Введение к работе
Актуальность то м п . Еалатость понвдня ряз-ретишй группы с точки прении структурноіі теории опьэделязтея наличием в такоіі группе конечного нормального ряда, 'їат.торн которого принадлежат "хорояему" классу групп. С развитием теории бесконечных групп зозннкла необходимость в расгіютрегаїи и бесконечных (убыэащчх и *озраст.чытк) рядов с факторами из фиксированного класса JC . Пионерами в изучении соотзетстьу-т-их понятий были А.К.Мальцев, С.Н.Черников, О.Е.Эмидг. Нолуеннме в этом направлении результаты с-О-х - 40гх годов нашли отражение в обзоре А.Г.Куроша и С.К.Черникова [9] , а более поздние - з обао-Р'э Б.Й.Плотккна [Ї9]. Рассмотрение рядов с факторами из тех или ині*к гаогообразігл играет плодотворную роль Не только в теорий груПл, ко и в теориях ассоциативных, альтернативних, йорданоик, лиевнх и др. алгебр.
В проблематике, относящейся к плггбрэс. обладат;.'-!,* рядаїпі с факторами из Некоторого многообразия 3? , весьма естествен следуиши вопрос: кание' ординалы могут быть длинами наиболее коротких таких " 5-разрзшимух" рядов? В случзе, когда . есть многообрагие СТ. рл'елевых групп, один из давних результатов А»И.Мальцева |І4] об RK-rpyrmax гласит, что Любой ординал мо-йет о'ыть длиной убивающего ряда комігутаїїов. Fo я с?чш абелевн группы подвергались изучению с точки зрения указанного подхода. В фундаментальны!.* исследованиях л.Я.Куликова t'7j по пригарт-шм абеловга.і группам основополагаштую роль.играю''*' убивание ряд*-* подгрупп, фактора которых удоьлетвершот то-эдестау рх -= о для простого ад ел а р . Здесь такяе возникает вопрос о іюз*-о:-:ш*х .длинах таких рядов. Ре-пение этого вопроса вытекает из работ Л.Я.Куликова [73 и Л.Зуко.а [30] - здесь такет оказалось, что лп-бой ординал монет бить длийо*! рдаа о укалг-яякм свойстве.:» С другой стороны, долгое нрэмя оставался «ткр-тти.; вопрос о ргзрзппп.'ос-ти локально коне*гной группы простои зкепокента р > 3 і! гїоТі-роп ;Ълла-Хиг»:ана (1950) о разрешимости л«5оіі группы ікстюпантн 4. ота ьоирось: ног**,*! &л?ъ сфортулировакн в си гдугт'е и виде: будут ли конечний* ряд?: когйлутанто** групп пз кг.стрнк/.нского многообразия fin при р > 3 к групп из берНсзДгрвского -и;эгоабра.и':>-&-// . Стриь'ателтлиа оотетк на эти г-о*:росч *> г* *!<* в -'ооїрх Ї'.П. Гаймчслова Г':;-;1] - [25].
Развитие теории многообразий алгебр делает актуальны;.! пла-шцзрпое "изучение вопросов, связанных с длинами "рзярзіда.шх" щ-> дон, ,]\щ утсчнашія проблематики ьозникаюцего здесь направления прлкедем нужше определения,
Роаанпью ь алгебре ft назовем всякое семейство єе попарно не чзресекаюцихсг подалгебр. Россьль будем называть трииіальиой и обозначать чере$ %л , єоли ее компоненты суть единичные подсілгзбрп алгебри fl , либо она является пустой. На мнокестве Ъ(й) всех роселпей алгебры А естественны!,! образо»; определяется отношение частичного порядка, ртіюсительно ісаторогс $(fi) лбляє'.'ся полной рзи;еткой.
