Введение к работе
Актуальность темы
Настоящая диссертация посвящена изучению средних
значений чисел Фробениуса и количества шагов в алгоритмах
Евклида, а также исследованию сумм характеров Дирихле. Все
три задачи являются классическими задачами аналитической
теории чисел, ими занимались соответственно: В.И. Арнольд,
Я. Бургейн, Я.Г. Синай; Г. Хейльбронн, Д. Хенсли;
И.М. Виноградов, Д. Пойя, Э.Ландау, А. Хилдебранд,
A. Гранвиль, К. Саундарараджан и многие другие.
Изучение вопроса о поведении чисел Фробениуса в среднем
началось в 1994 году со статьи Д. Дейвисона1, в которой им были сформулированы две гипотезы, утверждающие, что число Фробениуса от "случайного" набора (а, 6, с) имеет порядок V'аЪс. Чуть позже В.И. Арнольд2 предположил, что верны даже более сильные утверждения, а именно, что при всех п ^ 2 распределение чисел Фробениуса от переменных аі,...,ате определяется плотностью, пропорциональной п~\/сц ... ап. Для случая трех переменных гипотезы Д. Дейвисона и
B. И. Арнольда в более сильной форме были доказаны
А.В. Устиновым3 в 2009 году. В той же работе было высказано
предположение, что при усреднении по всем трем аргументам
может быть получен еще более точный результат. В настоящей
диссертации доказывается эта гипотеза А.В. Устинова. Отметим,
что поведение чисел Фробениуса от произвольного числа
параметров было исследовано в работах И. Марклофа и
А. Стромбергссона5.
Первые результаты о среднем количестве шагов
1 Davison J. L. On the linear diophantine problem of Frobenius, J.Number
Theory.,48:3 (1994),353-363.
2 Арнольд В. И. Задачи Арнольда, Фазис, М., 2000.; Арнольд В. И.
Экспериментальное наблюдение математических фактов, МЦНМО, М.,
2006.
3 УСТИНОВ А. В. Решение задачи Арнольда о слабой асимптотике для
чисел Фробениуса с тремя аргументами, Матем.сб., 200:4 (2009),131-160.
4 Marklof J. The asymptotic distribution of Frobenius numbers, In-
vent.Math. 181 (2010), 179-207.
5 Strombergsson A. On the limit distribution of Frobenius numbers, Acta
Arith. 152 No. 1 (2012), 81-107.
в стандартном алгоритме Евклида были получены Г. Хейльбронном6 в 1968 году. В последствии целый ряд авторов последовательно уточняли результат Хейльбронна (формулировки могут быть найдены, например, в статье7). Другим направлением исследований стало получение аналогичных результатов для модифицированных алгоритмов Евклида (см. работы А.В. Устинова8 и Е.Н. Жабицкой9). В настоящей диссертации доказываются новые оценки остаточных членов в асимптотических формулах для числа шагов различных алгоритмов Евклида.
Первые нетривиальные оценки сумм характеров Дирихле были независимо получены и опубликованы Д. Пойя10 и И.М. Виноградовым11 в 1918 году (результат получил название "неравенство Пойя-Виноградова"). Существенное усиление этого неравенства было найдено лишь в 2007 году А. Гранвилем и К. Саундарараджаном12. Позднее, данный результат был улучшен Л. Голдмакером13. В этой
6 Heilbronn Н. On the average length of a class of finite continued fractions,
Abhandlungen aus Zahlentheorie und Analysis, Berlin, VEB, 1968, 89-96.
7 УСТИНОВ А. В. Асимптотическое поведение первого и второго
моментов для числа шагов в алгоритме Евклида, — Изв. РАН. Сер.матем.,
72:5 (2008), 189-224.
8 УСТИНОВ А. В. О среднем числе шагов в алгоритме Евклида с выбором
минимального по модулю остатка, Матем. заметки, 85:1(2009), 153-156.;
УСТИНОВ А. В. О среднем числе шагов в алгоритме Евклида с неполными
нечетными частными, Матем. заметки, 88:4(2010), 594-604.
