Старший класс Сегре стандартных векторных расслоений на схеме Гильберта Hilb4 S алгебраической поверхности Трошина, Татьяна Львовна

Введение к работе

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Диссертация относится х одному из интенсивно р&заиваемых направлений алгебраической геометрии - исчиелнтельной геометрии. Многие задачи исчислительноЯ геометрии приводят к формулам кратных точек. Хорошо известны формулы d-кратных точек для d » 2 и 3, где d - коразмерность соответствующего морфизма /: X—-У (см., например, [1]). В случае, когда .Y - гладкая алгебраическая крпзая ели поверхность, формула d-хратпых точек может быть применена к нахождению cf-секантных линейных подпространств к Х_г вложенной (или погруженной) в проективное пространство Ks=P". Так, формула двойных точе» дает число Sj двойных точек поверхности в Р⁴, а формула тройных точек - число 6s трисекант гладкой поверхности S = f(X) в Р'. Формулы дли 6% и Si получают естественное истолкование на схемах Гильберта Ht =» HilV'S нульмерных подсхем длины d о S (d ш 2, 3). А именно, &г и S% есть степени старших классов Ссгре; так называемых стандартных векторных расслоений на схемах Гильберта Hill?S и HU&S. Более общо, как показано А.С. Тихомировым в (3), число $л й-секушдх

р** поверхности S «- р⁸*-* равно степени старшего класса Сегре соответствующего стандартного расслоения на HUM'S. В диссертации с помощью этой конструкции мы решаем задачу нахождения степени старшего класса Сегре стандартного векторного расслоения на HittfS при d => 4, т.о. вычисляем точное значение «. Эта задача связана с новейшими исследованиями яа стыке алгебраической геометрии и топологии гладких многообразий. А именно, А.Н. Тюриным и В.Я. Пид-стркгачом » (2] была сведена, новая система инвариантов гладкой структуры 4-мерного многообразия X, подлежащего оджкзмЕпой комплексной алгебраической поверхности 5. В

{б], [7] ота система инвариантов развита в концепцию так вазы-ваеїшх спин-полиномов, как полиномов на решетке M*(X,Z). Как показано в [2], задача вычисления спин-полиномов в ряде случаев сводится к задаче вычисления степеней S+

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Целью диссертация является получение точное формулы для многочлена 5«, выражающего степень старшего класса Gerpe стандартного векторного расслоения р на схеме Гильберта Hilb*S алгебраической поверхности S через инварианты х, у, г, ю пары (S,Os(D)), где Р -дивизор на S, X as (D¹), ужа (D-Ks). * ш h{S), *> «» (Д|). Для этого в диссертации разработав специальный метод, основанный на изучении многообразия Ch, заметаемого хордами поверхности S, вложенной в проективное пространство Р", ЛГ>10.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА дпссертр-пки состоит в том, что D ней:

1. Получена формула для многочлена 5_A(x,j/,x,w), выражающего степень старшего класса Сегре s« стандартного расслоения 4 я» схеме Гильберта Bilb*S алгебраической поверхности S;

2. Разработаны и реализованы два метода—метод l-crpyU и метод двойного раздутия - вычисления класса .собственного' прообраза многообразия Ch хорд поверхности S С P'^V, N>10, в кольце пересечений А(Р) раздутия Р" вдоль S;

3. Вычислены обобщенные проективные характеристики многообразия хорд Ch и мвогообраэия касательных ТТц поверхности S в Р";

4. Получена- общая формула 4-кратных точек морфизш
произвольной коразмерности.

НРАііїІЇЧЕСКЛЯ ЦЕННОСТЬ РАБОТЫ. Работа посит теоретический характер. Ее результаты могут применяться при вычислениях а кольцах персссчсппИ схем Гильберта точек ш. алгебраической аоперхпостп, при нахождении зпачепнй снип-поялномоэ для специальных поверхностей, а также для вычислена!! проективних характеристик иуямисекйлтпых многообразий поверхности d проекгиплом пространстве.

АПРОБАЦИЯ. Результаты диссертации докладывались па семинарах по алгеброичесхой геометрии а ЯГПИ и па шяк-дупародпо'Л конференции по алгебраической геоиетрта d Ярославле (август 1992 г,).

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано дао работы Щ, [3].