Пусть X. - -произвольное многообразие алгебр фиксированного типа. На любой алгебре Я данного типа существует ^-вербальная конгруэнция _/(«,/4), т.е. наименьшая в множестве тех понгрувнций на А , фахторалгебры по которым принадлежат 9С , Выдели;.! вое классы этой конгруэнции, являющиеся подалгебрами, и соответствующую россыпь обозначим через ЭЕ(#) и назовем (первым) ЗЕ-зербалон алгебры А . Если 3(Я) является пуст той россыпью, то 2-й SE-зербал Sa(d) алгебра А есть таете пустая россыпь. Б прогинюн случае %*~(А) есть россыпь алгебрл А , являющаяся объединением Э -вербалоп компонент росешк Эь'СА) = $.(/0 Б раиатке SM) . С помощью транс-финитной индукции для любого ординала < определим теперь Ы.-Й 3 -вербал ЗЄ^(/4): для непредельного ^. определение ХЛСО на ьуздается в рьетьяснении* а в случае предельного А- считаем, что ЭЕ^ОО есть пересечение всех se'(Vl) при р < J* в решетке россыпей алгебры А . Получаем убывавшую цепь россыпей алгебры А :
А = кс(д) ^ %*(А) ъ L(A) ** .«"Ч*)* ,
которая называется Ж-вербальной цепью алгебры А В случае, когда К - поляризованное многообразие алгебр ро] (таковыми являются, напр., :глогообразия групп, модулей, колец, линейных алгебр и др.), лгбая россыпь сводится к подалгебре, таи что S,-вербалытя цопь превращается попросту б убшэаы:сую цепь подалгебр алгебры f\ .
-ели дл<: некоторого ординала у россыпь %.\А) стано-ьл'ісл тривиальной, т.е.
'*№) = Нл,
то ьягеЭра А нагш&отсп 'у-ступэшю зе-рэзрейьио;': и.пі (Г - ЭС -разрешимой, я нэшоьышй тс о таата* свойстве;; - етупєньг *-разрешимости алгебра Л . Алгебр;/ будем называть -разрешимой, если она Г-Ж -рг'зрхліма для некоторого ординала у , к конечно ж -рззреїтамой, еии она п - -разрешила для никоторого натурального числа п. . В случае, когда 3 = СК , понятие -разрешимой группы превращается в понятие R К-группы, ь. понятно конечно -разрешимой групгої - а обычное почятпе разрешимой группы, поскольку в этом случае 5-вербальная цепь груішн - это е точности ее цепь кокмутантсв.
Понятие ЭЕ-рааряшй-юй алгебри для предсчргоос'ргзия (по
другой терминологии - реплично полного класса) SF алгебр вве
дено в раоото р2&]; отправные моменты для отого понятая эалолелм
Таыурой [37} ч А.К.Мрльцєвпч [15]. Для групп указанное почягие
пришрно в то пч время независимо ввел Б.И,.и>о?кин [20], [2ц,
рассматривая бескснечнае произведшим классов групп. Нориапыгко
' системы г. факторам! из произвольного многообразия групп раогагг-
ривйл Д.М.Смирнов [27]. Аналог обычного понятия разрешимой груп
пы для произвольных универсальных алгебр укаЗат». Хобби и Магскэн-1
.art [23]/ .....-- ':'
Пусть . и 6 суть нёкоторнб адюгообразие и кЛбсс однотипных алгебр. Спектров разрешимости'' или «.-спектром & з ё> называется класс всех ординалов, яаотлтв'ся ступенйлі 3-разрегаит/остч алгебр из < . Будем гояорчтъ, что g ~г.пехтр SE в <$ является вапухлнн, если с катдш пзойч ординалом он со-Й&ркит к все доныпиа его ординати, и полнил,' есш он совпадает - с классом всех ординале-9.
В терминах S-спектров многообразий .упоминавшее." во второй абзаце автореферата результата икеыг такое звучание: $-спі';-'т'о многообразия OL В классе всох /р,,гпп является йоднім; а-спп:то многообразия Оір абєлевкс групп простои єксіМниіпн р в 0%. полон; >-спэктры Olp в &р три р > 3 /'. 6-v с ife-ь является бесконечнгми. 0т*летий, сто в последнее' случае
вопросы о том, квкогзя S-f-Пеіітри соответствующих гатогооЗрагшп (в частнос-ги, будут лїі опи полижа;) остается откр'.лт-.гш.