9 ЖАБИЦКАЯ Е. Н. Средняя длина приведенной регулярной
непрерывной дроби, Матем.сб., 200:8 (2009),79-110.; Жабицкая Е.Н.
Среднее значение сумм неполных частных непрерывной дроби,
Матем.заметки, 89:3 (2011), 472-476.
10 Polya G. Uber die Verteilung der quadratischen Reste und Nichreste,
Nachrichten Konigl. Ges. Wiss. Gottingen (1918), pp. 21-29.
11 Виноградов И.М. On the distribution of power residues and non-
residues, J. Phys. Math. Soc. Perm. Univ. 1 (1918),pp. 94-98; Selected works,
Springer Berlin,1985,pp. 53-56.
12 Granville A. and Soundararajan K. Large character sums: preten
tious characters and the Polya-Vinogradov theorem, Jour. AMS Vol. 20, Number
2 (2007), 357-384.
13 Goldmakher L. Multiplicative mimicry and improvements of the Polya-
Vinogradov inequality by Goldmakher Leo I., Ph.D., UNIVERSITY OF MICHI
GAN, 2009, 109 pages; 3382190, preprint is available in arXiv:0911.5547v2.
проблематике важной задачей является также получение наиболее точной константы в неравенстве Пойя-Виноградова, так как известно, что эта константа связана с оценкой величины минимального квадратичного невычета. На сегодняшний момент, наилучшее значение константы принадлежит А. Гранвилю и К.Саундарараджану12. Однако в некоторых задачах важнее оказывается не информация об этой константе, а использование численно точной формы неравенства Пойя-Виноградова. В настоящей диссертации мы доказываем новый вариант численно точного неравенства Пойя-Виноградова, улучшая предыдущий результат К. Померанца14.
Научная новизна
Доказанные результаты являются новыми, полученными автором самостоятельно. Основными результатами данной работы можно считать следующие:
найдена асимптотическая формула для среднего значения чисел Фробениуса с тремя аргументами при усреднении по трем параметрам (теорема 4);
получены новые остаточные члены в асимптотических формулах для первых моментов числа шагов в различных алгоритмах Евклида (теоремы 5 и 6);
получен новый численный вариант неравенства Пойя-Виноградова (теорема 8).
Методы исследования
В работе используются методы разработанные А.В. Устиновым, методы теории цепных дробей, идеи из элементарного доказательства А.Сельберга асимптотического
14 Pomerance С. Remarks on the Polya-Vinogradov inequality, Integers (Proceedings of the Integers Conference, October 2009), 11A (2011), Article 19, 11pp.
закона распределения простых чисел, а также результаты о тригонометрических суммах.
Теоретическая и практическая ценность
Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в различных вопросах, связанных с числами Фробениуса, а также в задачах, в которых необходим численный вариант неравенства Пойя-Виноградова.
Апробация работы
Результаты настоящей диссертации докладывались автором на следующих семинарах и международных конференциях.
кафедральный семинар кафедры теории чисел под руководством чл. корр. РАН Ю.В.Нестеренко и д.ф.-м.н. Н. Г. Мощевитина;
семинар "Арифметика и геометрия" под руководством д.ф.-м.н. Н. Г. Мощевитина, к.ф.-м.н. О.Н.Германа и к.ф.-м.н. И. П. Рочева;
семинар "Тригонометрические суммы и их приложения" под руководством д.ф.-м.н. Н. Г. Мощевитина и к.ф.-м.н. И. П. Рочева;
"Научный семинар Хабаровского отделения Института прикладной математики ДВО РАН" под руководством чл. корр. РАН В. А. Быковского;
международная конференция "27th Journees Arithmetiques" Вильнюс, Литва, 27.06.2011-01.07.2011;
международная конференция "Диофантовы приближения. Современное состояние и приложения." Минск, Беларусь, 03.07.2011.-09.07.2011;
международная конференция "Конференция памяти Пола Турана" Будапешт, Венгрия, 22.08.2011-26.08.2011.
Публикации
Результаты диссертации опубликованы в трех работах, список которых приведен к конце автореферата.
Структура и объем работы
