w = 0 и ху = ух влекут тождество х2у = 0, поэтому многообразие V удовлетворяет этому тождеству. Доказательство теоремы 7. Импликация а)— б) очевидна. Импликация б)— в) непосредственно вытекает из теоремы 5, предложения 4.3 и следствия 1.1.
Доказательство импликации в)— а). Положим Z = var{x2y = 0,ху = ух}. По следствию 1.1 достаточно убедиться в том, что если Я С Z, то многообразие Я нейтрально в СОМ. Легко понять, что всякое собственное подмногообразие многообразия Z задается внутри него либо тождеством для некоторого п, либо совокупностью этих двух тождеств. Следовательно, многообразие Я является О-приведенным в СОМ. В силу теоремы 6, многообразие Я стандартно в Com. Согласно лемме 1.5, остается показать, что оно кодистрибутивно в Com. Иными словами, надо проверить, что если X и У — произвольные коммутативные многообразия, то
Положим ZX = Я Л {X V У) и Z2 = (Я Л X) V {Я Л У). Ясно, что Zu Z2 С Я С Z. Поэтому достаточно установить, что каждое из тождеств (11) и (12) либо выполнено в каждом из многообразий Z\ и i%, либо не выполнено ни в одном из них. Поскольку Z2 С Zi, в действительности достаточно проверить, что каждое из тождеств (11) и (12) выполнено в Z\, если оно выпонено в Z2.
Предположим, что в Z2 выполнено тождество (11). В частности, оно выполнено в многообразии Я А X. Следовательно, существует вывод этого тождества из тождеств многообразий Я и X, и потому одно из этих многообразий удовлетворяет нетривиальному тождеству вида х2 = w. Если это тождество выполнено в Я, то в силу леммы 1.20 Я удовлетворяет тождеству (11). Предположим теперь, что х2 =w в X. Если c{w) = {х}, то в А выполнено тождество для некоторого тф2. Если c(w) ф {х} и (w) ф 2, то приравнивая в х2 = w все буквы к х, мы вновь получаем, что в X выполнено тождество (13) для некоторого тф2. Наконец, если c{w) ф {х}, и {w) = 2, т.е. w совпадает с одним из слов ху и ух, то мы получим тот же результат, подставив х2 вместо у в X2 = W.
Итак, либо Я удовлетворяет тождеству (11), либо X удовлетворяет тождеству (13) для некоторого т ф 2. Аналогично проверяется, что либо Я удовлетворяет тождеству (11), либо У удовлетворяет тождеству (13) для некоторого т ф 2. Если Я удовлетворяет тождеству (11), то это тождество выполнено в Z\. Предположим теперь, что X удовлетворяет тождеству х2 = Xті, а У - тождеству х2 = хт2 для некоторых т1,т2ф 2. Тогда найдется такое т ф 2, что тождество (13) выполнено в X V у. Следовательно, оно выполнено и в Z\. Учитывая лемму 1.20, мы получаем, что и в этом случае Z\ удовлетворяет тождеству (11).
Предположим теперь, что в Z2 выполнено тождество (12). В частности, оно выполнено в многообразии Af АХ. Пусть u = wo = ---=wk = v-кратчайший вывод этого тождества из тождеств многообразий N и X. Тогда одно из этих многообразий удовлетворяет тождеству Х\Х2 -Хп = W\.
Доказательство. Обозначим через а конгруэнцию и через /? - множество уравновешенных тождеств (рассматриваемых как пары слов), удовлетворяющих одному из условий (1)-(4). Нужно доказать, что а = fi. Вначале докажем, что а С fi. Тождество xyzt = xytz удовлетворяет условию (2), а тождества х2у2 = у2х2 = (ху)2 — условию (4), поэтому все эти тождества принадлежат множеству fi. Непосредственная проверка позволяет установить, что fi является вполне инвариантной конгруэнцией на F. Отсюда вытекает требуемое включение.
Остается проверить, что fi С а. Докажем, что уравновешенное тождество и = v выполняется в А в каждом из случаев (1)-(4). Случай (1) очевиден. Тождество xyzt = xytz влечет любое тождество вида где а — любая перестановка множества {3,... ,п}. Отождествляя и переобозначая буквы в последнем тождестве, можно получить любое уравновешенное тождество со свойством (2). В дальнейшем будем предполагать, что тождество и = v имеет вид хуа = ztb, где х, у, z,t — буквы, не обязательно различные. Рассмотрим случай (4). Предположим, что х = z = t и х ф у, то есть и = хуа и v = х2Ъ. Поскольку буква у кратна, найдутся уравновешенные тождества хуа = (ху)2с и х2Ь = х2у2с для некоторого слова с. Эти тождества удовлетворяют (2), поэтому они выполняются в X. Следовательно, тождества хуа = {ху)2с = х2у2с = х2Ъ выполняются в X. Аналогичные рассуждения показывают, что X удовлетворяет тождеству и = v, если y = z = tиx y(в этом случае вместо тождества (ху)2 = х2у2 следует использовать тождество (ху)2 = у2х2). Следовательно, в общем случае многообразие X удовлетворяет тождествам хуа = х2с = xtd = t2e = ztb для любых слов с, d и е, таких, что эти тождества уравновешены. Очевидно, что такие слова с, d и е существуют, поэтому в случае (4) утверждение доказано. В случае (3) тождество и = v есть хуа = xtb, где буквы у и t — кратные. Можно считать, что буква х проста, поскольку иначе выполняется свойство (4). В частности, х ф у и х ф t. Многообразие X удовлетворяет любым уравновешенным тождествам вида хуа = ху2с и xtb = xt2d, поскольку случай (2) уже рассмотрен. Далее, X удовлетворяет тождеству у2с = t2d (случай (4)), а потому и тождествам