Заметии, что лю^ой нгчелктан отрезок натуральних чисел ко-г.ет бь'ть реализован іі.гк &-спектр некоторого '„тюгооо'разия ал-г-эор. Кикрт.ер^ при л:ссои натуральном ft &,-^пот-тр шогооо-разкя ОС в классе СТ.' псоу п—ст.*па.-П!о рейрр-еї'*:'~- ґругп
совпадает с множеством {.О, і , > a J . Ваяные примеры икс-
гсобрааий с fji-спектром 4.0, lj доставляют нетривиальные доо-
тиляыио многообразия (Та»г/ра, [37]'), достижимые много
образия ассоциативных колец (Л.Н.Шаврик, Л ,М .Мартынов, [й9]),
мдо-тсхан'лі группоида многообразий ассоциативных долец относи
тельно маяьцевского умноженая [I5J (автср, [39]; Искандер, [34})
а радикально-пол^простие (в смысле Курояа-Амицура) классы ассо-
іматнш-и колэц (СтЬюарт, {36J). Б первом случае - это многооб
разие полуребенок,,в остальных - многообразия, порожденные ко-
нзчным числом конечных лолеп. І
Разнообразна 6-спві:тров в тех или иных ситуациях приводит к следующему естественному вопросу: какие Есобіде могу? бить S-спектры подутого образий многообразия %Я алгебр? Указанный' вопрос будем назшать ПРОЕДШОй S-СПЕКТРОВ для- IS . В явном гиде йта проблем* сформулирована в обзоре [Зй], но относящиеся к ней исследования фактически начались значительно раныса (см. цит, обяор). Накопленный ъ данной области материал привел позднее as* тора к следующей гипотезе, опубликованной впервые в Ї.54І.
Гипотеза. Дчя любого многообразия % алгебр и любого
его подмногообразия ЗЕ -спектр SL в U? либо конечен,
либо неограничен, .
Дальнейшие исследования автора опровергли Гипотезу для ко-.дуче?'. С другой стороны, после того как эта Гипотеза была сіор-Мулирована, онйнолушиа подтвержценно еце для ряда многообразий! лиевых ютсбр и колец автором [58], клийсордовнх и вполне просты* полугрупп О.В.Кнпгепд: [б], разрешимых групп автором \02}. Наличие многообразий, в коїорн;: Гипотеза верна иди не верна, де-лаз.т, на наа взгляд, проблему S-спзктров ешз болей интересней.
Решение проблемы S -опоктроБ для многообразия ЗД , вооб-це говоря, но в^ечаг за собой характеризацию для каждого -спе-нтра подмногообразий, 'имеющих этот 6-спектр в ЗД . Поотоыу наряду с проблемой S-спзктгов т>аэумно выделить для ЪЛ ПРОБЛЕЛУ ШССШіІІАЦИИ ВДЛІЮГО0ШЗЙ1 ПО -СПЕКТРАМ. Реиенке этой проблеми особенно важно для шогообразий "орошо -известные; видев алгебр.
Целью работы является изучение понятия разрешимости алгебр по і ногоабразням в контексте Гипотезы, проблеми
-спектров И проблеет класситикшілії подчнбаообргзьг гг. S-one-ктрем. При ртом объектом нагого г.нтманшг ячлявтоя кик т'мстосбра-зия пронзшльнта унигерсапыпс: алгебр, тек и іиогообр'пья кіло-сических алгебр: групп, полугрупп, муллой, ccccnavirmix- и лис-кк алгебр, 5 такте о :/паров.
Методы и с с л о д о в а п и Ґ; . Прч изуче:".п» проблемы S -СПеКТрОВ :':ПрОі:0 ИСПОЛЪЗ'ТТСК ТеОрЄ^ЛКО- ЧОДеЛЪ'ГНв МЄТО-
дь1, основанные ка применении флльтроланиг.: произведший, теіре?:іг компактности яы-гка логгаш пертого порядил, счоРетвг'ачальгсіпруе-мости алгебр, а тадже метода теории групп, полугрупп, чодудаЛ и линейных алгебр.
Научная новизна и практическая ценность. Постановка обеих проблей об -спектрах длл многообразий уш.зерселькьх алгебр, все основное результати, я тагске значительная часть аппарата исскедпш.чкл являются iijeip-ji. Получению результаты рсиздзт неноторга зотоон, от':зчает>іасг р литзратуре. Ряд известных: результатов получен здесь nottpjii ;:ето-дшлї в качество следствий, іідеи, іхтодн і; результата работу находят прппєнен.іе и публикациях отечественное к ^ярубеясгїїь: авторов (pi; [?], [63, И. [10]-[IS], Кб], [2С], ПЭТ]и др.). Сіп :.-огут бкть испсяьзог-шггЗггрл чтении сиешг.-.н.тг: курсов, при под-vor-тевке монографий и учебников. Формирование обсу-'.репеіі проблематики и получзннчэ результати лозио/л-ли вг-'ч-'очпть ряд проблем длч дальнейшего исследования.
Апробация. Гє.;ультать: дчесертспги били лгєдд-га:1-лега КЕ ХІУ (Новосибирск, J377), ]Ті (Ле'ч'иград, 1931), ХУЇ.Т ^.ічнес, 1983), Й'ІІІ /їСигп-нзп, І98и), ХП (Львсп, К.':'г; uceco:v,~ пілс алгебраическое і;он-;:сргнаиа.-:; чг її (Hapiur,?, KG3), !.'' у.'с-, .1985), У (Барнаул, І9ЕЗ), УІ (Магнитогорсг, ШС) Всесотан;--ілсолах г!С теории г.ногосбрпзнп аягабггнчеегпх ополяч; на її (Clc-рудовск, ЇУ73), ПІ. (Сьердлог.ск, IS58) Ессєойзгї.гх «.-послучач ге теории полугрупп; на ~'есчублчі(янсі'.0!"і п--:сле по глггзо'іуічес^Л!! системам (Сунули, 1Э32); на Вторік т.:>:те\'зтт!аигіч: чгончя:: п=\;я~ ти М.й.Суолнпа (ОаратЗсп, 1931); н?. ї,;е:.-лународ:-0л<: ют^ропцня-: по теории полугрупп (ІдНГ, Сегед, ГЗУЬ, по теории раднкелоь (blip, сгер, 1982), по; ачгоо'ре (Новосибирск, 191^-; І^ризгл, ІУЛ). При атом на кен^еренг^ш г Оогедо, укол?.": !' 0:'с::а . Пу-у.ч били еделзну плсчгрим чр'сії-.'Дн; нр Т'он '?\іе,"'ИТ' ? Г'-Л'УТ'їо п ..ьголе сулм-гы сену:' .і!П/е доклади. По резу-СЬ'.'""^: рг.',от:: г.г.тэр /"-OTvm
с докла/иамл б !<.сскье (їлгєсраччсскні; соїщнзр ЬЧ'У, IS89), Кишинева (ссмині.р ""одули и кольца", городской семинар "Общая алгебра л математическая летала"f ІЗИ8), Новосибирске (оеминары"Ассоциа-тизнш кольца", ТЭКЕ; '"Алгебраические системы", 1934; "Алгебра ; fi логика'-', Кен, 1Э57, I9J2), Омске (семинар по Елгебре и логи-? i:e, 01V, 1975-1902), Лігє (Рияскиіі алгебраический сешнар, 1937),, Сшрдлошсе (семинар "Алгебраические систомы", городской алгебраический семинар, 1576-1991),
II у б л и к"а.і;-и и . Результати диссертации" отрамны в
п.л'іликаїїлях автора [cb] - [бо] |
Объем и структура работы. Диссертация изложена ка 220 страницах м состоит ил іьедєния и трех глав. . Текст диссертечнп, следукгаь: за пзодешем, разделен на 8 паряг-pcijrm. В ?0 ії|іиі!идегіи некоторые определения, обозначения и лем-* №, обилие для всех оитзльннх параграфов. Основные утверждения лиисертЕции содержатся в !? 1-7 и наэвззд теоремами; их всего-. , семь, по одной в каждом параграфе и ош имеют сквозную нумерацию. Библиография состоит из 119 наименований,